Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 105
Текст из файла (страница 105)
с. от 2п'+4п действительчых, параметров. Условия (3) содержат и(п — 1)+ п + + 2п = ие+ 2п действительных равенств (первое н третье нз этих условий содержат комплексные, а второе — действительпыс равенства). Поэтому группа автоморфизмов шара вида (1) зависит от п'+2п действительных параметров. Особо отметим подгруппу этой группы, которая состоит из отображений, оставляющих неподвижными центр шара г=О.
Здесь все а,=О, и из уравнений (3) при у=1 мы получим, что все р = О, а А„, равны О при р Ф т и равны 1 при р =т. Мы видим, что эта подгруппа состоит из у н нт а р н ы х пре- образований голомогоныг отовояження 848 <гл. иг метры. Если по-прежиему обозначить а=(а„а ) точку, переходящую в центр шара, и через (г, а) = г,а, + г,ог — скалярное произведение, то при а Ф 0 этн формулы будут иметь вид е! ' (г, а) — ! а Р + Л У1 — ! а !' (агг, — а,гд )~1+1Л Р 1а! 11 — (г, пН (5) епй Л((г, а) — ! а Р] — У! — ! а Р (а,г, — п1гд 1' 1+1Л!' ! а!11 — (г, аН где Л вЂ” произвольный комплексный, а О„Ог — действительные параметры').
Группа автоморфизмов (5) зависит от восьми действительных параметров: четырех координат точки а, двух — точки Л и двух значений О, (в соответствии со сделанным выше подсчетом: и'+ 2п = 8 прп и = 2). Преобразование (5) представляется как композиция двух отображении: дробно-линейного автоморфизма (г, а) — !ар г; г а,г,— а,гг 1а11! — (», аН ' г ~ !а)[! — (г, аН ' переводящего точку я = а в центр шара, и унитарного пре- образования гпи ~г )г — (пю! юг) (7) У !+!ЛР его, (со, + Люг), Р'1+ ~ Л !г ') То, что (б) при любом а ~и В'' (О) и любом Л~пС осуществляют ввтоморфизи В', проверяется простой виилвляой.
сохраняющего центр. Преобразования (7) составляют подгруппу, зависящую от четырех действительных параметров. Т е о р е м а 1. Любой автоморфизл» 11  — В единичного и!ори из С' является дробно-линейным отображением види (!). < Пусть 7(0) = а; построим дробно-линейный автоморфизм С: В- В вида (1), переводящий точку а в 0; тогда композиция Р=!.01 будет автоморфизмом шара, сохраняющим его центр.
Если он дробно-линеен, то ) = В ' ° Р— также; поэтому достаточно доказать теорему для автоморфизмов, сохраняющих центр. Пусть 1;  — В, 1(0) =О, — такой автоморфизм. К нему и к его обратному 1 ' можно применить лемму Шварца из п. 48 (см. следствие на стр. 540), и мы получим, что для всех я ~ В одновременно 11(г))~~!я~ и !г!~(11(г)!. Поэтому всюду в В мы имеем ~1(г) !=(г !. Отсюда выведем сейчас, что 1 является линейным унитарным преобразованием вида (4). АвтомоРФизмы пгостеиших овлхстая ч !6! 549 Пусть компоненты Г в окрестности начала представляются рядами т,()= Х.,и. ( =1......); !ь!>о ~ в силу их абсолютной сходимостн л Ф= ~ 1!в= Х 1,(з) 1,(г)- Х Ае!а"г', ,=! ™ й,! и А4а = ~~ а(т!агв т=! (9) Введем новый векторный индекс гп=й — 1 и перегруппируем последний ряд, записав его в виде Ф= Ъ, В (г)е ( !!'"'' ! !!!~ где В.
(г) = ~ А„., !гз! " (11) и суммирование распространяется на все1, для которых 1,~) 0 н 1,+ от,> О. Мы можем рассматривать (10) как кратный ряд Фурье, а так как его сумма Ф = г)4 не зависит от 1, то по теореме единственности разложения в ряд Фурье все В„=О при тФО, а Во(г)= Х А! гзГ=г2+ ...
+гл. (12) 3с!>о Но рассматривая (11) и (12) как степенные ряды относительно действительного переменного г = (г,, ..., г„), мы получим в силу единственности разложения в такие ряды, во-первых, что Ам!= 0 при й ~1 и, во-вторых, что Аь!=0 при 1=0 и ~1~>1. Теперь из (9) видно, что а<'! =0 при й = 0 и )й1>1, т. е. что ) — линейное, а значит, унитарное преобразование ь Непосредственным следствием доказанного и сделанных выше подсчетов является Т е о р е м а 2. Группа всех автоморфизмов шара В с: С" зависит от и'+ 2п действительпых параметров, а подгруппа а й=(в„..., й„), 1=(1о ..., 1„) — векторы с целыми неотрицательными координатами. Полагая х,=г,е ч и г =(г„..., г„), и мы будем иметь Ф= ~чг~ А гь+!е~((ь!-г!)!, ...+(4„-!„)с„1 и! ГОЛОМОРФНЫН ОТОБРАЖЕНИЯ 1гл. у~ ббо автоморфизмов, сохраняющих центр шара, — от пт действительных параметров.
б) Пол и круг (Т=(генС": ~г,|< Ц. Подгруппу автоморфизмов этого поликруга, зависящую от Зп действительных параметров, составляют, очевидно, дробно-линейные преобразования (13) где а,, ! а, ~ (1, — комплексные, а О, — действительные числа. При п)1 к этим преобразованиям можно добавить еще те, которые получаются из них дополнительной перестановкой переменных 1в,— ь и„, где р =р(т) — взаимно однозначное отображение множества (1, 2, ..., п) на себя. Те о ре м а 3. Любой автоморфизм поликруга У с:.С" имеет вид (13) или получается из (13) перестановкой переменных св„- и . Таким образом, полная группа всех автоморфизмов поликруга расслаивается на п! классов, зависящих от Зп действительных параметров ').
° н Пусть 1 — автоморфизм У. Мы можем считать, что 1(0) =О, так как 1 можно заменить преобразованием Ь о1, где Т. — дробно-линейный автоморфизм У вида (13), переводящий 1(0) в О. При фиксированном ~ ен дУ рассмотрим функцию 1,Я) комплексного переменного 1, ',Г~(1; по лемме Шварца (п. 35 ч. 1) мы получаем, что ! 1,К) )~((г ~, 1(тн-'и. Так как любую точку г ~ У можно представить в виде г = щах~ г„! и где ~ ен дК то имеет место неравенство тпах ~ 1,(г) ~( щах ) г„!, которое обобщает неравенство Шварца.
Так как 1 ' — тоже автоморфизм У, то мы получаем, что в (Т (14) гпах)1,(г) ~ = щах~ г,!. Пусть 1~ 1 — плоскость вида ~а аиг„= О, на которой ~ г, ~ = = тпах ~ гв ). Применяя лемму Шварца на этой плоскости к функциям гп, мы получаем из равенства (14), что хотя бы ОдНа ИЗ НИХ СОВПадаЕт На Рт) С фуНКцИЕй Е'Ег, дЛя НЕКОтсрОГО О нн )х. Так как число индексов р конечное, а плоскостей Рт1 — КОНтИНууМ, тО ПО тЕОрЕМЕ ЕдИНСтВЕННОСтв МЫ ПОЛуЧаЕМ, ') Среди этих классов лишь один будет группой — тот, который содержит тождественное отображение, т.
е. класс (13). $121 ИНВАРИАНТНАЯ МЕТРИКА 55! с точностью до перестановки переменных, что ) (г) =пэг„где а ~ С, !а2!=1, т=!„2, ..., 22 > Эта теорема и замечание, сделанное в самом начале параграфа, приводят к такому заключению: Следствие. В С" при 22>1 поликруг и шар голомортрно не эквивалентны друг другу. й 17. Инвариантная метрика В этом последнем параграфе мы рассмотрим основные вопросы, связанные с так называемой кернфункцией, которая была введена С. Бергманом и оказалась весьма полезной в ряде задач теории функций.
51, Кернфункция. Рассмотрим произвольную область 1эс:С" и обозначим через Лаз = Ьаг(Р) совокупность всех функций ) ен н(22), для которых конечна норма (1, У)=) 1а Л' (2) Из неравенства Буняковского — Шварца ! (1, у) !'~(!!~!! !!й1 следует, что это произведение конечно для всех 1, д ев 1.2. Из этого же неравенства обычным образом получается неравенство треугольника: для всех 1, д ен СА 2 !!Г+у!!(!!Г!!+!!у!!, (3) причем знак равенства здесь достигается лишь в том случае, когда либо 1= 0, либо д =й(, где а~О.
Отметим еще локальную оценку !1! через норму этой функции в ЕА: если поликруг у(гг, т)С0, то для любой )'ев 1.2(0) 2. О 2 ! 2( О) !~» (4) Для доказательства подставим в !!~!!~ тейлоровское разложение ! с центром гз и проинтегрируем почленно, вводя где а)т — элемент объема в С" и интеграл понимается как несобственный. Совокупность 2'.лА(0) образует гильбертово пространство со скалярным произведением Голомо»еныв отовгкжвння [ГЛ.
'Л 552 в каждой плоскости а«полярные координаты (г,— гз =р,е )! И2 = 1 Х ст(а — зс)3 Х ся(й — зо)ла(!= и !!!~о !я!>о и '« с7с„ Д ~ е'(~' ~«) « с(О ~ р! "ч«+ ! ар = !(!о я! > о -! о 0 » 2«+2 =(ы)" ,'~, (.,('Ц„',; ~ь!>о а«+ так как члены полученного ряда неотрицательны, то 1)(р ) и" (с (зптз = и!!(1(з«) (згз ... гз. «-! Фиксируем точку аз~ Р и поставим следующую в а р и ационную задачу: Среди всех функций 1 е= Еь(Р), нормированных условием 7(гз) = 1, найти ту, которая реализует минимум З'1а. Мы обозначим В = В (Р) = (~ ~ Ез (Р) ~(зо) = 1) Теорема 1. Если класс В,«(Р) непуст, то в нем существует единственная функция ~м решающая поставленнум! задачу.
ч а) Существование. Пусть А = !п1 !яв,, (по условию эта величина конечна) и 1' (1!=1, 2, ...) — минимизирующая последовательность, т. е. такая последовательность ~„епВ,„что Вгп 11'„~~ А. Так как ('11„1) ограничена, »+ то в силу оценки (4) семейство функций локально равномерно ограничено в каждой точке г~Р. По теореме Монтеля (см. п. 37 ч. 1; доказательство этой теоремы без труда переносится на функции нескольких переменных) отсюда следует, что это семейство компактно, т. е.
нз него можно выделить последовательность1, сходящуюся равномерно в каждой 6 ~ Р к функ»»' ции 1. Очевидно, 1 еп В,. и ~~ 7, )~' = !пи )~ ~„ ~(' -:: Игп !) Г„ ((з == А , инвлгикнтыкя мвтгикк Э и1 а следовательно, и й'1,й' ~(А. Так как 1,я Вм. то отсюда следует, что 1~ )э ~Р = А. б) Единственность. Пусть есть еще функция д,~ В,„ для которой ~~ д, ~)' = А. Тогда так как — ~ В,, то 1о+ Ыо — мы воспользовались неравенством треугольника. Так как в этом неравенстве имеет место знак равенства и )э Ф О, то ив= а)„где а) О.
Поэтому 'г' А = )~ — '+ ~' ~) = — + ~1 ~„~~ = — 'г"А, значит, а= 1 н йс = 1с ь Мы будем называть 1с из теоремы 1 экстремальной функцией и обозначим к(") = — ',. (5) 11010 1(г) = Х а„ф„(г), ! (6) где а„=(1, ~р„), сходящимся к 1 в среднем, т. е. в смысле нормы (!). Заметим, что в нашем случае из оценки (4) вытекает и равномерная сходимость ряда (6) в каждой 6 е== В.
Напомним еще, что условие полноты ортонормальной системы выражается равенствол1 Парсеваля: .Э) ~ а„Р=й~~~з, (7) я ! где а„=(1, фи). Обычным для анализа образом доказывается, что в каждой ограниченной области .0 с:С" полные ортонормальные системы из Ц(0) существуют, в неограниченных областях такие системы могут не существовать (например, их не существует в С"). Поэтому в дальнейшем области, где существуют такие системы, мы будем называть областями ограниченного вида. Рассмотрим теперь в области В произвольную полную ортенормальную систему функций у„евЦ(В), и=1, 2, ... Под ортонормальностью понимается свойство (ув, ~р,) = б„„где б„,=! при р=т и б„, О при рот, а полнота означает, что любая функция ) яви'„(В) представляется рядом Голол!ОРФнив отоБРАжсн!!я 1ГЛ, ш 554 Лемма.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
