Г.И. Баренблатт, В.М. Ентов, В.М. Рыжик - Теория нестационарной фильтрации жидкости и газа (1132325), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Расход жидкости, отбираемой из скважины, по-прежнему считается постоянным. Тогда вплоть до момента Г = 1» =- Л»</12яг для распределения давлении справедливо, в первом приближении, соотношение (».2.12). При 1 ' 1, необходимо учитывать условие на контуре питания: р(Л, 1) = О. (Ъ'.2.13) Примем далее, что при 1 ) 1< 1 (1) = Ле). Тогда представление (т'.2.11) примет вид: р(г, К) =-.
д)п — +Р (1)+ Р (1) —, ( т'.2.14) причем из условия р (Л, 1) = О следует Ро = — Ры Для определения едкнственной оставшейся неизвестной функции Р„Я воспользуемся первым интегральным соотношением (т'.2.2). Полагая здесь' Лг = О, Л, .— — Л и учитывая (»<.2.14), получим я — ) р(г, 1)гс(г= — Л' — == — нР „ зг 1,ие л»,) ,я ' ее а< Часто нстречаются еобосяоеаняя» этого допущення, связанные с той нян иной физической пнтерпретацпей арадяуса вляянпя» 1 (<). Такая интерпретация вовсе необязательна. С тазам же успехом можно было бы и далыпе пользоеаться предств<леннем (<<.2 11) прн 1 .,» й, но рассматрпеать решенно лишь прп г ( Л, записывать ннтегральные соотношения толыш для этого участка н учитывать дополшпельные условия прн г = й. 129 9 заза» <865 Полученное дифференциальное уравнение для Рз должно решаться нри условии Ра[>ы, = — д, которос следует на требования непрерывности давления прн г = (ч и соотношений (У.2Л1) и (У.2Л4).
Соответствующее решение имеет вид: Р,(г) =- — дехр [ - — ' "„ ая (.'-->>) 1 (Ъ'.2Л5) Таким образом, приближенное выражение для распределения давления будет р(г, С)=д[п — — д(( — — ) ехр[ — —, ' [. (У.2.16) Как видно, распределение давления быстро стремится к стационарному. 4. Прежде чем перейтн к более сложным задачам, рассмотрим вопрос о том, каким образом, не имея точного решения, оценить степень приближения, достигаемого прн помощя метода интегральных соотношений.
Трудность здесь заключается в том, что пег критерия, позволяющего определить ааранее, сколько нуяэ>о взять приближений, чтобы получить решение с заданной точностью. Более того, лишь в искл>очнтельно редких случаях удается определить, насколько построенное решение отличается от точного. При этом так же, как и во мкогих других задачах, связанных с отысканием эффективного прибли>венного решения, обычно используются два критерия точности приближенного решения: первый — проверка на близких по постановке задачах, допуска>ощих точное решение (как это делалось выше); второй — решение зада >и с последовательным увеличением числа членов приближаю>цего многочлена.
Расчет ведется до тех пор, пока разность двух приближенных решений не станет меньше заданного значения. Что касается практических расчетов, то в них почти всегда ограничиваются тремя членамн в приближенном выражении для давления. Рассмотренный в последних двух параграфах метод интегральных соотношений был предложен для решения нестационарных задач теории фильтрации Г. И. Баренблаттом [101 и многократно применялся рядом исследователей.
До сих пор широко используется также более грубый, но более простой метод последовательной смены стационаркь>х состояний И201 н его видоизменение, данное А. М. Пирвердяном 1901. царяду с рассмотренными выше методами последовательной смень> стационарных состояний и интегральных соотно>пений часто применяется такясе метод осреднения производной по времени в соответствующем уравнении. Этот метод аналогичен методу Счезкина — Тарга И051 в теории пограничного слоя; в гидроданамнчсскук> теорию фильтрации он введен работами Ю. Д. Соколова [1091 и Г. П. Гусейнова [391.
Так же, кан и в рассхштренных выше методах, весь пласт разбивается на область движения (возмущенную область) и область покоя; в области движения производная по времени заменяется ее средним по области значением. После этого распределение давления в зоне движеннл определяется путем решения обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Решение содержит в качестве параметров среднее значение временнбй производной и протяженность зоны двня'ения. Для их определения обычным образом используются краевыс условия сопряжения и интегральные соотношения. Таким образом, как и в теории пограничного слоя, этот метод является вариантом метода интегральных соотношений. % з. ркшкник злдлч нкстлционлкнон фильтклнии глзл $.
Для задач фильтрации газа, равно как и для близких к ним задач фильтрации в неупруго-деформируемой среде, приближенные методы составляют практически единственное средство аффективного аналитического исследования, если не считать немногочисленных автомодельньтх случаев. Самую зпирокую область применения имеет метод, указанный еще Л. С. Лсйбепзоном (71!. Этот метод заключается в том, что вместо нелинейного дифференциального уравнения (У 3.2) рассматривается линейное (относительно рз) уравнение ~Р' ЬРо Г ~Р' ~'Р' + д*.д' ~ д( ти ~ дзм + двз дю /' где лз — некоторое постоянное давление.
Очевидно, это уравнение получается из выражения (У.3.1), если умножить это уравнение па р, а затем заменить в множителе перед скобкой р на рю В качестве ро обычно берется некоторое характерное давление. Л. С. Лейбензон впервые ввел такое преобразование в связи с задачей об изменении давления в первоначально невозмущенном пласте, и под р зон понимал давление в невозмущенной части пласта. Такой способ сведения нелинейного уравнения (У.3.1). к линейному (У.3.2) называется линеаризацией по Л. С.
Лейбензону. К линейному уравнению (У.3.2) применим весь хорошо разработанныйй аппарат теории теплопро водности (и теории упругого режима). Важнейшее достоинство метода состоит в том, что оп имеет весьма широкую область применения — - как при решении одномерных, так и многомерных задач, при любом законе изменения граничных значений давления и расхода жидкости и т. д. Это определило широкое применение метода линеаризации в теории разработъи газовых несторов'денни. Однако этот метод имеет и недостаток: при его применении специфика аадачи, отличающая ее от задач упругого режима, правильно учитывается лишь в тех областях, где движение можно считать стационарным (действительно, в таких областях др/д1= = дрз/дГ = О и уравнения (У.3.1) и (У.3.2) совпадают).
9» нн К настоящему времени кисстея уя'е довольно значительный опыт применении иетода Л. С. Лейбепзока. Он оказался весьма аффективным прн решении задач, в которых первоначально неподвпжнь>й газ начинает двигаться под влилниои локальных возмущений.
Типичной в этом отношении является аадача о пуске газовой скважины в бесконечном пласте. После линеаризации можно воспользоваться готовыи решением из гл. 111, 2 2. Имеем ддре, / гтп>д 2ЯЬ 21Ре (Ч 3.3) (Ч.3.4) при условиях ( О) . др (н >) О. 2' гидр др(гег) - д. (Ч.3.5) дг ' и дг Из последнего граничного условия (Ч.3.5) следует, что при приближении к скважш>е изменение давления может быть асимптотически представлено выражением ' р' 7'(г, 1) — — 1пг, яд (Ч.3.6) где 7 (г, () не имеет осоГ>енности при г — г О. т Этны выражением, очевидно, ь>ожно пользоваться лишь тогда, когда его правая часть положительна (ср.
соответствую>цее место из гл. 1Ч об авиамодельных задачах). 132 где г — расстояние точки от осн скваятины; ре — начальное давление в пласте, а д — обхемный дебит скваяшны на единицу мощности. пласта, приведенный к начальному пластовому давлснин> рр. Метод ликеарпзации обладает еще одним достоинством, осооенно существенным с логической точки зрения, — ого ио кно включить в общую схему метода малого параметра.
Ииеппо так понимал этот метод Л. С. Лейбепзои [71). Детальное изложение метода малого параметра в теории нестационарной фильтрации и примеры его применения можно найти в книге П. Я. Полубариново>ьКочиной [941; последовательное применение метода малого параметра к задачам исследования скважин приведено в книге 135). 2. Линеарпзация и метод малого параметра отличаются громоадкостью, осоГ>енно применительно к исследованию движения в ограниченной области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
