Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 100
Текст из файла (страница 100)
Затем мы докажем аналитичность множества так называемых существенно особых точек, 45. Аналитичность множества особых точек. Условие не слишком большой массивности мы примем здесь в следующей форме: множество особых точек М пересекается с каждой аналитической прямой, параллельной некоторому направлению (скажем, оси г„), не более чем в одной точке.
Отсюда следует, что М не более чем (2п — 2)-мерно. Т е о р е м а 1 (Х а р т о г с). Пусть а — особая точка функ)[ии 1 и для каждой точки 'г, р ('г, 'а) < е, в поли крусе Ц=(р(г, а)<е) имеется не более одной точки ('г, г„), особой для этой функ)[ии. Тогда найдется поликруе '1~ =(р('г, 'а) <6) такой, что каждой 'г ен'1' соответствует точно одно число г„, для которого ('г, г„) является особой точкой [' в ()', причем функция г„=)р('г) еоломорфна в 'Р. м а) Н е п р е р ы в н о с т ь функции ф. Без ограничения общности считаем а=О.
Так как 0 — единственная особая точка [ с проекцией 'О, то окружность те=('г='О, [г„!=)0, 0<т[<е, принадлежит области голоморфностн 1. Семейство кругов К, =('г ='а, ) г„~< (т[) при а-~'0 стремится к КВ =('г ='О, )г„~<т)), причем дК,— дК,=Т,. Так как КВ содержит особую точку О, то по теореме Бенке — Зоммера (п. 23) найдется 6>0 такое, что прн р('а, '0) <6 в круге К, есть хотя бы одна особая точка ['. По условию больше одной такой точки быть не может, следовательно, функция г„=ф('г) однозначно определена в 'т'=(р('г, '0)<6). Это же рассуждение доказывает непрерывность ф в точке '0: у нас ф('0)=0 и для любого В>0 существует такое 6> О, что (ф(г) !<е при р( г, '0) <6. Так как за '0 )))ожно принять любую точку из 'Р, то ф непрерывна во всем 'У.
б) Гол ам о р ф ность функции ф. Число 6 можно считать столь малым, что )ф('г)~< — црн 'ген'$', и тогда [ будет голоморфной в области ~'г ен'У, — В<~ г„(< — е)(. Выберем число р, —, е<р< — е, и точку г„'=ре'В, тогда [" будет голоморф- 1 2 ной в поликруге )'ген')т, )г„— г'„~ <р — — ~. По нашему построению для л)обои 'ген')) точка ('г, ф('г)) — особая для [", АНАЛИТИЧНОСТЬ МНОЖЕСТВА ОСОБЕННОСТЕИ 5 131 521 а все точки ('г, ав), для которых !г„— г'„~ <!тр('г) — г'„~, — правильные, поэтому )(('е) = ~ р('г) — е'„~ (1) является радиусом Хартогса функции Г (см. п, 2б).
По доказанному выше функция )г непрерывна в ')г, а так как у нас )р('г))< — ', а!ез)=р> —, то )т('з))~ео~ — !Чз('г)!)О, и, значит, 1и А'('г) непрерывен в ')г. Голоморфность ~р мы выведем нз доказанной в п. 26 плюрисубгармоннчности функции — !п )А'('г). По основной теореме Хартогса достаточно доказать голоморфность у по каждому переменному г„т = 1, ..., и — 1, в некотором круге ! е, ! < г при фиксированных е„=а, !а |<г, )2 Ф т. Для простоты обозначений будем писать )т(е,) вместо )т'(ан ..,, г„..., а„,) и аналогично ф(г,). Так как — !и)т(гт) субгармонична. в круге (~ гт(<г) и непрерывна в ()е,!<г), то 1и )т' (О) ) — „~ ! и )А' (2 ее) г() о или, согласно (1), 2л 1и ! <р(0) — реев !) — ~ !п ! <р (ген) — ре'в ~ Ф ') (2) о Это неравенство справедливо для всех О ~(0, 2п); интегрируя его по О и меняя в правой части порядок интегрирования (что, очевидно, законно), будем иметь !и!2р(0) — ре в)г)Π— ) т(! ~ 1и)~р(ген) — ре в)аО (3) Г о о а Известно, что интеграл 2я 1и ! ь — ре'в ! ЫО, о который представляет собой логарифмический потенциал с постоянной плотностью распределения на окружности (~ь~=р), постоянен в круге !Ь!<р (см.
задачу 7 к гл. тг ч. !). Так как у нас ! Чз('г) !<р при всех 'е ен')г, то мы можем, следовательно, заменить в правой части (3) ~р(геа) значением щ(0). Но отсюда ') В этой формуле Аз(О) =ф(аь ..., О, ..., ав) нв обязательно равно О. осоввнности и вычеты (гл.
ч 522 видно, что (3), а значит и (2), для всех 0 обращается в равенство, т. е. субгармоническая функция — !п! ф(г,) — ре'э ~ в точке г,=О совпадает со своей гармонической мажорантой. Отсюда следует (см. п. 46 ч. 1), что функция 1п~ф(г,) — ре'э~ гармонична в круге ( ~ г, ~ <») при любом 0 ен [О, 2п1. Из (!) мы имеем йээ (ф ре»а) (ф ре-1В) фф р (е-йэф 1. ерэф) 1.
рр (4) причем в силу гармоничности 1и к эта функция принадлежит классу С" (по переменным г, и г,) при любом 8. Составляя разность значений (4) при 0=0э и 0=0э+и, мы увидим, что е 'зоф+е'эф~С, а полагая здесь Оэ=0 и ф, найдем, что ф+ ф, ф — фен С, а значит, и феи С .
Остается доказать, что дг =О. дф дгэ Для этого воспользуемся тем, что вместе с !и Я и 1п )г' является гармонической функцией от г„при любом l! 2 р ен ! — з, — е) и любом 0 ен (О, 2я). Уравнение Лапласа для 1и 1Р имеет вид йэ ' — — — =0 дййР ди2 дЛ' де~ даэ де~ дгн и функция (4) должна удовлетворять ему при любых р и 0 из указанных отрезков. Подставляя сюда выражение (4) и приравнивая нулю коэффициент при рэ, мы найдем, что е 'е ф + е'э ~ = 0 д~ д~ дг~ дгэ дгэ дгэ дЧр при любом О, откуда д д — = 0 при )г,1<».
Приравнивая дгэ дгэ (с учетом этого) нулю коэффициент при рг, получим, что ем э 1 е — 2Ф вЂ” 0 дгэ дгэ дгэ дгэ при любом О, следовательно, — = = — 0 при ~г,~<». дф дф дгэ дгэ Таким образом, в каждой точке круга () г,1<») либо — =О, либо = = О. Чтобы исключить первую возможность, дф дф дгэ да~ заменим ~(г„г„) функцией )(г„, г„+г,) (зависимость от других переменных г, р Ф т, Ф и, мы не выписываем). Она удовлетворяет всем условиям теоремы, а уравнением особой поверхности для нее вместо г„=ф(г ) будет г„=ф(г,) — г ° АНАЛИТПЧНОСТЬ МНОЖЕСТВА ОСОБЕННОСТЕЙ $15! Поэтому, повторяя наши рассуждения, мы найдем, что для 41 в окрестности г =0 будет выполняться также одно из условий — =О, — — 1=0. Учитывая полученный ранее вывод, найдя> дч> дв» ' дг» дем, что = — = 0 в окрестности г, = 0 > д~р дг» Справедлива и более общая Теорема 2 (Хартогс).
Пусть а ~С" — особая точка функции Г и для каждой 'г, р('г, 'а)<Б, в поликруве (р(г, а) <е) существует конечное число точек ('г, »1ы), особых для этой функции. Говда в некоторой окрестности а особые точки >' составляют аналитическое множество с уравнением (г„— а„)" + с, ('г) (г„— а„)~1+ ... + СА ('г) = О, (б) где функции с, голоморфны в точке 'а. В п. 47 мы приведем еще один вариант теоремы об аналитичности множества особых точек. 46.
Существенно особые точки. В ряде вопросов особенности, которые имеют мероморфиые функции на своих полярных множествах (см. п. 30), можно рассматривать как несущественные. Существенно особыми точками в многомерной теории называют особые точки всех других типов. Чтобы прийти к независимому определению существенно особых точек, можно ввести понятие мероморфноео продолжения.
Для этого рассматривают мероморфный элемент как пару, составленную из поликруга П и мероморфной в нем в смысле п. ЗО функции Г. Говорят, что два мероморфных элемента (01, г>) и (П,, гз) являются непосредственным мероморфным продолжением друг друга, если пересечение 01 П П непусто и Г1 =Ге во всех точках голоморфности обеих функций из этого пересечения. Далее, как обычно, вводится понятие мероморфного продолжения вдоль пути и под мероморфной в широком смысле слова функцией понимается совокупность элементов, которые получаются из какого-либо одного мероморфным продол>кением вдоль всех путей, для которых такое продолжение возможно.
Область, вообще говоря, многолистная, которая при этом определяется, называется областью мероморфности построенной функции. Граничные точки области мероморфности некоторой функции и называются ее существенно особыми точками. Для доказательства аналитичности множества существенно особых точек нам понадобится Л е м м а. Пусть функция Г' голоморфна в произведении пол икРУга '5> = (Р (», 'а) < г) на кольЦо К„= (»ьл1 г„( ) г„-) < Я„) ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ [Гл. ч 524 и представляется там рядом Хартогса — Лорана (1[ — скалярный индекс, де еоломорфны в 'Я. Для того чтобы [' мероморфно продолжалась в поликруг У ='с7Х(~ г„~ ( й„), необходимо и достаточно существование конечного числа ГРу[нкИий Лы ..., Ли голоморфнечх в'О и не всех тождественно равных нулю, таких, что Л,('г) уь [('г)+ ...
+ Л,('г) д,('г) = 0 (2) для всех 'г~'([ и всех [Г = — 1, — 2, .... < Д о с т а т о ч н о с т ь. Рассмотрим функцию 'Ф(г) = Ло(г) г„+ ° ° - + Л[(г) голоморфиую в '(7 Х С, и для ген'с7Х К„образуем произведение 1(г)ф(г) =ф(г). Из (1) видно, что условия (2) влекут за собой равенство нулю коэффициентов при всех отрицательных степенях в разложении ф = [ф. Значит, эта функция голоморфна, а функция [ = — мероморфно продолжается в поли- Ф круг О. Н е о б х о д и м о с т ь.
Если 1 мероморфно продолжается в О, то для каждан 'г'еи'У может существовать лишь конечное число точек г„, ~г„~~~К>„, таких, что ('гч, г„) являются особыми точками 1. В самом деле, в противном случае существует точка г'=('гз, ге)еи (.[, предельная для особых, а так как [ мероморфна в г', то в ее окрестности 1= —, где ф и ф голоморфны. По теореме единственности теории функций одного переменного >)>('г", г„) =— О, а отсюда вытекает, что все точки пересечения ('г = 'г') () с[ — особые для 1(ибо открытое ядро множества точек этого пересечения, которые являются особыми для [, одновременно и замкнуто), а это противоречит оломорфнос и ~ '([ Х К„. Комплексная размерность множества точек неопределенности ) не превосходит и — 2 (см. п. 30), поэтому множество 'Е точек 'ген'У, которые являются проекциями точек неопределенности 1, не разбивает 'У.
Д.чя 'г' Зи 'Е обозначим через 1('га) сумму порядков всех полюсов г[„"> функции 1('гв, г„) в круге (~г„~ [т'„)[ так как функция 1 целочисленна и непрерывна на АНАЛНТН ШОСТЬ МНОЖЕСТВА ОСОБЕННОСТЕЙ 525 связном множестве 'П Х'Е, то она постоянна. Образуем много- член ф(г) =г„'+с,('г)г'„'+ ...
+с,('г), имеющий нулями и-е координаты всех особых точек ('г, г„) функции 1 в П с фиксированной проекциеи 'г~'Е (все они будут, очевидно, полюсами, и мы берем ф так, что порядок ее нуля совпадает с порядком полюса). Повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы Вейерштрасса из п. 6, мы убедимся в том, что функции с„голоморфны в 'П. Так как по построению 1((! является голоморфной функцией в круге ((г„~((т), то в ее разложении по степеням г„все коэффициенты при отрицательных степенях должны быть равными нулю.
Учитывая, что 1 в 'П Х К„представляется разложением (1), мы заключаем, что условия обращения в нуль этих коэффициентов имеют вид соотношений (2), где Хь = — 1, Д»=си ((А=1, ..., 1) > Теперь мы можем доказать непрерывность расположения существенно особых точек (аналог части а) доказательства теоремы Хартогса из предыдущего пункта). Т е о р е м а 1 (Э. Л е в и). Пусть г — граничная точка области .0 мероморфности функции 1 и при некотором е) 0 окружность те= ('г='г~, ~г„— гь ~ = е) с: П. Тогда найдется б) О такое, что при р ('а, 'гь) < б в любом круге К, = ('г = 'а, ~г„— гь ~(е) есть точки, нг принадлежащие ст.
ч Примем г'=0 и выберем числа г, г„)0 и конечное число точекЬБ'=ее(~итак, чтобы поликруги П„= (р( г, '0) <г, 1.— " .1 г„— ь," ~ <с„( принадлежали 0 и в совокупности покрывали у„. (Ф В тех П, где 1 не голоморфна, мы можем считать, что —, где (р, (р„еи Н (П„), причем ф„( О, Ь'„"') = О, но (р„('О, г„) Ф О при 0 <) г„— ь„" (<т (для соблюдения этих условий, возможно, (Ф ! придется уменьшить величины г и г„и сделать линейную замену переменных). Тогда функция 1('О, г„) в любом достаточно узком кольце, окружающем (~ г„~ = е), будет голоморфной всюду, за исключением конечного числа полюсов, Мы можем, следовательно, выбрать числа б<г и е', е" (е'<е" <е) так, что Т будет голоморфной в замкнутой области (р('г, '0)~(б, е'(( г„((е").
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
