Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Из (Ъ.1.32) следует Р =- — — Зрг=сопФ а2р~ с гзн~рг 4Р -)-Р г 4гг+ Р1 12Рг 3Рг+ Рг ' Рг 4Рг+Рг Рг згг+Рг ' Р' — ' 4Р,Р, + 4Ргг — 0; Р1 = —. — 2Рг. р(~ г) р .р са 1 Р лг71г ( Р ау)а. Если принять в качестве дополнительных условий р(0, г)=р;, р(Х, г)=0; др(м,~)/дх=0 и первые два интегральных соотношения (г.1.24), то получим систему уравнений Ра = ра Ра+ Рг + Рг + Ра = 0; Рг + 2Ра+ ЗРа = 0* — ~ргГ -).
— Р,(+ — Ра1 + — Р~1 ~ =- к — ~; — ~ — р,1 + — Рг1 + — Р 1 + — Р 1 ) = кр . л ~г ас 12 3 4 г 5 - .1 Решение этой системы нами фактически уже найдено. Оно, очевидно, дается выражениями Р,=Р,; Рг= — 2Р1, Ра — Рг, Ра О; (а=12кг, таи нак удовлетворяет н системе (У.1.27) — (У.1.27а), и системе (а.1.30).
123 Следовательно, решение, найденное таким способом, совпадает с решением (Ч.1.28) — (г'.1.29). Рассмотрим теперь, что может дать следующее приблилшние (и — -- 3), Согласно общей схеме имеем решение в виде: Таким образом, напдеппое третье приближение совпадает со вторым. Выберем теперь другую систему определяющих условий. Потребуем выполнения условий р (О, Е) =- р„р (Е, Е) = О и трех первых интегральных соотношений. Тогда для определения Р„рв, Рв и Ра имеем следующую систему: Ро = Рз ! Ро+ Рв ' ( Рв 1 Рв = О' — ~Р Е+ — Р,Е+- Р Е+ — РзЕ~= — и —; л г ,!!~о -З ° --3 ° 4 В~— — ! — Р Р+ — Р,Ез+ — Рзр — , '— РзЕз~)=кР— ( — Р Е + — Рз( -! — Р.Е 4- — Р Е 1 з, 1 в ! з, ! дз(З а 4 З в Е з 2я ( РоЕ+ ~ РгЕ+ 3 РзЕ + ~ Рв( ) ° (в .1 33) И в данном случае решение облегчается тем, что из соображений размерности Š— с)lкг, а все Е', могут быть только константами.
Поэтому уравяения ()Е.1.33) сводятся к алгебраической системе Ро. Рз' Ро ' Рз~ Рв+Рз=О "' ~~' Р 2 Р + У Р + 1 Р ~ = — 2Р' ! 1 1 с' ~ 2 Ро, —, Рв (- т Рв+ ~ Рз~ = Ро' ,Г1 св ~ — Р -' — Рз+ — Р, + — Рз~= — — ~~Р + — Р,+ —,Р + — Рз~. ,Г!, ! 1 1 ! 4Г ! ! 1 3 о"'4 з 5 в 6 в! ЗЬ а 2 з 3 в 4 з Исключая неизвестные ЄЄР, и Р„приходим к следующему кубическому уравнению для св: с' — 84с'+ 14в40сз — 0600 = О, единственный действительный корень которого св = 63,78.
Для остальных неизвестных имеем Ро=р; Рз=- — ч.67рв, Рв=6,7ОРВ Рз= — 3,12р. Для скорости фильтрации на границе и(0, !) = — —— а, о,зззг, а, р, рЕ В ~'к! ! у'З,ЕЗз! ' 124 Сопоставим теперь первые три приближения: первое р(х, 8)=рг~1 — =-1 (х=а2'$/к2); 2$'ш / второе р(з, г)=--рт(1 — — — *.=+ —,— ',-) (х~) 12кг); третье ( * '~ = ~. ~1 — О,б8З " О 1 + 1~„ (х Т,рб)„—,) Результаты расчета для трех прнблиягений показаны на рис.
У.1 вместе с точным решением (цифры у кривых соответствуют номеру приблня'ения, ноль отвечает точному решению). 1 21= — ", Из приведенного примера понятна схема при- Ряс. 'Ч.1 мепеняя метода интегральных соотношений к задачам упругого режима. Ясно также, что построение приближений многочленами высокого порядка наталкивается на трудности не только вычислительного, но и принципиального характера. Прежде всего нет сколько-нибудь обоснованных правил для выбора того или иного из нескольких возможных дополнительных условий.
Вторая трудность связана с тем, что приблюкение многочленами может дать решения физически недопустимого вида (например, отрицательные на некотором участке, см. среднюю кривую на рис. Ч.1) при попытке повысить точность приближения. Ф 2. решение ЕАдАч упругого режнмА МЕТОДОМ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТНОШЕНИИ Приведем еще несколысо примеров использования метода иптегральных соотношений для решения задач упругого режима.
Ич сопоставления получаемых решений с соответствующими сточными» решениями очевидны преимущества ясности и обозримости, достигаемые при помощи метода интегральных соотношений. 1. Осесимметричная задача о пуске скважины в бесйонечном пласте. Рассмотрим еще одну автомодельную задачу — пуск скважины нулевого радиуса в безграничном пласте. Выведем сначала те интегральные соотношения, которым должно удовлетворять распределение давленкя в осесимметричпой задаче. Из основного уравнения распределения давления (У.2.
$) после умножения на г~" я интегрирования в пределах от В, до В получим, по аналогии с соотношением (Ъ'.1.гб), тождества: при й = О (уравнение материального баланса) в, — ~ р(г, «)гг«г=кВв( — „) — нВ«( — 1 + в~ -т 'Р(Вэ «) Вэ л~ Р(Вг «)Вг дн~ дя1 пря А ьΠ— к««В",р(В„«)+кйВ,"р(В„«)-)-к«Р ~ р(г, «) га ~дг+ +Р (Вэ, «) Вээы — ' — Р (Вм «) Вьг+' — ~. (Ъ'.2.2) Воспользуемся этими соотношениями для того, чтобы получить приближенное решение задачи о пуске скважины — основной задачи для многочисленных методов исследования скважин. Примем первоначальное (постоянное) давление в пласте за нуль. Будем считать, что в момент « =-: О начинается отбор жидкости нз пласта через скважину пренебрежимо малого радиуса. Предполагая, что отбор происходит в постоянном темпе, имеем дополнительные условия: р(г, О)=-О; Пш(г ~ ' ) )=ф — „=д.
(Ъ'.2.3) Точное решение этой задачи, как было показано в $2, гл. 1П, имеет внд: р(г, «) =ф Б«( — — -). (Ъ'.2.4) 2. Приближенное решение задачи. Введем вновь увеличнва«ощийся во времени радиус «(«) и предположим, что прн г >«(«) р(г, «) =-О. «ав При атом интегральные соотношения (У.2.2), записанные для отрезка 0 с-„» с;1 (г), принимают вца: с~н — ~ »р(», г)сК»= — кПш(» — )= — кд; (У.2.5) а3 г О о ! (и 1 — »ьм р(» г)й = зле ') р(»„г)»" 'о» (л= $). (Ч.2.6) Ю Как следует из граничяого условия при» -~ О (второе условие (У.2.3)1, искомое ре1пение обладает при» вЂ” 0 той особенностью, что др(д» = ф».
Позтому и приближающую функцию выберем так, чтобы она имела ту же особенность, т. е. примем р(, с)=л1п — '+Р +Рд — "+... !.Р„~ . (У.7Л) Так же, как и при плоско-параллельном движении, наиболее грубое приближение получается при допущении, что Р, = — Р, =... = Р„=- О.
Из условия непрерывности давления при» вЂ” 1 имеем также Рз -—— =- О, позтому остается лишь одна неизвестная функция 1 (г), которая определяется при помощи одного интегрального соотношения. В качестве етого соотношения возьмем уравнение материального баланса (У.2.5). Несложный подсчет дает (У.2.8) 1т =- 4кГ, так что в нулевом приближении рз (», ~) =- д 1п, = (» ~ 2 $' к1 ); 2!' Ы р,(, е) =О (»~2Р кг) — —.= О д"р(ц г) з»ь (У.2.10) (1=2,...). Нулевое приближение, полученное таким образом, вновь совпадает с решением методом последовательной смены стационарных состояний (напомним, что давление в стационарном плоско-радиальном потоке линейно зависит от 1п »). При отыскании приближений высшего порядка для определения неизвестных нужны дополнительные условия. В качестве иих можно использовать либо последующие интегральные соотношения, отвечающие л чь О, либо дополнительные условия для производных от давления по радиусу.
Действительно, так же как и в плоско-параллельном течеяии, систему определяющих условий можно дополнить условиями сопряжения Поэтому для определения неизвестных коэффициентов в формуле (т'.2.7) наряду с интегральныьш соотношениями можно пользоваться и выражениями (Ъ'.2ЛО). Ограничимся первым приближением: р(г* 1) =- д1в —,, агро(1)-'г Рт(Г) — ~) (Ч 2 И) и будем определять неизвестные тав, чтобы выполнялись интегральное соотношение (Ъ'.2.5) и условия р (1, С) --= др (1, 1)/дг =: О.
Тогда Р(Р (), д Р, б 7 откуда 1=- 3/12кг и р(г, 1) =- г + г 1' 12зг р 12вр ( г'.2.12) На рис. У.2 дано сопоставление точного решения (Ч.2.4)— точки — с двумя приближениями решения: (Ъ'.2.9) — пунк- 7 тирная кривая и (Ъ'.2Л2) —. У сплошная кривая. Как видно, а уже первое приближение обеРвс. У.2 спечивает довольно высокую точность.
3. Достоинства метода интегральных соотношений еще яснее выступают при репгении задач нестационарного движения в ограниченном пласте, когда нельзя пренебречь влиянием границ. Конечно, и для этих задач можно без особых затруднений написать решения, пользуясь обычными методами математической физики. Однако решения эти представляются в виде рядов Фурье (плоско-параллельное движение) или Фурье — Бесселя (плоско-радиальное движение) и потому трудно обозримы.
Трудности усугубляются тем, что даже простешвие монотонные решения разлагаются по осциллирующим функциям, и для получения хорошего приблигкения приходится брать большое число членов ряда. При применении метода интегральных соотношений к ограниченному пласту исследуемьш промежуток времени разбивается на дзе части. На протяжении первой из них происходит распространение возмущения (например, области, охваченной движением) от того места, где оно возникло, до границ пласта. При этом хе границы, до которых возмущение еще не дошло, не оказывают влияния на решение.
Так, при пуске галореи, расположенной на некотором расстоянии Ь от непроницаемой границы пласта, приближенное решение ничем не будет отличаться от соответствующего решения для неограниченного пласта, пока 1 (1) с" Ь. Принято называть промежуток времени, в течение которого не сказывается влияние границ, первой фазой фильтрации. Под второй фазой фильтрации понимается движение пачипая с того момента, когда граница области влияния доходит до удаленной границы пласта, н реп<ение начинает зависеть от условий на этой границе.
Естественно, что такое разделение на фазы условно, а продолжительность порвой фазы существенно зависит от того, какое приближенное решение используется. Так, прн реп<енин упомянутой выше задачи методом последовательной смены стационарных состояний (первое прибли'кение метода интегральных сооткоп<енн<Т) 1 =. 2)/н1 и продолжительность г<ервой фазы 1, =- 1.»/4к.
В то же время в третьем прнблия<енпи 1 — 8~/яг и г, =,Оа/64я. Однако зто различие пезпачнгельно сказывается на распределении давления. Ограничимся здесь ли<пь одним примером. достаточно хороню иллюстрирующим возможности метода. Рассмотрим круговой пласт, на контуре которого (г = В) поддерживается постоянное давление, равное начальному давлению в пласте. Давление это мы по-прежнему будем принимать за нуль. В начальный момент производятся пуск скважины пренебрежимо малого радиуса, расположенной в центре пг<аста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
