Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 19
Текст из файла (страница 19)
(1Ч.4.21) Заметим теперь, что так как в рассматриваемом интервале ~ Л! «- 4д д ~ 0,01 величина ч весьма мала, для функции Е1( — — ) при $~ ( $,„с болыпой точностью выполняется асимптотическая формула (см., например, Янке и Эмде (1291). Поэтому при ь( $ь с точностью, большей 0,01%, имеет место равенство Л)п — = — Е1(- — ) — —,Е ( — — ). $д~ Л .т 1йд $а2~8~2~8) Однако оказывается, что зта величина очень мало отличается от единицы, — отличие для практически наиболее интересной области )Л( с 0,01 находится в пределах 0,01%.
Так при Л = — 0,009999 имеелд: $э = 0,005787; — — Е1( — Ц) = 5,905; Рд( $~, Л) = 0,9701; 1 .т1 5 = 1,00007. Для меньдних по абсолютной величине Л это отлична еще меньше, так что величина о' для этого диапазона значений Л может быть принята равной единице. Таким образом, построенное нами решение линейного уравнения удовлетворяет с вполне достаточной степенью точности второму условию (1Ч.йд.7). Итак, при ч ~ 5,„функция Р д ( $, Л) с точностью до 0,01% представляется в виде: Подставляя зто соотношение в формулу (1У.4.16), получаем, что при $ ( $ с точностью до 0,01з4 Л) — Рс (сеЛ) + 2 Ес ( ) 2 Е1 ( — ) .
распределение давленияс весьма высокой степенью точности пред- ставляется для всех значений г и 8 в виде; Именно таким получвлось бы решение задачи, если бы мы заменили в уравнении (17.4.1), которое можно представить в форме дрс , д дрз г — — 2аер — г —.— = О, дС дг дг (1Ъ'.4.1э) множитель р во втором гисене на значение р = Р этого множителя при г =- сс, т. е. если бы от уравнения (1Ъ'.4.1) при тех же граничных и начальных условиях перешли к линейному относительно р урав- нению г — = 2а'Р— г —.
дре д дрс дс дг дт (1У.4.23) Такой способ линеаризацип уравнения (1У.4.1) был впервые предложен Л. С. Лейбепзоном (71). Приведенные расчеты показывают практически точное совпадение респения рассматриваеьюй нелинейной осеснмметричной задачи с решением лннеаризованной задачи. Успех линеаризации объясняется в данном случае теи, что в случае осесимметричных движений область движения разбивается на две части: 1) область квазистационарного д в и ж е н и я, соответствующая малым значениям $, в которой сосредоточивается основная часть всего перепада давления, но ноток газа почти постоянен, и 2) — область малых депресс и й (перепадов давления), в которой поток газа сравнительно меллснно уменьшается, а перепады давлений малы, Но зто выражение точно совпадает с соотношением (1Ч.4.20), которому функция Рс($, Л) удовлетворяет при Е = $,„.
Кроме того, выше было показано, что первые два слагаемых правой части предыдунсей формулы в сумме с болшпой точностью равны единице. Отсюда следует весьма существенный вывод о том, что в практически наиболее интересном интервале значений параметра Л, (Л) ( 0,01. функция Рс($., Л) представляется в виде (1У.4.21) при всех значениях $.
Переходя от функции Рс( з, Ц к давлению р по формуле (1.4.5), получаем, что для В области квазпстзцяопарного движения ио только разность велидттз л д дрз чин г — и2алр =г — равна нулю, как это следует из уравнения дк дг дг ($7.4.1), но и каждая из этих величин сама но себе исчезатощс мала (сравнительно со значениями этих величин в тех точках, где они максимальны).
Поатому в атой области поток газа, равный — — — (г — ), ктткНр„т дрл Л ткРо дк почки постоянен, а велиЧина лтножителя при втором члене уравнения (ГЧ.4.1) несущественна, и с болыпой степенью точности можно заменить в атом множителе р (т, 1) на Р (г, т). В области же малых депрессий, в определенной части которой оба члена уравнения (17.4.1) сутцественно отличаются от нуля, возможность такой замены обусловливается мзлостьто разности р(г, т) — Р. Обнаруженная допустимость линеаризацни при описании нелинейных осесимметричных движении вне зависимости от величины возникающего перепада давления позволяет сделать важные выводы применительно к более общим классам движения.
Заметим теперь, что в реальных задачах задается поток газа через скважину хотя и малого, но конечного фиксированного радиуса, так что граничное условие на скважине на основании выражения (1т'.4.3) имеет ввд: (1 тк.4.24) Покажем, что построенное выше автомодельное решение удовлетворяет с большой степенью точности этому условито улке спустя несколько секунд после начала процесса. В самом деле, на основании (1У.4.5) имеем (г — ") = Р ($ — „') . (1Ъ'.4.25) к1ислеппые расчеты, проведенные для кривой Х = — 0,009999, показывают (см. табл. 1Ъ'.4), что уже при $ = 0,1582 значение функции ЬНРлл/ктз Равно 0,009968, т. е. отличаетсЯ от — Х менее чем на 0,5л4 и еще менее при меньших При радиусе скважины Л = 10 см, проницаемости я:»: 1 д = = 10 зсмл, пористости т =0,2, вязкости (л 10л г~слт.сек, веьр личина алр = — — — имеет порядок 10з —: 10л слт~/сетк, и тогда уже 2ктттт ири т = 8 сев $ = Л() 'а'Рг <0,19.
Поэтому можно с весьма высокой степенью точности полагать при т > 3сек ( ) дРл л~ — = — ),. дз тт, нт гатгк Используя это обстоятельство в соотношении (1У.4.25), получаем, что спустя несколько секунд после начала движения автомодельное 7 злвлэ тззл решение (1У.4.5) с больпюй степенью точности удовлетворяет урав- нению ( г — ) — )Р— т.
е. граничному условию (1У.4.24). Как было покааано выше, встречающиеся на практике значения параметра й по модулю значительно меньше, чем рассмотренное только что значение, примерно равное — 0,08. Постону для меньших Х условие (1У.4.24) будет удовлетворяться еще быстрее. Выше было отмечено, что автомодельные реп~ения при й «. 0 соответствуют отбору газа из пласта через расширяющуюся со временем скважину.
Покажем теперь, что зто неестественное, на первый взгляд, свойство решений не препятствует применению их к реальным задачам, поскольку для представляющего практический интерес времени расширяющаяся (фиктпвная) скважина всегда остается внутри настоящей скважины. Для етого определим порядок величины 5 (Х) — координаты точек подхода кривой Р, ( 5, й) при Х ( 0 к оси абсцисс. Как было отмечено выше, при $ «5„, т. е.
в частности, при с = ь (Х), функция Г~ ($, Х) с высокой степенью точности удовлетворяет соотношению (1У.4 40): Г„(5, Ч-РИ., Л)= Л1п —,'. Полагая в этомсоотношении 5=5(й), Е~(5,Х) =О, получаем ~гак Р,'Я,, Х)=Х1п- », $(Х) =-$ье При Х = — 0,08, Р,($„,Х) = 0,72 значение $„„= 0,0050, откуда $ (Х) ~ 0,005 е ~з = 0,75.10 з. Как показывает формула (1У.4.12)', промежуток времени Т, аа который расширяющаяся внутренняя скважина достигает размеров настоящей скваж~шы, составляет ят — г фатР что в силу предыдущих оценок для $, а'Р и В дает примерно Т = = 2 10з сек — около шести лет. Отметим, что значение ь = — 0,08 очень велико сравнительно со значениями, встречающимися на»рактике. Прп уменьшении ) величина Т резко возрастает: так, при Х = — 0,01 Т вЂ” 10т" лет.
Таким образом, для реальных задач расширяющаяся (фиктивная) скважина всегда остается внутри настоящей. Приведенные вьппе оценки показывают, что рассматриваемое авто- модельное решение является вполне пригодным для реальных задач. Автомодельность рассматриваемой в настоящей рубрике задачи была отмечена Л. С. Лейбензоном (72) и П. Я. Полубар~шовой-Ко- чиной 194). Изложенное выше решение атой задачи дано Г. И.
Баренблаттом )12, 9). Численные расчеты были выполнены под руководством Н. П: Трифонова )24) $ б. НЕКОТОРЫЕ СНЕЦИАЛЬНЫЕ АВТОИОДЕНЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ В атом параграфе будут изложены решения некоторых автомодельных задач нестационарной фильтрации, представляющих специальный интерес. В связи с тем, что методическая сторона построения подобных решения достаточно выясиеиа в предыдущих параграфах, изложение здесь будет более кратким; читатель„интересующийся подробностями вычислений, сможет найти их в цитируемой литературе. 1. Подъем уровня жидкости при прекращении фильтрации в пустой резервуар и при избегании переднего фронта жидкости иа препятствие.
Пусть начальному моменту г =О соответствует стациокаряое распределение уровня жидкости, отвечающее пологому беанапорному истечению жидкости из пласта в пустой резервуар. Если вторая граница пласта находится достаточно далеко, то пласт можно считать полубескопечльв>; начальное распределение уровня жидкости Ьз(х), удовлетворяющее уравнению (1Ъ'.ЗЛ) и условию Ьз (0) = О, представляется в виде: (1У.5.1) где д — постоянный поток жидкости, вытекающей иа пласта. Заметим, что возвышение свободной поверхности с увеличением х безгранично возрастает; однако зто не имеет значения, поскольку, рассматривая бесконечныи пласт, мы интересуемся только начальной стадией движения, когда возмущения стационарного режима, производимые вблизи границы х= О, несущественно сказываются вблизи второй границы, Предположим теперь, что в начальный момент времени граница пласта х = О внеаапно изолируется, так что истечение жидкости через кее прекращается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
