Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Стало быть, на основе соотношений (1Ъ'.2.5) и (Гт'.2.6) имеем Ь= — Ь,<р(х~ —, х!)=Ь;,~р~х~/ — „',, к!')= =е Ьд~4 ь -, и — кг) (1У.2.7) Отсюда следует, что прн любом т имеет место тождество ср (х ф~ — „, к!)— : е"'ар(х "~l „" — „,, к! — хт). (1У.2.8) Положим теперь т = ! и получим ср(х ~/ —, кг)=ем<у(х~~ — "„,, 0) =-е"'~(х~l — „„-у). (1У.2. 9) где гр — безразмерная функция.
Положим теперь ! = г' + т, где т — произвольная константа. При этом условие (1У.2Л) и уравнение (1Ъ.2.3), как нетрудно проверить, записываются через новую переменную 1, так же как н через прежнюю переменную, а условие (1Ъ'.2.2) принимает внд: Ь(0 г) Ьоею ° . Ьо Ьеж (1 Ъ'.2. 6) (1У.2Л2) У (0) = 1; 1( ) = 0- В силу непрерывности напора жидкости и потока жидкости функция 1 (З) по-прежнему должна быть непрерывной и иметь непрерывную производнузо от квадрата л)з/д $. Мы получили, таким образом, для определения функция / ( «) граничную задачу того же тика, что и граничные задачи для азтомодельных решений, рассмотренных в предыдущем параграфе, и соответствующую значению параметра а, равному бесконечности, т.
е. Х = 1. Эффективное вычисление функции / ($) выполняется способом, указанным в п. 4 предыдущего параграфа; результаты вычислений были приведены в табл. 1Ч.1 и на рис. 1У.4. Функция / ($) =. 1 ($, 1) тождественно равна нулю при $ > 2 = 1,810; передний фронт хз (1) перемещается, таким образом, по аакону хо (г) = 1*810 )/ (1Ъ".2.13) а скорость его перемещения равна о, (~) = 0,905 )/ ахй,е~. (1Ъ .2.14) Полученное решение является в некотором смысле предельным для автомодельиых решений, рассмотренных в предыдущем параграфе.
В самом деле, положим в формуле (ГУЛ.6) о = Ьо (ат)-", (1Ч.2.$5) где Ь, — некоторая константа размерности напора; т — константа размерности времени, причем, очевидно, зги константы выбираются с точностью до некоторого постоянного множителя. Решение (1УЛ.6) принимает при атом зид =.~ -"у ( —,- ат ~ т/ адат / з — сз у" У а" И+а1Ъ т (1У.2.16) Итак, функция Ь, зависящая от пяти аргументов (1У.2.4), представляется через функцию одного аргумента: -«ям! )г ь ел!/(ц. (1Ъ'.2ЛО) Уа>з Подставляя (1Ч.2.10) в основное уравнение (1У.2.3), получаем для функции / ( $) обыкновенное дифференциальное уравнение (1 Ъ'.2 Л 1) Подставляя выражение (1Ч.2ЛО) в условие на бесконечности (1Ъ'.2Л) и граничное условие (1Ъ'.2.2), имеем граничные условия для функции / ( ть): Будем неограяиченно увеличивать в этом решении сс при начальном моменте 1 — — оо по закону ге =- — ат.
([Ч.2.17) Раскрывая неопределенность, получаем, что при сс -ь со ([Ч.2.18) Уравнение ([ЧЛ.7) в пределе при а -ь оо переходит в уравнение (1Ч.2.11), а условия (1Ч.1.8) и (1Ч.1.9) совпадают с условиями ([Ч.2.1 2); ~ ( В, Х) -~ ~ ( 5, 1) = / ( $). Обозначая т через 1/к, получаем, что при а -- со решение (ГЧ.2 16) стремится к решению (!Ч.2ЛО). Поэтому решение ([Ч.2.10) было названо предельным автомодельным решен и е м. Это решение было получено в работе Г. И. Баренблатта [8]. Предельные автомодельные решения представляют и принципиальный интерес в том отношении, что для доказательства автолюдельности этих решений уже недостаточно соображений анализа размерности, т. е.
недостаточно инвариантности постановки задачи относительно группы преобразования подобия величин с независимыми размерностями, как это было в ранее рассмотренных автомодельных задачах, а требуется дополнительно воспользоваться инвариантностью постановки задачи относительно еще одной группы — группы преобразований переноса по времени. Приведенные при рассмотрении предельной автомодельной задачи рассуждения носят общий характер и могут применяться во многих других задачах. Очевидно, что предельные автомодельные движения существуют всегда, если система основных уравнений рассматриваемой задачи имеет автомодельвые решения обычного степеннбго типа с п р о и з в о л ь н ы м показателем степени (который может принимать сколь угодно большие значения) и инвариантна относительно преобразования переноса соответствующей координаты.
Как пример можно указать задачу пограничного слоя в несжимаемой жидкости, а также задачу одномерных неустановизшихся движений газа. Полученные для этих задач автомодельные решения, содержащие степенные функции независимых перемепных [136, 103[, при предельном переходе, аналогичном проделанному в рассматриваемой задаче теории фильтрации ', дают предельные автомодельпые решения, полученные Гольдштейном и Станюковичем [137, 109[ путем формальной постановки.
Задача. На грающе г .— — О полубеспопечного пласта с непронпцаеммм горизонтальным водоупором задается погон (расход) жпдкостк пак сгепепная функция зременп — — С~ — ) = <г-с,»; б> — б т>6. (~уовлэ) 4 /дМ~ 2 ~ дх )х-е Начальный напор зо всем пласте резеы нулю. г См. статью Г. И.
Баревблагга [6[ и книгу Л. И. Седова [г02[. 76 Решение задачи представляется в виде: бате (г — ее)еам ) /' ( Г2СМ(Л) (р+2)е ) О ( СтМе(Л)(6+2) ) ( (, 9ает(г — ге)З+т где М (Л) = — сЦе (О, Л)/61 (см. рис. 1У.5 и табл. 1Ч.2), а координата переднего фРонта жидкости ле (1) — в виде: Г ватт(е — ге)е+т -)$/. е(" = 1'~) 1.2СМ(Л) (()+2)е Л (1Ч.2.21) 2. Осесимметричные автомодельвые двшкения. При осесимметричных пологих безнапорных двия ениях жидкости напор жидкости Ь удовлетворяет уравнению ЗЬ 1 а 1 аат Л С ЬРХ И= — = — ~ М г дг (, дг ~' 2ж 2)иа' (1Ч.2.22) где г — расстояние рассматриваемой точки пласта от оси симметрии.
Рассмотрим следующую задачу. Пусть (рис. 1Ч.6) в бесконечный пласт, ограниченный снизу непроницаемой горизонтальной поверхностью — водоупором, через скваживу, радиус которой пренебрежимо мал, начинается заначка жидкости. Предположим, что начальный напор жидкости в пласте Рис. 1У.6 равен нулю, так что начальное условие и условие на бесконечности имеют вид: Ь(г,(е)=0; Ь(оо, 1)=-0. (1Ч.2.23) Предположим далее, что расход закачиваемой жидкости изменяется со временем по степеннбму закону. Выражение для полного расхода жидкости, аакачиваемой через скважину радиусом В, имеет ввд: т(1)=2яВ~ — СЬ з ) =- — лС(г и ), (1\'.2.24) дат т — яС (г — ) - = т (1 — (е)З, дг ~га†(1 \'.2.25) где т ) 0 и р ) — 1. В частности, случай )) =- 0 соответствует закачке жидкости в пласт с постоянным расходом.
Таким образом, решение задачи удовлетворяет уравнению (1Ч.2.22) и условиям (1Ч.2.23) 77 По предположению, радиус скважины пренебрежимо мал (ниже мы остановимся на причинах, по которым зто допущение можно делать для большинства реальных движений), поэтому можно принять В = О; так как расход жидкости, закачиваемой в сьважину, меняется по степенному закону, граничное условие на скважине принимает вид: и (1У.2.25).
По-прежнему, используя я-теорему анализа размер- ности, моя'но показать, что это решение является автомодельным и представляется в виде: -~ — „' ( — 1,)зз 'УЛ, Л). (1У.2. 26) Здесь при условиях — =- — 1; 1,(оо, Ц=-О, ИД ао Го (1У.2.29) Исследование этой граничной задачи проводится аналогично предыдущему; также единственным образом строится функция ~, ($, Л), отличающаяся от нуля лишь при 0 ~ $ ( ~, (Л), где $, (Л) — некоторая функция $, а при $ ~ $о (Л) тождественно равная нулю. Функция /, ($, Л) при $ -о 0 имеет особенность, как нетрудно видеть из первого условия (1У.2.29); 6($, Л) = 1/)в 1 а 0). 1 (1 У.2. 30) Второе условие ()У.2.29) моьчет быть приведено к другой форме." умножая уравнение (1У.2.28) на $ и интегрируя в пределах от $ = О до $ = оо, получаем, используя оба условия (1У.2.29) и условия ~В цц ) =О~ [$~ойю Л))о-о'=0 (1Ч 2.31) следующее интегральное соотношение: со ы (ю ~ Ц, ($, Л) Н$ = ~ Ц, Д, Л) Н$ =, ', .
о о Первое условие (1У.2.31) непосредственно следует из условия, которому удовлетворяет функция )т ( $, Л) на бесконечности, так как 78 (1У.2.32) - / 1а'т(1 — оо)'+о Р лС (9+2)о ' а+2 (1 У.2.27) представляют собой две независимые безразмерные комбинации определяющих параметров решения: других независимых комбинаций этих параметров не существует.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
