Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Таким образом, резюмируя все сказанное, получаем, что интегральные кривые уравнения (1Ч.1.7), удовлетворяющие условию (1Ч.1.8), располагаются следующим образом (рис. (Ч.З). Кривые 1 класса при $ — «со изменяются по закону 7' =Рси (Р+ Π— константа, различная для различных кривых), причем ни одна из этих кривых ни в одяой точке не касается и не пересекает оси абсцисс. Очевидно, что ни одна из этих кривых не является искомой, поскольку ни одна из нпх не удовлетворяет условию (1Ч.1.11) — для каждой из нвх интеграл 1 Ц ( ь, Х) д з расходится.
Исключением является случай сс =- О э (рассматриваемый ниже), для которого все кривые 1 класса имеют горизонтальные аснмптоты. На рис. 1Ч.З изображен случай п ) О. Остальные интегральные кривые (кривые Н класса) пересекают ось абсцисс в конечных точках, причем они подходят к оси абсцисс под прямым углом, поскольку для канадой из этих кривых соотношение (1Ч.1.25) дает при малых 7' . ~~ Ц+ О (1). (1Ч.1. 28) <р'=2СО+Е+О(~р'), которое показывает, что ц остается конечным при ~р -«О, т. е. при О для соответствующих интегральных кривых уравнения второго порядка $ остается конечным.
Имен это в виду и переходя в соотношении (1Ч.1.24) к переменным т', $, получаем, что при малых 1' соответствующие интегральные кривые 11 класса уравнения второго порядка (1Ч.1.7) удовлетворяют соотношению Здесь С ~ Π— константа, соответствующая рассматриваемой интегральной кривой Н класса, пересекающей ось абсцисс в точке с координатой $с.
Разделяющая кривая подходи г к оси абсцисс в точке $ = за под некоторым углом т. В силу (1У.1.27) этот угол определяется соотйошением 1 « гя т = Яа. 4 Поскольку напор жидкости по физическим соображениям не может быть отрицательным л, ясно, что искомая функция /($, Л) доля на какнм-то образом комоипироваться из интегральных кривых уравнения (1У.1.7), не принадлежащих к 1 классу„в той их части, где зти кривые располагаются над осью абсцисс„и из самой оси абсцисс. Однако, если мы составим функцию / (5, Л) таким образом, чтобы она представлялась отрезком некоторой кривой П класса вплоть до точки ьс пересечения этой кривой с осью абсцисс, и далее самой осью абсцисс, то полученная функция в точке ь = 5с будет иметь разрын производной от квадрата.
В самолг деле, прн приближении к точке пересечения $ = — $с справа, где функция /(аь, Л) представляется осью абсцисс, получаем, что (фа/г($)а„лс,а =. О, так как прн г(/т/с1$ тождественно равно нулю $» $с. При прнблиаггсниги аке к точке пересечения $ = $с слева, где функция / (5, Л) представляется некоторой кривой 11 класса, получаем в силу соотношения (1У.1.25) (,~~ )г . == 2Ссс чь О. (1У.1.29) Разрыв величины фа/г( $ соответствует разрыву потока жидкостгг, что противоречит постановке задачи.
Поэтому ни одна из функций / ( з, Л), получающихся указанной выше комбинацией интегральных кривых П класса прп С вЂ”.-'- О и оси абсцисс, не годится. Искомой кривой уравнения (1У.1.7), удовлетворяющей условию (1У.1.8), непрерывной и обладающей непрерывной производной от квадрата, будет кривая, состоящая из отрезка интегральной кривой, разделяющей кривые 1 и 11 классов, вплоть до пересечения ее с осью абсцисс в некоторой точке $а, и отрезка оси абсцисс $» с .
Сама функция непрерывна по построению; проверим непрерывность производной от квадрата в точке пересечения $ = 5а (в остальных точках эта непрерывность не вызывает сомнений, поскольку интегральная кривая состоит из двух участков гладких кривых). Прн подходе к точке $ == $ справа, где интегральная кривая представляется осью абсцисс, предел (г(/т/Ы $~=...о ранен нулго. Прн подходе к точке 5 = $а слепа предел равен (г(/а/г($)з а, а = 2 (/г1//г1 $)-,:, а и в силу (1У.1.27) равен — '/а ( Ц)1 г, -— — О. г Математически ато является следствием того, что для уравнения (1УЛ.2) справедлив принцип максимума, н соотаетстняи с которым решение не может оказаться отрицательным при положительных начальном и граничных усяониях.
5 ааааа гббл 65 Таким образом, для построенной кривой производная г(/з/г($ непрерывна. Покажем теперь, что построенная функция удовлетворяет условию (гт'Л.11). Умноягим обе части уравнения (1'тЛ.7) на $ и проинтегрируем в пределах от $ =- 0 до 5 = — оо (или, что то же, до $ = ~е, так как при 5 ~ $ / (б, Х) =: О). Получим Ь ь ы — ) ~ У(Рж+ — ~Р— %+~~ — =О ((УЛ.ЗО) е е е Но в силу непрерывности / и г//з/г/. $ имеем ~ Р— „~ д$ = 5з/ ~ — 2 ~ Ц($ Х) д~ = — 2 ~ $/ Я, Х) сЩ е о е е Ь 1" ~~ —",,", ц=йф — Д )й=/ (О,Ц=1, е а о откуда и из (1т'Л.ЗО) получаем сс Ь ~ Ц(К, Ц(~=~ ЦД, Цж=- —,'„, ((ЧЛ.З1) т.
е. функция / ($, Х) удовлетворяет условию (1т'Л.11), что и требовалось доказать. Таким образом, функция / ($, Х) отличается от нуля лишь при 5 ч" $„а при З ) $ она тоя<дественно равна нулю. Разумеется, величина Ц зависит от параметра Х. В точке е = $с функция /( ь, я) имеет разрыв первой производной г. Из требования непрерывности / н г(/з/г( $ и теоремы единственности решения дифференциального уравнения следует, что при составлении функции / ( ч, я) склеивание различных интегральных кривых уравнения (1т'Л.7) можно производить только в точках, где / =- О, откуда непосредственно вытекает единственность построенной нами функции, т.
е. единственность автомодельного решения '. ' Таким образом, иолучевкое решение я (я, г) уравяевия в частвых кроизводвых (1У.1.2) имеет разрыв произвадкой са/оз и иозтому ие является решением етого уравкеввя в классвческом смысле, а иредставляет обобщеквое решеиие атого ураввевия ио С. Л. Соболеву (107). ' Относительно доказательств единственности в автомодельвых веливейвых аадачах мошко сделать следующее общее заиечагше. Пряведевяые выше рассуждения (и аналогичные рассу;кдекия для других задач), доказывающие единственность решеиия краевой задачи для обыквовевкого ураввсвия, могут служить только доказательством едивствеикостп автомодельиых решений рассматриваемых задач. Само же доказательство автомодельвости решеиий, исходящее из соответствующих постановок краевых задач и основанное ка я-теореме, опирается ва вредволожевие о том, что решение может зависеть только от размервых параметров, входящих в ураввевия и гравичвые условия задачи (иваче 4.
Эффективное вычисление функции ( (б, ).). Для аффективного нычисления функции 1 ( $, )) нецелесообразно обращаться к интегрированию уравнения первого порядка (1Ч.1.16). Удобнее поступить следующим образом. Построим решение Ф (5, Х) уравнения второго порядка (1Ч.1.7), обращающееся при $ = 1 в нуль и имеющее в атой точке конечную первуто производную, т. е, соответствующее разделяющей интегральной кривой, проходящей через точку $ = 1. В силу равенства ((Ч.1.27), независимо от того, выполняется условие ((Ч.1.8) или нет, ата производная равна —.
х/ . При б (1 решение Ф ($, Л) представляется быстро сходящимся рядом Фа, ц= —,'(1 — ц+Сх(1 — 3)з+Сэ(1 — из+..., (1Ч.1.32) где (1Ч 1.33) Ряд (1Ч.1.32) достаточно быстро сходится на всем отрезке О ~ ~ $ = 1, однако для вычисления Ф ( $, Ц при малых 5 удобно воспользоваться методом Адамса — Штермера (см. об атом методе, например, в книге А.
Н Крылова 1611), вычисляя при помощи ряда (1Ч.1.32) необходимые при применении этого метода начальные значения Ф ($, )) в точках, близких к $ = 1. Суммируя ряд ((Ч.1.32) при ь = О или вычисляя Ф (О, Х) методом численного интегрирования, можно получить Ф (О, ь) = Л' (Х), где Л' (Х) представляет собой положительное число, не равное единтще. Таким образом, функция т' ( $, Х), равная Ф ( $, Х) при 3 ~ 1 н тождественно равная ну~па прн с ) 1 непрерывна и имеет непрерывную производную от квадрата.
удовлетворяет уравнению (1Ч.1.7) и условию на бесконечности (1Ч.1.9), а условию (1Ч.1.8) не удовлетворяет. Для получения искомого решения вспомним, что функция 1(5, Л)= — ', Ч И,).) (1Ч.1 34) также удовлетворяет уравнению (1Ч.1.7) при произвольном р ~ О и обладает нужными свойствами непрерывности. Выберем теперь говоря, иредползгзетея, что спстема определяюпшх параметрол полна).
'Галим образом, автоматически пенлючзются зее возмо.иные семейства решений, характерпзующяеея еще какпмл бы то нп было рззмернымн параметрами. Можно ирпвестп злеыентзрпый пример, хорошо иллюстрирующий зто обстоятельство. решение урзвнення теплонроводноегя ази,„=- и, прп условпях и (О, е) —.— = П = еопзт я и (оо, е) = О заведомо не единстзеппо; однако, как нетрудно показать, азтомодельпое решевпе этой задачи единственно. Полное докззательство едппстеенностп решения в естественном для рзссмзтрвэземых задач клзгее функций требует да;не для звтомодельных эздэч прпвлеченпя дополнительных еообршяешэй. бт р = р, таким обраэом,чтооы функция 7 ( 9, Х) удовлетворяла также и условию (1Ч.1.8), тогда полученная функция 7'(9, Л) будет удовлетворять всем условиям, налагаемым на искомое решение. Имеем 65= (1Ч.1,37) га г )7 (Л) Функция Ф (6, Х) и, следовательно, Ч' (9, Х) определяются суммированием ряда (1Ч.1.32) или численным интегрированием; оная р = р„, можно таким обраоом вычислить 7' (9, Л) о,оа о,оо а,ао а,оа оло 0,25 0,55 О,ЗО 0,55 0,9133 0,9222 0,9083 0,9060 0,9190 0,9161 0,9107 0,9034 0,9019 0,2 0,8341 0.8288 0,8149 0,8108 0,8192 0,80344 0,8070 0,7610 0,7528 0,7316 0.АЖ 0,7198 0,7144 0,3 0,7452 0,7382 0,7255 0,70933 0,6702 о,иа ( 0,6521 0.6052 0,4 0,6228 0,6166 0,6365 0,6107 0,5639 0,5547 0.5383 0,5 0,5240 0,5174 0,5113 ) о,а"..о 30 0,4448 0,42322 0,4169 0,4300 0,6 0,4618 0,4372 0,4110 0,3468 0,3545 0,3395 0,32 05 0,3149 0,3047 0,7 0,326Б 0,30977 0,2359 08 0,2419 0,2252 0,2074 0,2158 0,2И5 0,2036 0,1273 0.1090 0,1065 0,1143 0,9 0,1237 0,13)44 0,1172 0,1115 0,1042 О* (Л) 2,216 2.286 2,185 2,154 2,098 2,072 2,047 2.023 У(О, Ц =.1= — „', Ф(О, Л) =- — „', Л (Ц, (1Ч.1.35) Ра Ро откуда получаем да=1 17(Л).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
