Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 103
Текст из файла (страница 103)
Тогда ! (г) = г в !1. Так как П ограничена, она принадлежит некоторому поликругу У=()г,!<М), а так как ! и все его итерации ) "» отображают 0 в О, то и все ~ ф» (г) 1< М всюду в П. Пусть поликруг т'=(~г,!<г,) сйП, тогда в нем имеют место разложения )»х»(г)=г,+ ~ с»х» гь, ~Ь!~2 причем в силу неравенств Коши !с~х»,~ -. ь ь .
Отсюда ~» '' гх видно, что семейство итераций !'"» слабо ограничено в )», и по теореме 1 там 1,(г) — = г,. По теореме единственности эти тож- дества справедливы и всюду в П ь Будем еще называть семейство отображений (»' '), а~ А, компоненты которых в окрестности точки г = О допускают разложения (2), (сильно) ограниченным в этой точке, если 536 ГоломОРФные ОТОЕРАжения (гл.
у! существуют постоянная М>0 н вектор г=(ги ..., г„) с положительными координатами такие, что (а! М Г' для всех й =(йи ..., lгл), йа>0, всех и= 1... „п и всех аен А. Через д(1(", ..., (м() мы обозначим величину якобиана отображения 1( ! в точке г. Л е м м а 1. Пусть семейство голоморфизмов ()~"~), а ен А, окрестности У точки г = 0 ограничено в этой точке, Т~ ((0) = 0 и 1У,(0)(>о>0 длл всех аенА. Тогда пересечение образов 1( ((У), аен А, содержит некоторь(й шар (! н()(р). < Положим х = (х,, х,„), ум(=(и(, ..., из„) и рассмотрим )("' как действительное отображение 2л и, = ~з уи,х, + (р,(х) (т = 1, ..., 2п), (б) и ! где ряды для (р, содержат лишь члены выше первого порядка (индекс а мы временно опускаем). Выражение .),'з о' = ~ч.", .~~ у х является положительно определенной квадратичной формой, причем в силу условия ~ У,(0) ~ > о > 0 существует такая не зависящая от а постоянная К(>0, что ') 2л 2л Х о',>Т(',Хх',.
т ! т ! С другой стороны, в силу ограниченности (1 (! в точке Е= О, (ан в достаточно малом шаре Ц х ~( Ц с: 0 имеем ') 2л У 2л '(2 д(иь . изл! ! д(1! "" (л) ') пусть (р (х) = ~~ у хе, тогда ( ф (х) )~(! хрг(,)~( ) уа 1+ ! Е ! иа 2 ((Е! 2 + !х ! ~и ) уе (+ ...~! остается воснользоватьси оценками (5), которые (М-з спРаведливы и для ) т лвтомоРФизмы пРОстей!вих овлАстгп 5 1и зат где К,— некоторая положительная константа, также не зави- сящая от а. Пользуясь разложением (6), находим ~~э и', ) К, ~ х', — К ~ч'.~ х,' нли, в комплексных обозначениях 1Уьи(.)1~(К, - К,~.
~Н.~. Возьмем теперь шар В =(!г ~<т), где т ~(ш(п(11, —,' ); на К1 2К, его границе дВ имеем 2 следовательно, при любом а ея А образ у"~(дУУ) лежит вне шара (! ш1<р). Так как 1~1 — голоморфизм н У~ ~(0)=0, то отсюда следует, что Уе»(В):» (! ш ~<р) при любом аеп А ь Следующая теорема имеет вспомогательный характер: Т е о р е м а 3. Пусть последовательность голоморфных ото- бражений У'"', р= 1, 2, ..., области УУ на каждом компакте К с: УУ сходится равномерно к отображению У. Тогда, если яко- биан У предельного отображения У в некоторой точке аь ен В отличен от нуля, то найдутся числа р и р такие, что для всех 1А) 1Аь образ У»'(В) содержит шар (~ ш — ш ~<р), где ш =У(г ).
< Без ограничения общности принимаем аь шь О. Семей- ство У~~', очевидно, ограничено в точке а=,О, и по теореме Вейерштрасса 1пп У„(г) = У(а). Отсюда следует, что в некоторой » "» окрестности (У точки а 0 отображения У прн 1А>1А, гомеоаа морфны и ~ У„(0) !=»а)0. Поэтому функции д~»~ =У~»~ — У~»~(0), 1с~р„удовлетворяют условиям леммы, т. е. У» (0) при 1А) р, содержат шары (! ш — у»'(0) ~<2р).
Так как (~»'(0)-»0, то най- дется р,~р, такое, что при 1А~рэ образы У (Р) содержат (») шар (! и 1< р) ~ь Следующая теорема, принадлежащая А. К а р т а н у и К. К а р а т е о д о р и, выражает достаточное условие для того, чтобы голоморфное отображение 1 некоторой области Е> в себя, обладающее неподвижной точкой гь ~ В (т.
е. такой, что у(аь) =г'), было автоморфнзмом втой области. Для ее доказа- тельства нам понадобится Л ем м а 2. Пусть область У1 содержит точку г 0 и голо- морфное отображение У:,0-»В таково, что У(0)=0, 1У(0)1 1, а итерации У ', р= О, » 1, ..., ограничены в этой точке. Тогда ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯ (гл, ъч 538 существует последовательность та «1 такая, что 7(чз) при з- оо равномерно сходится к тождественному преобразованию в некоторой окрестности точки з = О.
ч Совокупность итераций 7~"', где р = О, + 1, ..., образует, очевидно, группу (под !~в понимается тождественное преобразование,)' " обозначает преобразование обратное к 7 в окрестности точки а= О, которое существует, ибо У(0) ~ 0). По следствию теоремы 1 отображения ) однозначно определяются (н) своими линейными частями ЕЧ" ), поэтому достаточно найти / (в)1 такую подпоследовательность т„ для которой Е ()! ')) — Е, где Š— тождественное отображение.
Заметим, что по определению итераций Е (7(н)) = А", где А — матрица Е(!), а А" — ее р-я степень. Так как последовательность 1,(!"') по условию ограничена, то можно выбрать подпоив следовательность р, (0<рч <и,< ...), такую, что 1!(п Ав =В существует (т. е. существует предел каждого элемента а(„аз) матрицы А"', равный соответствующему элементу Ь,„матрицы В; а, 8 = 1, ..., и). Так как определители матриц А" по модулю равны 1, то матрица В обратима н существует 1пп А" =В '.
5 -« Но тогда А" +1А" = Ан+ н — Е при з-«оо, т. е. последовательность р„, — ((,=ч, н есть искомая > Теорем а 4. Пусть  — ограниченная область и 7:,0 — «П— голоморфное преобразование с неподвижной точкой зе ен П. Если ! у ( в) ! ~ д ()ь ..., (ь) ~ (» то 7' — автоморфизм. ч Без ограничения общности считаем, что г'= О, Покажем сначала, что (' — взаимно однозначное отображение. Пусть 1(а) =)(Ь), где а, Ь ен В; тогда и )вч(а) =!в(Ь), где 7в' — итерации отображения 7 (р = О, 1, ...). Так как 7"' ограничены в нуле для всех целых (з (в силу ограниченности ЕА), а 7(0)=0 и )Х(0))=1, то по лемме существует последовательность р, такая, что 7(" ) сходится к тождественному преобразованию Е в некоторой окрестности точки г = О. Но !(~') ограничена в каждой точке ген В, следовательно, из нее по теореме Монтеля ') можно извлечи подпоследовательность, равномерно схо- ') См.
и. 37 ч. (; доказательство этой теоремы полностью переноснтсп на пространственный случаИ. АвтомОРоизмы ПРОстеиших ОвлАстеи 539 дяпьуюся на любом К й= =Р. Пусть для простоты (1!и'!) — эта подпоследовательность; по теореме единственности она сходится к Е на любом КеР. Поэтому мы имеем 1(и ) (а)-+а и у!Р '(Ь) — Ь, а так как у нас )(Р )(а) =)(и )(Ь), то а = Ь. ОСтаЕтСя ПОКаэатЬ, Чта 1(Р) = Р.
ПОСЛЕдОВатЕЛЬНОСтЬ )(Рз) удовлетворяет условиям теоремы 3, причем якобиан предельного отображения всюду в Р отличен от нуля. Пусть г~Р— произвольная точка; так как !(и )(г)- г, то по теореме 3 найдутся зо и р такие, что )(" )(Р) прн з)зз содержит шар радиуса р с центром г, Но ~(за)(Р) ~1(Р), следовательно, г ~~(Р) > Теорему 4 можно рассматривать как некоторый пространственный аналог леммы Шварца. В самом деле, ее можно сформулировать так: если г: Р- Р— голоморфное отображение с неподвижной точкой ге, то !У(го)1-=1, причем равенство возможно лишь в том случае, когда !' — автоморфизм ').
Приведем в заключение другую форму пространственного аналога леммы Шварца: Те о р е м а 5. Пусть ), ) (0) = О, — голоморфное отображение единичного шара В =(!г !<1) с: С", непрерывное в В. Тогда в любой точке ген В (8) ! 1 (г) ! < ! г ! и ах ! ( (ь) !. смдв я Рассмотрим сначала комплексную функцию ф: В- С, ~р(0)=0, голоморфную в В и непрерывную в В. Обозначим М (г) = гпах ! ~р (г) ! )з! г и положим Ф(1; г) =!р(1г) =!р(Уго ..., гг„), где 1 — комплексное число, а также М(г; г) = гпах1Ф(1; г) !; !!! г очевидно, М (г) = гпах М (г; ь), 0 < г < 1. (О) !с! ! Так как Ф(О; г) =0 для любой г ен В, то к функции Ф(1; г) одного переменногоу можно применить обычнуюлемму Шварца, ') Чтобы убеднтьск в этом, достаточно заметить, что случай ! У(зэ) ! > ! невозможен, ибо тогда икобиан итераций 1!и! в точке з будет неограниченно о возрастать, а это но теореме Ыонтели нротиворечит ограниченности семейства итераций.
ГОЛОМОРФНЫЕ ОТОВРАЖЕНИЯ ~ГЛ. Ч$ по которой для любых г, )г!«<1, и гя В имеем 1Ф(г; г))( <«!1|шах!Ф(т; г) 1, откуда ~т 1=1 М (г; г) < «ТМ (1; г), О < «г < «1. По формуле (9) отсюда получаем сначала М(г; ь) <гМ(1) для всех 4 ендВ, а затем М(г) ТМ(!), 0«<г 1. (10) Теперь рассмотрим отображенИе 1=ДО ..., 1„): В-«С", удовлетворяющее условиям теоремы, фиксируем произвольную точку а вне" и применим неравенство (10) к функции и %а (г) Х ач(и (г) Мы получим, пользуясь еще неравенством Коши — Буняковского: гпах! <р„(г) ! <«г шах ~ а,(,(г)1«(г! а !шах)1(~) !. (11) ~=г ~ ~ ав ~ ч- ~ ~ -ав Пусть гв — одна из точек сферы (1г1=г), в которой дости- гается шах!~(г)! на этой сфере.
Выберем в качестве а вектор с координатами а„=~,(гв). Тогда будет !а)=!)(гз)!, <р (гв) = =!~(гз) !'"; из (11) мы получим !)(гв) !<г гпах!1я) !. «~дв Остается заметить, что в силу нашего выбора гв для любой точки г, ! г! = г, будет ! !".(г) )<«!1" (гв) ! ь С л е де т в и е.
Для любого еоломорфного отобразкения 1:  — «В, !(0) =О, в любой точке ген В !1(г) ! <! г !. (12) м Фиксируем произвольное р, 0<р<1, и рассмотрим ото- бражение я(г)=1(рг). Оно непрерывно в В, т. е. удовлетво- ряет условиям предыдущей теоремы, причем тпах ! ГГ (ь) !«<1. с -ав Поэтому ! я (г) ! < «! г ! для любого г ~ В, или, что то же самое, для любого г~В и любого р, 0<р<1, !1(г) )-= —. в Устремляя р к 1, получим (12) и 49. Автоморфизмы пространства. В п 36 ч, 1 было доказано, что любой голоморфный гомеоморфизм комплексной плоскостями является отображением на С, т. е. автоморфизмом, и непре- АБТОМОРФИЗМЫ ПРОСТЕЙШИХ ОБЛАСТЕЙ менно представляет собой линейное преобразование г — «аз+0, В пространственном случае оба этих утверждения оказываются неверныии. В самом деле, пример и е л и н е й н о г о автоморфизма О2 строится совсем просто.
Рассмотрим, скажем, отображение Ш! з1+ 12 (а2)г ~2 з2 (1) где ф — произвольная нелинейная целая функция одного комплексного переменного (например, полипом). Оно голоморфно в С2, взаимно однозначно (ибо из равенства ш' = ш" немедленно вытекает, что г',=г2", а затем, с учетом этого, — что з1=Е1') и отображает С2 на С2 (ибо произвольное значение (а и ш2) Бис,'2 принимается в точке г1 = ш1 — 1р(шз), г2 = ш2). Интересный пример (нелннейного) голоморфизма С2 на правильную часть С2 был построен П. Ф ату в 1922 г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
