Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 102
Текст из файла (страница 102)
Из этой теоремы сразу получится вариант теоремы об аналитичности множества существенно особых точек. ЗАДАЧИ 1. Мероморфиой кривой в области Р~С назовем отображение й Р-ьС", компонентами которого являются мероморфные в Р функции. Нулем Г называется точка ьз ш Р„в которой все )» (~з) = 0; младший из порядков нулей 1» (» = 1, ..., и) в втой точке называется порядком нули Е Полюсом кривой г называетсн точка ьз щР, в которой хотя бы одна 1» (ьз) оз; поядком полюса ( называется старший из порядков полюсов 1» в атой точке. оказать для ыероморфных кривых следующий аналог принципа аргумента: Л-Р= —.
) ' д(+ —.) 1 — — 'в~Ад~ г у',1) 1 г г д ((',1) 2пг.) (й)) 2п1 " " д~ (й)) до о (здесь предполагается, что дР— гладкая кривая, г голоморфно продолжается иа дР и там ) чь О; Ж и Р— число нулей и полюсов 1 в Р с учетом их порядков; (г, гз) ~а»ф» обозначает сиалярное произведение). При атом второе слагаемое справа — неотрицательная величина и обращается в 0 в том и только том случае, когда кривая Г лежит на аналитической прямой, проходящей через О ш С". зддачи 331 2. (А. П.
Ю ж а к о в), Доказать, что для любого цикла и, не задевающего множество особенностей подинтегральной функции, бгдэ=й, )(з, ьт) вза 1 ьзг а где ) — целая функция в С', й н 1 — взаимно простые целые положительные числа, а и 3щС. 3. Пусть М вЂ” аналитическое множество, относительно замкнутое в области 11 <= С" (зто значит, что М.-))() М); тогда множество В ' М связно.
4. Связное аналитическое множество линейно связно. б. Аналитическое множество неприводимо тогда и только тогда, когда миозкестзо его правильных точек связно. 6. Пусть У вЂ” открытое множество в С" и М ~: (1 — относительно замкнутое аналитическое множество. Тогда либо М дискретно, либо содержит точки, сколь угодно близкие к дУ; в частности, всякое компактное аналитическое множество дискретно.
7. Пусть М вЂ” аналитическое множество з С" и Š— аналитическая плоскость (комплексной) размерности й. Если а является изолированной точкой множества М ()(., то размерность М в точке а не превосходят л — Ь. 8. Доказать, что непрнводнмое аналитическое множество М: гз а~+за 3 2 3 в Сз не является аналитическим многообразием; точнее, не существует голоморфвого взаимно однозначного отображения Д В -ьМ() У, где  — единичный шар в Сз и У вЂ” окрестность 0 в С'. 9. Одномерное аналитическое множестяо в С", неприводимое в О, с точностью до линейной замены координат локально задается системой уравнений з = ~~3~ аЩЛз, ч = 2, ..., л, а=! где яг — некоторое целое положительное число.
1О. Если одномерное аналитическое множество М ~= С' является топалогическим многообразнем, то М вЂ” аналитическое многообразие в Сз. 11. Пусть (1 — область голоморфности и М вЂ” относительно замкнутое аналитическое множество в ВО тогда для любого компакта К <= М его оболочка относительно Н (В) принадлежит М. 12. Пусть К - компакт на замкнутом одномерном аналитическом множестве М~СЯ.
Тогда 1) множество К рационально выпукло, 2) если аналитическое множество М ', К неприводимо, то К полнномиально выпукло. Привести пример полиномиальяо выпуклого компакта К ~ М такого, что множество М'~ К несвязно. 13. Пусть У~С" — окрестность точки а и функция (ыН(У) такова, что ) (а) =0 и ) ('а, з„) Ф О. Тогда для каждой дщН ((1) существует окрестность у ю а и функция Ь ~м Н ()') такая, что 3-13 — полипом по зл степени ниже й, где Ь вЂ” порядок нуля 1(а, з„) при з„=ам (Подготовительная теорема в форме Шпета — Картана.) Ог' 14. Функции )ь ..., )» голоморфны в точке а щ С", и якобиан — — О в окрестности а.
Доказать, что: 1) существуют голоморфные в а функции аь ..., й, такие, что 1а~+ ... +)ийз ~ О, и 2) существует голоморфиая в точке )(а) функция Р~о такая ч лЙ . 1л)=0. осоввнности и вьшнты 1гл. ч 532 1б. Пусть Р— область голоморфности в Ер и функции 1„ ~н Н (Р), т = = 1,..., Ф, ие имеют в Р общих нулей; тогда найдутся функции й.,шН (Р) такие, что 1,д, + ...
+ )лйгг = 1. 1б. Пусть М вЂ” аналитическое множество в области Р <: Ср, где и ) 2, и в каждой точке а <и М комплексная размерность М не превосходит и — 2. Тогда любую ) шН (Р ч М) можно единственным образом продолжить до функция нэ Н(Р). 11. Если область Р~С" является голоморфным расширением области Р' (в частности, Р' Р х К, где КОР), то всякий голоморфизм Р' продолжаетси до голоморфизма области Р. 18. Пусть Х (ф (а) = 0) гиперповерхность класса Сз в окрестности у начала координат в ь'ч и Х "- — а о„— = О лз,р бхч бхи р,ч па 2 для любого вектора а ~м С".
Тогда найдется непрерывная функция й (и, 1], голоморфная по и при каждом г, 0 (1 < 1, в окрестности нуля )г~:Р, такая, что ХЙ 1' = Ц(Ь(з, 11=0). ГЛАВА Ч1 ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ В втой главе мы рассмотрим основные факты, связанные с голоморфиыми гомеоморфизмами пространственных областей. Заметим сразу, что система Коши — Римана, которая выражает условия голоморфности системы п функций и комплексных переменных (2п' действительных уравнений с 2и действительными функциями), при и > 1 переопределена.
Это порождает существенные отличия пространственной теории от плоской. В частности, в пространстве не имеет места аналог теоремы Римана о существовании конформиого отображения одной заданной области на другую: даже такие простейшие области„ как шар и бикруг, в Сз оказываются неотобразимыми друг на д.руга( Мы рассмотрим два подхода к теории отображений — алгебраический, связанный с изучением групп автоморфизмов отображаемых областей, н аналитический, связанный с так называемой кернфункцией.
$16. Автоморфизмы простейших областей Под изоморфизлом двух областей О,,О* с: С" мы будем понимать гомеоморфное отображение 1=()„..., 1„) области В на О', осуществляемое системой и голоморфных в 1) функций 1, =1,(г). Такие отображения называются еще баголоморфными или еоломорфизмами (голоморфными гомеоморфизмами). Изоморфнзм области й на себя называется автоьчорфизяояц Автоморфизмы области О, очевидно, образуют группу, если под групповой операцией понимать композицию (последовательное выполнение) фойер автоморфизмов. Как и в п. 36 ч. 1, доказывается, что любой изоморфизм ~,: 0 — «О' устанавливает изоморфизм групп автоморфизмов отображаемых областей. Таким образом получается необходимое условие существования биголоморфного отображения одной области на другую — изоморфность нх групп автоморфизмов.
На плоскости существует лишь три типа не изоморфных дрУг другу односвязных областей: замкнутая плоскость С, открытая плоскость С и области, изоморфные единичному кругу Иг!<1). В пространстве ситуация значительно сложнее. ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОГРАЖЕНИЯ [Гл. (н (2) 1ч(г)=гч+ Х с„,, '. (4) [А[>2 если семейство итераций этого отображения )~Р~(г) =[ [(Р ))(г) (р=1, 2, ..., 1~~~(г) г) слабо оераничено, то Г(г) — г. я Пусть утверждение неверно: Тогда разложения (4) можно записать в виде (ч(г) =гч+ ~Л.) Сь,чг + (А[-х где число и) 2 выбрано так, что все сь, для которых 1(1Й ~(и, равны О, а хотя бы один сь „для которого ~ у [=и, отличен от нуля; многоточие обозначает члены разложения с ~ й ~ ) и. Итерируя, получим [, (г)=~,9=~,(г)+ Х с, „1, ... )„"+...
= = г, + 2 ~~'.~ се,,ге +... [А[ ч Мы рассмотрим здесь лишь простейшие факты, связанные с этими вопросами. 48. Общие теоремы. Начнем с простых теорем об отображениях пространственных областей. Первые две из них представляют своего рода теоремы единственности — они утверждают, что в некоторых предположениях отображения однозначно определяются своими линейными частями. Для формулировки первой теоремы нам понадобится одно определение.
Рассмотрим семейство отображений )(ь) (~(ч) ч(а)) (1) окрестности точки г= О, где а пробегает некоторое множество индексов А, а функции ), допускают разложение в кратный (а) степенной ряд (А[>ь Семейство (1) называется слабо ограниченным, если существуют константы Сь,ч) О такие, что )сь('>,(< СА, (3) для всех й =(й,, ..., Й„) с неотрицательными целыми координатами, всех ч= 1, ..., и и всех аен А.
Теорема 1 (А. К артан). Пусть голоморфное отображение ) =Д), ..., )„) некоторой окрестности 0=([г )<гч) имеет линейную часть, совпадающую с тождественным отображением, т. е. э м! и, вообще, АвтомОРФнзмы ПРОстеиших ОвлАстеи (,"(г)=г,+12 ~ с г +.... ~ь! х Так как по условию семейство (1'х») слабо ограничено, то для всех»2=1, 2, ..., всех й, ~н !=и, и всех т=!...,, п имеем »ь~сь,~<СА „ где правая часть не зависит. от р.
Отсюда следует, что все такие ск,=(», в противоречии с нашим выбором к и С л е д с т в и е. Пусть семейство Г голоморфных в У = = (~г ~<гх) отображений»' с компонентами х 1,()=Х „,.+ Х х 1 121~2 слабо ограничено и образует группу (относительно композиции). Тогда каждое ) ен Г однозначно определено своей линейной частью х А(»)= л» с г„=СЕ, где С=(с ) — матрица, а г=(г„..., г„)— х-! вектор.
м Пусть 1, д ев Г и имеют одинаковую линейную часть; тогда р=) ° й ~Г и Л(ф)=Л(!) ° 2'. (д)— = г — тождественное преобразование. Итерации феч ~ Г н, следовательно, слабо ограничены. Поэтому по теореме 1 имеем ф(г) = — г, и, значит, !=в у ь Т е о р е м а 2. Пусть ограниченная область В содержит точку г = О и линейная часть голоморфного отображения »': 0-ь 0 в этой точке совпадает с тождественным отображением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
