Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Предположим, что теорема неверна и существует точка 'а, р('а, '0) <б, такая, что ) мероморфно продолжается в круг К,=(г='а, ~г„~ ='е). Тогда она будет мероморфно продолжаться и в некоторый поликруг (р(г, 'а)(ть ~г„~~(е), причем ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ [Гл. ч можно считать, что '6 = (р (г, 'а)»<т[) принадлежит (р (г, 'а)< »6). На множестве (р ( г, '0) » (б, з' ~ ! г„~ »< е") функция 7' представляется рядом Хартогс а — Ло р а на 1(г) = Х у» ('г) г», где у» голоморфны в (р('г, '0) <б).
Так как она мероморфно продолжается в поликруг '(7 Х ((г„[»<е), то по доказанной выше лемме найдутся функции Хь, ..., А[~ Н('У), не все тождественно равные нулю и такие, что для всех й = — 1, — 2, ... н всех 'ген'У имеем 7»('г)у„,('г)+ ... +7[('г)д»('г) — = О. (4) Рассмотрим бесконечную линейную систему с 1+ 1 неизвестной $„: $д» [('г)+ ... +$[й»('г)=0, й= — 1, — 2, ... (5) При 'гы'(7 она имеет нетривиальное голоморфное решение $ =й„('г), поэтому для таких 'г между уч('г) имеются аналитйческие зависимости, выражающие условие существования такого решения.
Но так как у» голоморфны в большем поли- круге (р('г, '0)-~ 6), то эти зависимости справедливы и во всем этом ноликруге. Тогда, по той же лемме, функция 1 мероморфно продолжается в поликруг (р('г, '0) »<6, (г„~ <е), а это про. тиворечит тому, что ('О, 0) является граничной точкой 17 > Дальнейшее доказательство аналитичности множества существенно особых точек (аналог части б) доказательства теоремы Хартогса) проходит так же, как в предыдущем пункте. По аналогии с радиусом голоморфности (радиусом Хартогса) вводят понятие радиуса мероморфности функции 7 в точке г" относительно пеРеменного г„как РадиУса 7(м('гь) максимального круга ('г='гь, ~г„— ге ~<тт) в который 1 мероморфно продолжается. Примерно так же, как в и.
26 (теорема 1), доказывается, что функция — 1п )тм ('г) является плюрисубгармонической в проекции '17 области мероморфности 7 (см. книгу Б. А. Фукса, цит. на стр, 517, стр. 221). После этого можно почти дословно повторить вторую часть доказательства теоремы Хартогса из предыдущего пункта. На этом нути получается Теорем а 2 (3. Л е в и). Пусть а — существенно особая точка функции [' и для каждой точки 'г, р('г, 'а) <е, в поли- круге У=(р(г, а)<е) имеется не более одной точки ('г, г„). существенно особой для этой функции. Тогда найдется поли- АНАЛИТИЧНОСТЬ МНОЖЕСТВА ОСОБЕННОСТЕИ ь !ь! де! дг! гапк д (2) и примем ЕЕ=О. Рассмотрим аналитическую поверхность Яь = (г ~ С": г = аь+ Ььт), где а, бена", а ьен( — параметр. Если для краткости обо/дф! дф! 1 значить гафт ~ —, ..., — ), то по формуле Тейлора будем 1 дг! ° ' ' дгь,) ' иметь ф!1 = 2 Ке(аь+Ььт, гкф) + ГтеьзК~(а)++ В!(а, а)+о((ь!~), (3) где, как и в п.
25, круг 'т' =(р('г, 'а) <б) такой, что каждой 'г е= %' соответствует точно одно г„, для которого ('г, г„) является существенно особой точкой 1 в У, причем функция г„ф('г) голоморфна в '!т. Справедлива и более общая теорема, в которой предполагается, что 1 имеет конечное число существенно особых точек с проекцией 'г, и которая формулируется, как теорема 2 предыдущего пункта. 47. Теорема о вложенном ребре.
В заключение мы приведем вариант теоремы об аналитичности множества особых точек, который основан на следующей полезной и в других приложениях теореме о вложенном ребре: Т е о р е м а 1 (К н е з е р). Пусть две гиперповерхности Хт=(фт(г)=0), )=1, 2, класса Сз пересекаются по (2п — 2)- мерному ребру Г так, что во всех точках Г -"(::::. !:::!- !:)- (Х! и Хг имеют вдоль Г различные касательные плоскости).
Тогда, если существует функция ), голоморфная в тех точках окрестности Г, где п!1п(ф„ф)<0, но не продолжаемая голоморфно ни в одну точку Г, то à — аналитическая поверхность. м а) Предположим сначала, что в какой-либо точке гь ы Г ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ (гл. к (а, Ь)=(а, 6) и все производные берутся в точке В=О. По условию (2) векторы Чф, и Чф, не коллииеарны, следовательно, можно выбрать векторы а и Ь так, чтобы было (а, Чф|) =1, (а, Чфт) = — 1,2(Ь,Чфз) = — К~(а)+ — Н,(а, а)+ 1, (4) 1 1=1, 2. Тогда формулы (3) примут вид ф, ! = 2а + З' — т1'+ З'Н, (а, а) + о (Я Р), фе 1з = — 2$ + Ь' — т1'+ ~'Н, (а, а) + о (/ Ь ~') (мы положили ь = в+1п), откуда следует, что прн |ь )<р, где р достаточао мало, вся поверхность З„кроме точки ь=О, лежит в области ппп(ф„фэ)<0.
В самом деле, при достаточно малых ) Ь ~ и ~ чь 0 у нас либо ф, ~э, либо ф, ~ отрицательна, а при $=0, но т1 Ф 0 отрицательны обе ф; ~з. Теперь, оставив прежние а и Ь и пользуясь тем, что ни один из Чф; Ф О, мы выберем вектор вен С" так, чтобы было (в, 7ф,)= — 1, 1=1,'2, (5) и рассмотрим семейство аналитических поверхностей 5, = (г ен Г: а = а1 + Ь12+ ЫГ), где 1 — положительный параметр. Имеем, очевидно, ф,) = ф, ~з + 21Ке(ы, рф;~ )+о(Г), откуда в силу условия (5) и непрерывности Чф~ следует, что при 0<1<т, где т достаточно мало, куски Яь для которых ~ ь ~ < р (число р мы можем в случае надобности уменьшить), компактно принадлежат области ппп(ф„ф,)<0. Семейство Яь 0(Г(т, удовлетворяет, очевидно, условиям принципа непрерывности из и. 23. Так как по условию доказываемой теоремы существует функция 1, голоморфная в той части окрестности точки а=О, где ппп(фп фэ)<0, и не продолжаемая в эту точку, то мы пришли к противоречию с этим принципом.
Значит, мы доказали, что во всех точках Г ранг матрицы (2) не превосходит 1. Ио этот ранг ни в одной точке Г не может равняться О, дфр ибо тогда в этой точке все производные — = О, э= 1, ..., п, д дф~ следовательно, и все — = О, т. е. ие выполняется условие (1). дат АНЛЛНТНЧНОСТЬ МНОЖЕСТВА ОСОБЕННОСТБЯ 4 !51 Б29 Таким образом, во всех точках Г де~ дз~ Гап(с д дфа дх~ (6) б) Теперь мы покажем, что à — аналитическая поверхность. Из (6) видно, что существует комплексная функция Л такая, что для всех ген Г Чф = Х(г) Чрн (7) 2 Йе (Чфг, 5(г) = О, 2 Ке (Чф„с(г) = О.
Отсюда в силу соотношения (7), где 1тпХ чь О, получаем ра- венства (Чф,, аг) = О, 1=-1, 2, (8) нз которых и следует аналитичность Г, В самом деле, из усло- вия (1) видно, что систему ф1=0, 1=1, 2, можно разрешить относительно одного из переменных, кажем га = д ('г). Но из (8) видно, что дифференциал функции д выражается лишь через 5!г, и ие содержит срг, ,'т=-!, ..., п — !), а это н означает аналитичность а ь П р и и е р ы. 1. Пусть ф,=!х~! — 1, фа=(з ! — 1 в Оа, 1 Поверхности 21=(! гр! !), 1 1, 2, пересе.
каются по тору Г (!а,!=1, !и,(=1). Так 1г,1 как это не аналитическая поверхность, то из георемы Кнезера следует, что всякая функция 7, голоморфная в той части окрестности Г, где либо ! х, ! < 1, либо ! х, ! < 1 (заштрихована на диаграмме Хар- гогса, рис. 121), непременно голоморфно продолжается на Г. Рис. !21 З4 Б. В.
Шабат Заметим, что !гни(г)ФО для всех ген Г, ибо если бы Х(гз) было действительным числом, то из (7) следовало бы равенство Чф,= Х(г )Чф„где черта — знак комплексного сопряжения, и тогда ранг матрицы (1) в точке г' был бы меньше 2, вопреки условию. Рассмотрим произвольный вектор Ыг = (г(гн ..., 5(г„), лежащий в касательной плоскости к поверхности Г в точке г. Он должен принадлежать касательным плоскостям к каждой из гнперповерхностей тд следовательно, осовннности и Вычпты [Гл. ч ЬЗО 2. По той же причине область [) г, ) < 1, )аз ) < 2) У() г, 1 < 2, )зт ) < 1) не может быть областью голоморфности — зтот результат мы получили в п.
7 при помощи логарифмической выпуклости. Из теоремы о вложенном ребре просто следует теорема об аналитичности множества особых точек, которая отличается от доказанной в п. 45 тем, что в ней заранее предполагается гладкость этого множества, но условие не слишком большой массивности формулируется лишь в терминах размерности. Т ео р е м а 2. Если функция г' голоморфна в некоторой 2пмерной окрестности (2п — 2)-мерной поверхности Г класса СЯ и не продолжается голоморфно на Г, то à — аналитическая поверхность.
Пусть ге я à — произвольная точка. Так как Г с С' и является (2п — 2)-мерной поверхностью, то в окрестности го она задается двумя действительными уравнениями ю, = О, фз = О, где ф)~Сз, и ранг матрицы (1) в этой окрестности равен 2. Так как 1 заведомо голоморфна в той части окрестности Г, где ш(п(гри ~рз)<О, и не продолжается на Г, то à — аналитическая поверхность > Небольшой модификацией рассуждений можно доказать аналог теоремы о вложенном ребре, в котором вместо голоморфной участвует мероморфная функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
