Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 17
Текст из файла (страница 17)
в случае постоянного расхода закачиваемой жндности и (1) = т, т. е. при р = О, выражение для напора жидкости представляется в виде: 1 ==-( ) А 1 —, — О). зЪ.2.37) Координата переднего фронта 'кидкости в эхом случае вырая<ается как гэ (1) =- 1,537 ( — ) Х Х )~Ю вЂ” 1р=- 1,087 ( — ) 1à — 1а. (1 т'.2.38) (ББ глг (ББ Р ДГБ ЮББ П,ТБ Рис. 1Р.7 Рос.
1У.8 й 3. АВТОМОДЕЛЬНЫЕ ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ И ГАЗА ПЛОСКИМИ ВОЛНАМИ В ПОЧУБЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ ПРИ НЕНУЛЕВОМ НАЧАЛЬНОМ ДАВЛЕНИИ ГАЗА ИЛИ УРОВНЕ ЖИДКОСТИ 1. Автомодельные пологие безнапорные движения при ненулевом начальном уровне жидкости. Рассмотрим снова пологие безнапорные двюкения несжимаемой жидкости в полубесноиечном пласте, ограниченном снизу горизонтальным водоупором, а сбоку— вертикальной плоской границей, по другую сторону которой располагается резервуар, заполненный жидкостью. Предположим, что начальный уровень жидкости в пласте над водоупором постоянен и равен некоторому значению Ью отличному от нуля (случай Ьс = О был рассмотрен выше). Предположим, далее, что в начальный момент уровень жидкости в резервуаре внезапно изменяется, достигает некоторой величивы Ь, большей или меньшей Ьр (но сначала не равной нулю; случай Ь = 0 будет рассмотрен особо) и затем остается постоянным.
Очевидно, что возвышение Ьд свободной поверхности жидкости зависит только от времени Ф и координаты х, отсчитываемой по нормали к плоской границе; самой этой границе мы придадим значение координаты х, равное нулю„так что уравнение для Ь имеет вид: да дрор ~ЧЖ др дат 1 сии ' — =а — а=-- —. (11.3.1) В силу постоянства начального уровня жидкости начальное условие и условие на бесконечности представляются в виде: (1 Ъ' 3.-) Ь(х, 0)~Ьр', Ь(оо, 1)=Ь„, а условие на границе пласта х = 0 принимает форму Ь (О, г) = Ь, (1 1'.З.З) Таким обравом, возвышение Ь свободной поверхности зависит от следующих величин: (1Ъ'.3.4) х, р, а, Лр имеющих равмерности (х)*-Л; (Г)*-т; (а)=(Ь)-глтт-', (Ьр)-(Ь,) (Ь) (А — размерность длины, Т вЂ” размерность времени, !Ь) — размерность напора, которую мы вправе принять независимой от размерности длины).
Из величин (1р'.3.4) можно, очевидно, составить две независимые безразмерные комбинации, в качестве которых удобно выбрать х=- — р, 1' ррг р Ьг (11'.3.5) так что рассматриваемое движение оказывается автомодельным н функция Ь представляется в виде: и граничные условия Р(0, Х)=1, Г(оо, Х)=-Х. (1Т.З.З) В атом случае нн одно из граничных условий (1У.3.8) уже не инвариантно относительно группы преобразований Е (В) = — ', Ь (р1, Ц, Ь-Ь,Р Я, Х). (1У.3.6) Подставляя это представление функции Ь в уравнение (1У.ЗЛ) и условия (Гр'.3.2) и (Гр".3.3), получаем для определения функции г" ($, Х) уравнение (1У'.3.7) хотя уравнение (1У.3.7) по-прежнему инвариантно относительно атой группы.
Из-за етого обстоятельства определение функции г' ($, Л) не удается привести к задаче Коши, что сильно осложняет ее аффективное вычисление. Позтому вычисления были проведены на быстродействующей алектронной счетной машине (руководил вычислениями Н. П. Ррифовов). Значения функции г' (5, Л) представлены для различных Л (от 0 до 2 с шагом 0,1) на рис.
1Ъ',9, адесь же изображен предельный случай Л =- О, соответствующий ܄— — 0 и рассмотренный выше. На рисунке 1У.10 приведены с(Р р . гу.е Рис. 1У 10 луа ~ значения функции д (Л) =- — 1, - определяющие поток жид- 1Ф-.о' кости череа границу пласта д согласно соотношенвю ьгх ьЕг (ь) (1У Ц 9) Представим в уравнении (1Ъ'3 7) член ',Д вЂ”. в виде — $ лЕ 1 л(Р6. Л) — Л! 2 л 2 д1 умножим обе его части на $ и проинтегрируем зто уравнение от е = 0 до ь = со; получим Исследование, которое мы здесь опускаем, показывает, что функция Г ( $, А) стремится к своему предельному значению при $ — оо очень быстро, по показательному закону.
Поэтому, а также учитыарз вая, что при $ = 0 г' ( $, Х) и — конечны, получаем л1 ~ —",,'Д',, = — '; [~(Ь, ~) — ~[';,-=(). Поскольку, очевидно, ~;~' а=к (.,Ц вЂ” Р (О,Ь), о выражение ([Ч.3.10) дает интегральное соотношение, которому удовлетворяет функция г' ( $, А): (1Ч.3.11) Ь = Ьаф (ь) (1Ч.3.12) Функция Ь по-прежнему удовлетворяет уравнению Буссинеска (1Ч.З 1), начальному условию и условию на бесконечности (1Ч.3.2), а также граничному условию Ь(0, 1)=0, (1Ч.3.13) откуда получается, что функция ф ($) удовлетворяет уравнению — „+ — $ — „=0 Ф~р- '1 д<р зьт 2 дй (1Ч.З 14) при условиях ф(0) = О; ф (со) = 1. (1Ч.3.15) В этом случае уравнение (1Ч.3 14) и первое условие (1Ч.3.15) инвариантны относительно группы преобразований 1(С) = р зф. 37 Рассмотренные выше автомодельные решения задачи о пологой безнапорной фильтрации жидкости прк ненулевом начальном уровне были найдены П.
Я. Полубариновой-Кочиной [92, 93[. На существование автомодельных решений такого типа в задачах нестационарной фильтрации жидкости и газа былб указано в работах Буссинеска [133[ и Лейбензона [721, однако ни их качественного исследования, ни численного расчет» в этих работах проведено не было. 2. Фильтрация жидкости из полубесконсчного пласта в пустой реаервуар. Случай Ьт = 0 нуждается в отдельном рассмотрении. Здесь из оставшихся определяющих параметров можно составить только одну безразмерную комбинацию $ =- хД/айэ1, так что возвышение свободной поверхности Ь представляется в виде.
1!оэтому, если ~Р ($) удовлетворяет уравнению (1т".3.14) и первому условию (!У.3.15), то и / ( $) удовлетворяет этим соотношениям при любом р ) О. Это дает возможность свести определение функции <р к решению задачи Коши для уравнения (1Ч.3.14). Однако в данном случае нет даже необходимости решать задачу Коши ввиду того, что рассматриваемая задача оказывается в точности математически эквивалентной основной задаче теории пограничного слоя— о пограничном слое на плоской пластине. В самом деле, положим в уравнении (1У,ЗЛ) г (х, Ф) =- Ь,', — Ь'.
Тогда это уравнение сводится к виду: — '.=- 2а $/Ьоз — ст (1Ъ'.3.16) а условия (1Ч.3.2) и (1т'.З.З) пере- пишутся так: з(со, !).—..—.О; з(О, т)=-Ь';, г (х, О) =- О. (1Ч.3.17) Но уравнение (1т".3.16) и усло- вия (1т'.ЗЛ7) совпадают с основным р ду Ьо з уравнением в форме Мизеса и ус- ловиямп упомянутой задачи теории Ркс. 1у.1! пограничного слоя !59), если за- менить ! на продольную ноординату х, х — на функцию тоьа ф 2а — на вязкость жидкости т, Ь,— на скорость набегающего потока (У, причем г выражает величину б'т — из, где и — продольная скорость потока.
Таким образом, возвышение свободной поверхности Ь соответствует продольной скорости потока и в задаче пограничного слоя. Заметим теперь, что мы определяем зависимость функции ~у, равной Ь/Ьэ, от переменной з = — х/)~ аЬ~8, которая в терминах пограничного слоя соответствует зависимости функции и/с/ от переменной $ ь' †, . Как известно ъ/ из теории пограничного слоя, (1У.3Л8) ~ =- ь'(т))' —,=.— = 1(ц). умах где ь (ц) — ватабулированная функция Блазиуса, таблица значений производной от которой имеется в каждом руководстве по гидро- . ° / 6' динамике, а ц — бевраэмерная переменная Блазнуса, равная у у— (у — поперечная координата в пограни шом слое). Таким образом, мы должны найти зависимость ь' от переменной )/2ь и затем, полагая Г = су, )/2ь = Ц, получим искомую функцию ~ ($).
На рис. 1ас.11 приведены полученные таким образом значения функции ф (5). Определим теперь поток жидкости, вытекающей в резервуар иэ пласта. Имеем Осд дло ~ Ьрдд~ эта дв [х-а 2р Уо~ с Н5 ~4-а ' Но согласно предыдущему ср = Ь"' ()/24), так что Как известно нз теории пограничного слоя, величина С" (О), через которую выражается коэффициент трения пластины, равна 0,332, откуда получаем окончательно выражение для потока жидкости, вытекающей в резервуар, в виде: Ч д=- — 0 332 ~~ — а — = -0,332 йос' ~/ Р (1У 3.1с!) Рассмотренное решение было найдено П. Я. ПолубариновойКочиной 192 — 941. 4 4. ОСКСИММЕТРИЧНЫЕ АВТОМОДКЛЬНЫК ДВИЖКНИЯ В БЕСКОНЕЧНОМ ПЛАСТЕ ПРИ НЕНУЛКВОМ НАЧАЛЬНОМ ДАВЛЕНИИ ГАЗА ИЛИ УРОВНЕ ЖИДКОСТИ 1.
Автомодельное изотермическое движение термодшсамнчесьи идеального газа с постоянной вязкостью, возникающее прн закачке илн отборе газа через скважину. Рассмотрим бесконечный горизонтальный пласт мощностью 1?, вскрытый по всей мощкоспс цилиндрической скважиной, направление которой перпендикулярно направлению простирания пласта. В начальный момент пласт насыщен газом, находящимся под давлением Р.
Через вскрывающую пласт скважину в начальный момент начинает эакачиваться гаэ с постоянным массовым расходом с). Рассмотрим возникающее при этом фильтрационное движение газа. Поскольку картина движения симметрична и одинакова во всех плоскостях, перпендикулярных осн скважины, распределение давления газа зависит только от времени ! и расстояния г рассматриваемой точки пласта от оси скважины г = О и удовлетворяет уравнению др а ! д / драч Сс (1У ч.1) дс о дс (, дс !' 2тр ' Начальное давление газа в пласте постоянно и равно Р, так что начальное условие и условие на бесконечности имеют вид: р(с, О),=-:Р, р(оо, !)=-Р. (1Ъ'.4.2) 88 Через скважину, радиус которой равен В, в пласт закачивается газ с постоянным массовым расходом д: (Ж.4.3) Будем считать радиус скважины пренебрежимо малым (ниже мы приведем оценки, оправдывающие это допущение).
Тогда условие (1У.4.3) перепишется в виде: ( -)= г — -[ арй ~ арра (1 т'.4.4) й' ~к-а яьнра ' Итак, искомое распределение давления в пласте, удовлетворяющее уравнению (1т'.4Л) и условиям (1Ъ'.4.2) и (1У.4.4), зависит от определяющих параметров г, 8, аз, Ч~ ', раамерности которых яВНр„' следующие: [г! = Е; [11= Т; [а'1 = [р! тХ,'Т 'Г зогз [ = [р[з. ро [Р! = [р) ([р! — размерность давлении). При помощи анализа размерности молото убедиться в автомодельности рассматриваемого движения.
Распределение давления при 'атом представляется в виде: р=р~,(~, ь); 9 '; ) = — Ч~"~ . (19.4.3) Подставляя (1Ч.4.5) в уравнение (1т'.4.1) и условия (1Ъ'.4.2) и (1т'.4.4), получим, что функция Е (9, Х) является интегралом уравнения дав т дй й ляг д1з $ сЦ 2 сй ' + — — '+ — — =О (1У.4.6) при граничных условиях ($ — ') = — Ц Р,(оо, Х)=1. (1У.4Л) Качественная картина расположения интегральных кривых уравнения (1У.4.6) исслЕдуется аналогично тому, как описано в 91: точно так же порядок уравнения (1У.4.6) понижается до первого, затем исследуется картина интегральных кривых уравнения первого порядка, после чего результаты переносятся на интегральные кривые уравнения (1Ъ'.4.6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
