Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 12
Текст из файла (страница 12)
1Ч.1 Вуссинеска (П.З.20) для данных геометрических условий задачи, а тактке граничному условию (?У.1.1), начальному условию и условию на бесконечности: й (х: сс) — й(со 1) — О. (1Ч.1.3) Напор в некоторой точке пласта Ь зависит от следующих аргументов: координаты х, времени, прошедшего от начала процесса 1 — се «в силУ оДноРодности УРавнениЯ («У.1.2) по вРемени напоР будет зависеть только от разности 1 — см а не от значений 1 и 1 в отдельности1, коэффициентов а и а и константы а. Вводя для удобства независимую размерность напора (это возможно, так как для рассматриваемой задачи несущественно, что размерности длины и напора одинаковы) ', получим размерности этих аргументов в следующем виде: «а) = «Ь«-'Тст-; «1 — с 1= Т1 «х« = Т.; «а« = «й« Т", (1Ч.1.й) где через «Ы, А и Т обозначены соответственно размерности напора, длины и времени; константа а безразмерна.
Из аргументов, от которых зависит напор жидкости, можно составить только две независимые безразмерные комоинации: в=--х алс1 СС(Š— ес)сы * --; а. (1Ч 1 г) т Действительно, в данном случае можно было бы вместо напора Ь ввести вренорционапьное ему давление у подошвы власта Ьрд, что не отразилсеь бм на остальных выкладках. В силу я-теоремы анализа размерностей выражение для напора можно представить в виде произведения комбинации определяющих параметров, имеющей размерность напора (в качестве нее можно взять о (( — (а)"), на безразмерную функцию от безразмерных комбинаций (г т'Л.5).
Имеем таким образом где / — безразмерная функция, а параметр Х введен вместо пара- метра а для удобства последующего изложения. Очевидно, что А лежит в интервале — 1 ~ Х (1. Имеем, далее, в силу ()Ъ'.1.6) да = ои(( (а)' /(г')") о(( (а)" 2 Г ась — -1)+г ц ' да д Ьа о-О--еа) "(а аП д-р даа ао О Ра)"+1 дЦа Подставляя зти соотношения в уравнение (1'ЧЛ.2) и упрощая, получаем для функции / о б ы к н о в е н н о е дифференциальное уравнение: (1Ч.1.7) После подстановки выражения (1УЛ.6) в граничное условие (!УЛЛ) и условие (1У.1.3) получаем для функции /($, Х) краевые условия: /(О, Л)=1; (1У.1.8) (ТTЛ.О) /(оа, Е) = О.
Напор и объемный поток (расход) грунтовых вод должны быть непрерывными функциями х и (. Используя закон Дарсн, имеем для расхода, приходящегося на единицу ширины пласта, выражение Со'О (г — га) ' г, д/а 2а а — '-1 — ' (1Ъ'Л ЛО) С дьа 2 дх Таким образом, из требования непрерывности расхода следует непрерывность функции с(/а/д $. При непрерывной функции / (6) и / + 0 требование непрерывности функции а(/т/дс = фф/ИЦ совпадает с требованием непрерывности производной ф/д $. Однако при / =- 0 нз непрерывности с(/'/Ы з непрерывность а(//пс не вытекает. Напротив, как увидим далее, искомая функция / ($, а) имеет в точке, где / обращается в нуль, разрыв первой производной. Условие (1ЧЛ.9) удобнее привести к другому виду.
Умножим обе части основного уравнения (1Ъ Л.2) на х и проинтегрируем по х от нуля до бесконечности. В результате получим х — о(х= — ~ хЬ(х, 1) о(х=а~ х — дх эь ас Г д*зо ш = ао 3 — 3 аоо о о о =а(х=") -,'-а[Ьо(О, г) — Ьо(оо, 1)). Очевидно, что дЬо/дх стремится к нулю при х — э.
ос быстрее, чем х т, в противном случае Ь не стремилось бы к нулю при х — о. сс. Используя это обстоятельство и условие на бесконечности (1Ч.1 3), получаем —, ~ хЬ(х, 1)ах=-аЬо(О, 1). а г о Интегрируя это соотношение в пределах от 1 =- 1о до 1 и используя граничное условие (1Ч.1.1) и представление решения (1ЧЛ.6), имеем Ь' (О ~) д~ = 2а+ 1 м (напомним, что считаем а удовлетворяющим неравенству — '/о ~а (со), откуда получаем исномое условие в форме ~ иК, ЬМ=,'++ — "-,+,.
(1Ъ' Л. 11) В интересующей нас области изменения а и Х правая часть (1УЛЛ1) конечна и положительна. 3. Исследование интегральных кривых обыкновенного дифференциального уравнения. Итак, решение рассматриваемой задачи свелось к решению обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (1ЧЛ.7) при условиях (1Ч.1.8) и (1У.1.11), непрерывного и имеющего непрерывную производную от квадрата. Заметим, что уравнение ((ЧЛ.7) инвариантно относительно группы преобразований Ф 6 р) = р 'И4, 7) (1Ъ'Л Л2) т.
е. если 1 ( С, р) удовлетворяет уравнению (1ЧЛ.7), то и Ф ($, р) удовлетворяет этому уравнению при произвольном положительном р. 61 Это свойство уравнения дает возможность понизить его порядок. Положим по общему. правилу (см., например, (53, стр. 93)) 1 (ь, Х) = РЧ3 (Ч, Х), Ч = 1п с, (1 т'ЛАЗ) тогда уравнение (1УЛ.7) сведется к уравнению второго порядка относительно функции ~у (В), не содержащему независимой переменной тр 'р~'+6Ч'+~рт +Ч' ' — ~ (1 — ))г1-~ ~ р'=-0 Полагая далее (1Ъ'.1Л4) (1У.1.15) и принимая ~у за независимую переменную, получим для функции ф уравнение первого порядка: — = — — (т'-т — )+ 0(1). к) $т Лс Г~ 4)' (1УЛ Л7) Стало быть, при малых ~р и ф) — — интегральные кривые имеют $ большой отрицатечьный наклон, при ф ( — — — большой полол'и- 4 тельный наклон.
Интегрируя уравнение (1У.(Л7), получим, что вблизи осн ф интегральные кривые представляются формулой ф= — — — -т 0(~), с (р 4 (17ЛЛ8) где С вЂ” константа интегрирования, различная для разных интегральных кривых. Для исследования поведения интегральных кривых в окрестности начала координат проведем через начало прямыеф =.— = т~у и рассмотрим поведение интегральных кривых на этих прямых вблизи начала. Имеем на прямой ф =- т~ вблизи начала — = — — (т+ 2($ — й))- 0(1), скг 4 Нч 4т~р так что при вт )т =- — 2 (1 — Х) — — 2/(1 + а) наклон интегральных кривых велик и отрицателен, при т ( гиа — велик и поло- — — — — ~бч 7~уф- Ф - - р — Ф1 (1УЛ 16) Исследование этого уравнения проводится обычным образом (см., например, книгу В.
В. Степанова (111)). Поскольку, очевидно, напор заведомо неотрицателен, функция 1 и, следовательно, функция ~у также неотрицательны„так что интересующая нас область плоскости у~ представляет собой правую почуплоскость (см. рпс. 1Ъ'.2). Вблизи осн ф (т. е. там. где ср мало и ф )) <р) уравнение (1Ъ Л.16) записывается следующим образом: жителен. Как нетрудно видеть, при положительных ср и ф, т. е.
в первом квадранте, наклон интегральных кривых отрицателен. Вблизи осн ~у, т. е. при йалых л) << ~у, уравнение (1У.1Л6) представляется в виде: —,) ~Ит 2 .)+0(1), (1У.1.20) позтому вблизи атой оси наклон интегральных кривых меняет знак, обращаясь в бесконечность. Таким образом, интегральные кривые уравнения первого порядка (1У.1.16) имеют вид, изображенный ка рис. 1У.2 В зависимости от того, положительно С или отрицательно, эти интегральные кривые разбиваются на два класса: 1 и П.
Уравнение )" (1У.1.18) показывает, что ни одна из интегральных кривых 1 класса (С лО) и ки одна нз интегральных кривых П класса (С а.О) не пересекает ось ф в конечной точке. Кривые 1 класса вблизи начала координат стремятся к совпадению с прямой линией ф =- ллем = —, так что 2~р а+1' вблизи начала координат плоскости у) зги кривые удовлетворяют уравнению Ряс. 1У.2 — = — юр+ 0 (сл). (1Ъ'Л.21) ЗЧ а+1 Интегрируя зто уравнение, получаем 1п<р= — л)+)п1)+..
=- — — 1п$+)пй+..., 2 2 а+1 а+1 (1Ъ'Л.22) лу — пса а+1 где 1) — константа интегрирования, а многоточия означают иеучитываемые малые величины. Из (1УЛ.22) видно, что при подходе вдоль рассматриваемой интегральной кривой к началу координат, т. е. при ~у — О, з стремится к бескокечности. Возвращаясь к переменным 1 и 5, получаем, что интегральные кривые уравнения второго порядка (1Ъ'Л.Т), соответствующие интегральным кривым 1 класса уравнения первого порядка, при 5 — оо удовлетворяют соотношению (1У.1.23) 1 — Ваьла ) о (аьза) Далее, при малых ~)л для интегральных кривых П класса имеем (С<0).
( 1У.1.24) Интегрируя это уравнение, получим соотношение — „= 2С$з+ О(1). (1Ч.1.25) Интегральные кривые 1 и 11 классов уравнения первого порядка (1Ч.1.16) разделяются интегральной кривой, соответствующей С = О, которая вблизи оси ф представ- У ляется уравнением ) ==- — „= — —,-,- О(р). (1Ч.1.26) йр 1 Переходя к переменным (и $, получаем, что разделяющая кривая прн малых 1' удовлетворяет соотношеншо 4 р .из — = — — $ — О (Д). И ! и$4 (1Ч.1.27) Системы интегральных кривых уравнения второго порядка (1Ч.1.7), принимающих различные значения при $ = О, получаются одна иэ другой преобразованием подобия (1Ч.1.12).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
