Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 106
Текст из файла (страница 106)
Для любой ортонормальной снстемь! ф„~(.'„(В) ряд ~о ) <р„(го) !о сходится в любой тонне го~ с). Р ! м Пусть (/(г', «) ~ В и «и — любое натуральное число; пользуясь ортонормальностью и неравенством (4), находим Р$ 2 УП 2 (го) !о ~ у ' ( о) ( ) й (« ~ ~ ~~ ( о) о=:! о о-! О3 «'„~~(ф,(~о) ~'), !!-! / откуда (го) (о и=! Т е о р е м а 2. В любой полной ортонормальной системе ф„~Е~~(Р) экстремальная функ!4ия '/ представляется рядом / (г) =~ —,фи(г) (8) -о и заметим, что условие ) (го) = — (фо + а )фо = 1 влечет за со- 1 Ът о-! бой соотношение ~~з„а фо = О.
С учетом этого соотношения рви ! Яо венство Парсеваля (7) примет вид < Обозначим ф (го) =фо и,~~ (фо(о=о (но лемме этот ряд сходится). Пусть 7 — произвольная функция из В; (0) и 7(г) = Х а„ф„(г) — ее разложение. Определим числа а„равено=! ствами !7! !и!иди!ол!!Тндя мГТРоокд 555 Отсюда видно, что в классе В;, равное чае, когда все а„ = 0 минимально возможное значение ))()(я ! — получится в том и только том слуТаким образом, при )' = )о мы имеем о чв !о (г) = та †„ гр, (г) и =- ! 2 где — =))(о1)я= — ", это совпадает с (8) м К(го) '* Определение.
Функция К,(г, ~о)=~,(~)К( )= — "',, (9) Иоио ' где (о — экстремальная функция, называется кернфункцией области О относительно точки г' ~ О Следствие. В любой области Ос: С" ограниченного вида кернфункция К(г, г') относительно любой точки гоеи О существует. Из теоремы 2 видно, что в любой полной ортонормальной системс ор„ ен !.оь(О) кернфункция представляется разложением К (г, ь) = Х ри (г) ор . (ь) (10) в=! (мы положили го=~). Так как это разложение (при фиксированной (", си О) сходится равномерно в любой О а О и ор„(г) ен е= Н(О), то по теореме Вейерштрасса кернфункция голоморфна в О относительно своей первой координаты г.
Из соотношения К(г, с) = К Ю, г), (11) которое вытекает из (10), видно также, что она антиголоморфна в .О относительно второй координаты ьш Кернфункция обладает интересным в о с п р о и з в о д я щ и м свойством: для любой ~~Ее(О) и любой точки геиО 1(г) = ) 1(ь) К (г ь) ")г. о (12) Для доказательства достаточно подставить в правую часть разложения ) и К по произвольной полной ортонормальной системе ори ен Ц(О) и, пользуясь равномерной и абсолютной ') ') Абсолютная скодимость рядов ио системам у„следует ив неравенства Коши — Буняковского ~и~~)а„!р,„)() ~~)о )о "т' 'с'1!р„(о, равенства (7) и леммы ив стр. 554.
ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ [Гл. РГ сходимостью разложений в любой 6 ~й, проинтегрировать почленно; учитывая еще ортонормальность системы, мы получим ~ !'(ь)К(г, ь) !ЛЯ = ~а~ анар (г)~ !р„(ь)!р (цЛ' = ~~)~~ а„!р„(г) =дг). Формула (10) позволяет явно вычислять кернфункцию простейших областей. Приведем несколько примеров. а) П о л и к р уг о! = (1г,! <Г,). Полной ортонормальной системой здесь будет система нормированных мономов (13) где коэффициенты ХА>0 выбираются из условия (!ро, !р„) = Х~~ ) гонга а!Р' = 1. Вводя в каждой плоскости г, полярные координаты (г,=ре! ).
находим из этого условна т 1о или о ! БТ Ао+! ЕЛ йй О оо Полнота системы (13) следует из того, что рядом по этой системе является ряд Тейлора, а им представляется любая функция !ыО(У); ортонормальность ее очевидна. По формуле (!О) имеем, следовательно, ! !А!~о ' '" о !А!~О о-! Положим х„*= — и Г' Го! ... Г„, того,а К(г ь)= — ~ Цй,х ' = —,~ — х'...— х". ! Ъ1 ° Г О ! 1 жз д О д А но! ЛЙ Х1. ' яхт! .ЛА дх, ! ''' дхо !А~~! ъ ! !А1~! о 37! ннвйшынтнйя мгтонкй Так как у нас г, ь ~ (!, то 1х,1(1, и можно переставить порядок суммирования и дифферениирования; мы получим лЪ ! й!)1 ! д" ! япх' дх ... дхл (! — х,) ...
(! — хл) л х=! Подставляя значения х, и хо, находим окончательно Ки(Х' в) л Ц ( о о )2 ' х=! (14) (для вычисления интеграла по В надо ввести полярные координаты в Кол). По формуле (10) получим й) ! п~~ 1! й1+и)! йлй полол Х й ! ! ло!й! !й~о в-о !й!-Р Теперь ааметим, что внутренняя сумма у л п гй!-и х-! и что ()й + 1)...
(р -й и) хп =— Х дхп ! х (1 х)л+! и-о Так как у нас х, !.еиВ, то —, х,ь,=х „! 1 и, следовательно, для всех х, (х !(1. по модулю меньше ! и! и !ой л)!оп 1! )лл!, лн — х~ хлйо) л 2 о (йб) б) Шар В=((г(<Я. Полной ортонормальной системой здесь опять будет система мономов (13), но условия нормировки дадут г ()й!+и)! лпо! !о Нл! [Гл. ч! Гол022ОРФные ОТОБРАжен2!я 658 Замечание. Формула (14) показывает, что кернфуикция поликруга !7, который является произведением кругов ()г,! < < г,), равна произведению кернфункций этих кругов: К (г, ~,) = 2 Ге — й!ажно доказать, что и вообще кернфункции -(",—,~,)' произведения областей Р, ~С" (г) и Р, ~Си(ю) равна произведению кернфункций этих областей: Кп, х и, (е ю; 9, от) = Кго (г 9) Ксе(ю* от) (см.
Б. Л. Фукс' ), стр. 91). Особо выделяется кернфункция К(г) =К(г, г) = Х!!рм(г) !', (! 6) в ! которая, как следует из (9), положительна в каждой точке области ограниченного вида, ибо она является обратной величиной минимума !!)!!2 в классе всех функций ~~ 7.2А(Р), для которых !(г) = 1. Очевидно, можно не накладывать условия !(г) =1, и тогда будет 1!1' — = !п! 'т (г! - 2 !1(2) ! ! Ьл Поэтому для любой ! Бн Ц мы имеем ! !(Е) !2(К(г)!!!!!2, (17) а так как нижняя грань достигается, то существует функция !о~ Ц, ДлЯ котоРои ! (о (г) !2 = К (г) !! !о !!2; (18) эта функция также называется экстрелгальнои.
Теорем а 3. 8 любой области ограниченного вида функ!!ил К(г) является и,тюрисубгармонической. м Так как !риеи О(Р), то 1!р„!2 плюрисубгармоничны в Р (см. задачу 24 к гл. П1). Но по доказанному выше ряд (16) сходится равномерно в любой 6 ~ Р, следовательно, его сумма также плюрисубгармонична м В следующем пункте мы убедимся в том, что она и строго плюрисубгармонична. По теореме 2 и. 25 из этого вытекает, что если для некоторого г>0 множество Р, =(а еи Р: К(г)< !) ') о.
А. Ф у к с, Специальные главы теории аналитических функций многих комплексных переменных, Фиаматгиа, М., 1963. (20) ю=7(г) )=(~ . )л) (1) — голоморфизм области Вс:С" па область О". По доказанному в п. 44 якобиан этого отображения д(",,' ",") =Г(г)= — "„", (2) (мы будем для сокращения письма пользоваться этими обозначениями) нигде в 0 не обращается в нуль, а якобиан обратного отображения г=) '(2в) д (г„..., 2„) д22 д (в1, ... 22л) ннвАРИАнтнАя метРнкА вэв компактно принадлежит .(), то каждая связная компоне1 оппонента этого множества является областью голоморфности.
Отсюда как и в п. 25, выводится Те оре м а 4. Если Π— область ограниченного вида и для каждого 1)0 множество (ге= Е): К(г)(1) Ен й, то )т является областью голол1орфности. Заметим, что в силу субгармоничности функция К не может достигать максимума во внутренней точке области. Условие теоремы 4 состоит в том, что кернфункция К (г) равномерно стремится к бесконечности при приближении к границе области .(); теорема утверждает, что это условие достаточно для того, чтобы .0 была областью голоморфностп.
Отметим, наконец, что, как видно из формулы (15), для шара функция Кв(г) = (19) растет при приближении к любой точке границы с одинако- 1 вой скоростью — „,, где с( — расстояние до границы. Из формулы (14) мы видим, что для поликруга, напротив, функция л 2 -2-2- т Ки(г) = „Ц Пл Ц (2 ) ~2)2 растет по-разному при приближении к различным точкам дУ.
1 Быстрее всего ~со скоростью — 11 она растет при приближев2л 1 нии к остову, 'который является границей Шилова поликруга. 52. Метрика Бергмана. Прп помощи кернфункции можно ввести риманову метрику, инвариантную относительно голоморфных гомеоморфизмов (голоморфнзмов).
Выясним сначала, как меняется при таких отображениях сама кернфункция. Пусть ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 1гл. м\ бао вм равен обратной величине —. Напомним еще, что при замене ве переменных з-~ те действительный якобиан (отношение элемен- тов объема) Теорема 1. При еоломорфизлте )' области (г ограниченного вида на .0 кернфункиии этих областей в соответствутои1их точках в =1(х) и ьт =1(~) свлзаньс соотношением Ко~ (и' ть) = КР (х ь) ~ '! в Ве (ВйТ (4) Пусть ф„~ т'.,', (Р) — произвольная полная ортонормальная система, тогда т(1 (и)=ф о~ (щ)— будет такой же системой для области В'.
В самом деле, ~ !ф !'й)т'= ~ )ф .1-'!. ) "' ~ й)т"= ) (ф (зй)тк.~~, следовательно, тР„ЕЕЦ(В'); система ортонормальна, ибо (ф.,ф.)= ~ф, Г' — ф, Г' — — „„й)' = ) фиффн ~' о~ о и полна, ибо каждая ф ~ (,А (й*) представляется в виде вг вы 2 ф а1 — „, где ф = тй о( — „ен Еь Я), а УмножаЯ Разложение ф = 3 йх Т = алла„ф, иа д,, мы получим тр=~аить. Поэтому по формуле (10) предыдущего пункта мы получаем Ко (ш, ы) =~~~Ь(ш)~Ь(ы) =,~,ф„(е),у„фР© вФ Из формулы (4), в частности, следует, что Ко*(ш) = Ко(х)! 1'(з) !', (5) где К(з)=К(х, х)>0 — обратная величина 1п1 ., по всем !!ЖР 1ф(г) !' функциям ф ы (.ь()1) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
