Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 99
Текст из файла (страница 99)
13) систелса (2) допускает в окрестности точки Ь = У(а) голоморфное решение г =д(св). Это означает, что при У(а) чь 0 отображение г-ьУ(г) является гомеоморфным в некоторой окрестности точки а. Покажем, что для голоморфных отображений верно и обратное утверждение'). Пусть векторная функция У осуществляет голом орфный гомеоморфизм окрестности (У, точки а еи С" на окрестность (т» точки Ь= У(а).
Тогда якобиан У(г) этого отображения не может быть тождественно равным нулю, нбо в этом случае оказался бы тождественно равным нулю и якобнан '", -) У(г) (х (мы положили г,=х +»х„„, ш,=и,+(и„„), д (хп, к»хУ а тогда по теореме из действительного анализа функции ии ..., ит„ были бы зависимыми') и У не могло бы быть гомеоморфизмом. Таким образом, множество М=(ген (У,: У(г) =О) не выше чем (2п — 2)-мерно, и в силу гомеоморфнзма таким же является его образ М'=((М). Рассмотрим обратное к У отображение йи ('»- (У,. Оно непрерывно всюду в (т» и по доказанному выше голоморфно всюду в (т» ьь М' (в соответствующих точках г якобиан У(г) чь 0).
Так как М' — аналитическое множество„то отображение д голоморфно продолжается в полную окрестность )т» (см. и. 19). Теперь мы знаем, что всюду в (к» справедливо тождество (ад(св)к— ж св, где У и е — голоморфные функции. По правилам ') Напомним, что для отображений класса С зто обратное утверждение неверно: отображение х -ьк» (т 1, „2п) пространства Сп на себя томеоморфно, а его якобиан обращается в нуль на плоскостях (хе=о).
') См. задачу 14. осовенностт! и Вычеты [ГЛ. Н 516 дифференцирования отсюда получается тождество д(1» ° ° ° )а) д [я!, ", га) д (гь ° ° ., г„) д (ю„..., м„) справедливое для всех точек ген (у, и соответствующих точек [е ен Уь. Из него и следует, что з'(г) чь 0 в (т',. Таким образом, доказана Т е о р е и а 1. Для локальной го,неомор[рности голомор[бного отображения 1: Л вЂ” ьСч области гг ~Си необходимо и достад ((ь ° ° 1а) точно, чтобы якобиан ' "" " Ф 0 в,(г.
Перейдем теперь к изучению задачи локального обращения в случае, когда якобиан отображения )". равен нулю в точке а, однако а является и з о л и р о в а н н о й точкой ') множества (и: 1(г) = Ь). Для простоты мы проведем исследование для н = 2, причем без ограничения общности примем а = Ь = О. Итак, мы рассматриваем систему двух уравнений 1 (аы М=~, )а(ап М=ш (4) н хотим найти в окрестности точки ш = 0 ее решения г, =д! (ш„[ез), и, дз(а и [ез) такие, что д! (О, 0) = дз(0, 0) = О. Из нашего предположения следует, что 1! и 1, не равны тождественно нулю.
Поэтому (сделав, если надо, дополнительное линейное преобразование пространства г) мы можем считать, что 1,(г,, 0) Ф 0 (и = 1, 2). В силу подготовительной теоремы Вейерштрасса (п. 6) систему (4) можно заменить равносильной ей системой Р,(г, ш) =г!" + с!(г„и!)г! '+ ... +с,, (гг [е)=О, (5) Рз(г ш) =г!.+с([(гг 'е)г! '+ ... + сть (гз, [е) = 0 где с, и с(,— голоморфные функции от гы ш, н [е„обращающиеся в нуль в начале. Исключение г, из (5) приводит к уравнению )с(гз, ы) = О, (6) где )с — результант многочленов Р, и Р, — голоморфная функция. Если бы было т((г„О)=0, то уравнения (5) при в=О имели бы общее решение г,=!р(г,), [р(0)=0, но тогда г=О была предельной точкой множества (г: 1(г) =0), вопреки пред- ') Это условие заведомо не выполняется, если якобиан У = О или если все функции 1» (г) — ь» приводимы и имеют общий множитель, равный нулю в точке а (как для системы !г! =г!, ма =г!г, в точке г О). 517 2 и) АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖГСТВА положению.
Поэтому к !с можно снова применить подготовительную теорему и заменить (б) равносильным ему уравнением Р(г,, а) = га+ а, (в) га '+ ... + а (в) = О, (7) где а, — голоморфиые функции в некоторой окрестности 1г точки в = О, а,(О) = О. Таким образом, отыскание функции г, = ке(в) свелось к решению алгебраического уравнения с голоморфными коэффициентами. Рассмотрим дискриминангное множество ь =(вги)г: Л (в) = 0), где Л вЂ” результант многочлена Р(г,, в) и его производной по гз (см.
п. 43). Это множество аиалитично, следовательно, оно самое большее двумерно и не разбивает окрестности )г. В точках )г ' Л уравнение (7) имеет й различных голоморфных корней г',"'=да""(в), в 'точках же Л некоторые из этих корней совпадают и теряют голоморфность. Множество Л, следовательно, является множеством ветвления аналитической функции дз(в). Аналогично исследуется зависимость г, = и, (в). Заметим, что при известной функции ге=де(в) функцию д, можно получить, подставляя дзи! в каждое из уравнений (5) и находя общий наибольший делитель д„(гн в) многочленов по г„полученных из левых частей (5) после этой подстановки: значение г„ соответствующее значению 212в~ =д<ю(в), будет корнем много- члена с(и.
На этом пути можно доказать'), что для в ен )г '. Л каждому значению дзв~(в) (возможно, после некоторой линейной замены переменных) соответствует точно одно значение г1~"> = у<и~(в). Таким образом, г, = д, (в) оказывается не более чем и-значной аналитической функцией (уменьшение числа значений происходит, когда разным г',"' соответствуют одинаковые г1ю). В рассматриваемом случае точка в = О, очевидно, принадлежит дискриминантному множеству Л. Вообще, если во ~ А и го — один из прообразов этой точки при отображении (4), то якобиан отображения У(ге) = О, ибо в противном случае по теореме 1 это отображение было бы взаимно однозначным в точке го и во не могла бы принадлежать Л. Таким образом, множество Л принадлежит образу множества У = (ге:-(У: У (г) =0) при рассматриваемом отображении. П р и м е р.
яковиан отображения (8) пч = 2~ — 22, 222= 92~22, 2 2 ') Это — одно из утверждений теоремы Осгуда; см,, например, Б. А. Фукс, Теория аналитических функций многих комплексных переменных, Гостех- чздат М., 1948, стр. 384, ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ 1гя. ч 518 равный У(г) = 4 (г, + гзь обращается в нуль на аналитических плоскостях /2 2т У (г, ж 122), Йсключая гь мы придем к бнквадратному уравнению юз Р(гт, ю) =гт+ ге,гт — — О. Обращение (8) имеет внд 2 4 так что функции йт (щ) четырехзначны в нх ветви голоморфны вне двскрнмннзнтного множества Л=(м1 щгюз). Это множество является образом множества У н состоит нз двух аналвтвческнх плоскостей, на каждой нз которых слнваются по два значення ет; в точке перессчення зтнк плоскостей слнваются все четыре значепня ет.
Ситуация, аналогичная описанной, справедлива и при любом и; имеет место Те о р ем а (О с гуд)') Пусть тс =у(«) — система и функций, голоморфных в некоторой окрестности точки а Бэ С", и а является изолированной точкой множества (У(«) = Ь), где Ь = У (а). Тогда (возможно, после некоторой линейной замены переменных) обращение « = д(гв), у (Ь) = а, этой системы можно получить следующим образом: «„=рв(ю) находится из уравнения Р («„, тс) = («„— а„) + а, (гв) («„— а„) ' + ...
+ аа (тв) = О') (9) с голоморфными в точке Ь коэффициентами а„, ав(Ь) =О, а остальные функции «,=у,(гс), в=1..., и — 1, однозначно и голоморфно выражаются через д„(тв) и гв. Заметим, что здесь й = 1 в том н только том случае, когда У(а) Ф О. Бсли же У(а) =О, то д„непременно будет многозначной, точнее (з-значной, аналитической функцией, а остальные ут — не более чем (2-значными аналитическими функциями (некоторые из них могут оказаться и однозначными). Множеством ветвленйя Л функции д„будет служить образ множества У=(У(«)=О), а множества ветвления остальных рч принадлежат й. Таким образом, при отображении У окрестность точнн Ь= У(а) покрывается образом достаточно малой окрестности точки а точно Ь раз.
Учитывая геометрический смысл введенного в п. 42 локального индекса, можно утверждать, что в условиях теоремы Осгуда локальный индекс отображения У в точке а равен степени (г многочлена (9). ') См. Ъ'. и. О з К о о ф ьейгйцсй бег Рцпй((опеп(йеог(е, 2. Ац(1., Вб. 2, Раг1е 1 (ье1рг)К, 1929), 8. 125. Современное изложение задачи об обращеннв см. в книге М. Эрве, цнт. на стр. 514. ') Это уравнение получается, как н для и 2 нсключеннем 'г нз снстемы уравненнй У(г) = ю.
АНАЛИТИЧНОСТЬ МНОЖЕСТВА ОСОВЕННОСТЕН % «51 б!й Заметим, однако, что прн л > 1 локальный индекс, вообще говоря, ие выражается через порядки младших членов тейлеровских разложений 1» в рассматриваемой точке. Так для отображения 2 3 шз гх локальный индекс в точке г-О равен б-произведению младших членов разложений 1«н 12. Для отображения же ш«=г«, шз=г«+22, которое от- 2 2 3 личзется от (10) иевырождеииым линейным преобразованием и, следовательно, имеет тот же индекс, произведение такик порядков равно 4. Подчеркнем, что степень А в (9) совпадает с локальным индексом лишь при таком выборе переменных, что функции Е (» 1, ..., л — 1) однозначно выражаютси через Е„и ш.
С л е д ст в и е. Если 1' — еоломорфное отображение открытого множества («'с:С" в С" и каждая а ее («' является изолированной точкой множества прообразов точки (« =1(а), то ) ((1)— — открытое множество. 1(огда условие теоремы Осгуда не выполняется, т. е. а является предельной точкой множества прообразов (« =1(а), но якобиан отображения не равен тождественно нулю, то существует содержащее точку а аналитическое множество комплексной размерности г, 1( г(п — 1, которое 1 преобразует в точку («. В этом случае, вообще говоря, б является точкой неопределенности ') для хотя бы одной компоненты д, обращения расматриваемой системы.
П р и м е р. Рассмотрим систему Ш« = г«гз, Юз г«гз, ш« = г«2«, (11) якобиаи которой « =2г,г,г, обращается в нуль ««а трех (комплексно) двумерных аналитических плоскостях (ги = О), р = 1, 2, 3. Прообразом точки ш = О является совокупность трех (комплексно) одномерных аналитических плоскосгей (г,=г»=О), (г«=㻠— — 0) и (гз=г«=0). Обращение (11) имеет голоморфные ветви вие плоскостей (ши О), р 1, 2, 3; точка ш=0 является точкой неопределенности для всех трех компонент Еи. й 15. Аналитичность множества особенностей Под особыми точками голоморфной функции понимаются граничные точки ее области голоморфности.
Мы видели, что простейшие такие точки — особые точки мероморфных функций нескольких комплексных переменных — составляют аналитические множества. С другой стороны, легко построить ') Термин ««очка неопределс««ности» употребляется здесь в смысле несколько более общем, чем в п. 30, однако аналогичном (см приводимый здесь пример).
осовеиности и Вычеты [гл, ч 520 примеры голоморфных функций, особые точки которых образуют (2п — 1)-мерные множества, заведомо не являющиеся аналитическими (скажем, функции р(г,), р(г,г,) или [)(г))[)(ге) в )[1В, где р — модулярная функция из п. 41 ч. 1). Однако в предположении, что множество особых точек не слишком массивно, мы докажем здесь его аналитичность и в общем случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
