Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Лт 606 При достаточно малых е ) О каждая компонента множества т=' содержит внутри одну и только одну точку а„ен в) интеграл (б) по этой компоненте или равный ему интеграл (7) по остову этой компоненты естественно назвать локальным индексом отображения (б) в точке а„или иначе порядком общего нуля ам системы (б). Мы получаем тогда следующий пространственный аналог принципа аргумента: Теорема 1 (о лог арифмическом вычете). Пусть и области 6 с: С" задана система голоморфнь!х функций ) =()з, ..., 7я) с изолированным множеством Ь общих нулей, пусть еще 6 я=-.
0 — область с жордановой границей 5, не содержащей точек в. Тогда общее число нулей 1 внутри 6 с учетом их порядка равно индексу относительно точки 7" = О образа 5" границы 5 при отображении 1, которьсй можно вычислить по формуле (6) или (7) при достаточно малом е ) О. П р н ме р. Система Функций 2 2 ш! = г! — 22, о!2= 2гзгз с якобианом, равным 4(гз!+222), имеет а шаре В=() г) < 1) из С' один нуль я точке (О, О). Порядок этого нуля по Формуле (7) равен 1 ) аш! Л "шг 2 1 (г!+22)с)г! Лиат г ш! 2 ( и ) г (г! 22) г!22 где à — остов области Вейля (! г! — гз! < 1, 2! г!гз) < 1).
Пользуясь мето- 2 2 дом Мартинелли, можно доказать, что искомый порядок У= 4. Из принципа аргумента, как и в плоском случае, получается Т е о р е и а 2 (Р у щ е). Пусть в области 6 с: Сз заданы две системы функций 7=(7!, ..., 1„) и д=(д!, ..., йь) с изолированньзми множествами нулей; пусть еще 6 Е- =6 — область с жордановой границей 5 и всюду на 5 11! ) !У), (8) где ) ) ) = 1 эз) !2)2 ) д)= У.аз) д,)2 тогда ысстема 7+у = = ()!+к!, ..., 7„+из) имеет в 6 столько же нулей, сколько имеет их там система )! (с учетом порядка нулей). м Обозначим через 5о и 5! соответственно (2п — 1)-мерные циклы, которые получаются из 5 при отображениях г- ) и г-ь)" +д. Через 52, О(~1(1, мы обозначим образ 5 при отображении г — 1+ )у.
Очевидно, семейство (5,) определяет гомотопию циклов 5о и 5!, причем так как по условию на 5 имеем ) 7+ )д)))1) — 1) д ) ) О для всех )ен(О, 1), то это гомотопия 507 лнллитичнскин множгствл з и! в С" ' (0). Отсюда следует, что циклы 5с и 51 гомологичны друг другу в С" ~(0) (их разность ограничивает открытое множество из С" ' (0)„которое заметают циклы 5~ при изменении ! от 0 до 1). Но тогда циклы 5с и 5~ имеют одинаковый индекс относительно точки ш =О, и утверждение следует из теоремы ! в 3 а м е ч а н н е. Если на границе 5 известен и-мерный цикл Г, интегрирование по которому по формуле (7) приводит к индексу образа 5 при отображении г-,', то требование теоремы 2 можно ослабить. Именно, достаточно требовать, чтобы неравенство (8) выпочнялось ие на всей (2и — !)-мерной поверхности 5, а лишь на таком и-мерном цикле Г. $14.
Аналитические множества В этом параграфе мы несколько подробнее рассмотрим понятие аналитического множества, с которым неоднократно встречались на предыдущих страницах. Такие множества задаются системами уравнений 7,(г) = О, ч = 1, ..., М, где !', — голоморфные функции, поэтому исследование аналитических множеств сводится к изучению неявно заданных функций. Частным случаем этой задачи является задача об обращении голоморфных отображений, н мы рассмотрим ее здесь же.
Основную роль в этих исследованиях играет подготовительная теорема Вейерштрасса (см. п. 6), которая позволяет заменять голоморфные функции в левых частях уравнений полиномами относительно одного из переменных и тем самым алгебраизировать задачу, 43. Понятие аналитического множества. О п р е д е л е н и е 1. Назовем М с: С аналитическим множеством в точке а ~ М, если в некоторой окрестности У этой точки его можно представить как множество общих нулей конечного числа голоморфных в (7 функций 7,: М = (г ен У; (, (г) = О, ..., )и (е) = 0).
(1) Мы будем называть М аналитическим множеством, если оно является аналитическим в каждой своей точке. Понятие аналитического множества не совпадает с понятием аналитического многообразия: например, множество (е,г, = 0) в с,'з в окрестности точки (О, 0) не гомеоморфно шару. В этом примере множество распадается на два отдельных аналитических множества (г, =0) и (г,= О), которые у;ке являются многообразиями. В ряде вопросов важно исключить подобные распадения. Для этого вводится О п р ел ел ен не 2. Аналитическое в точке а множество М называется неириводимым в этой точке, если ни в какой окрест- осогенности и вычеты [гл.
ч 508 ности а его нельзя представить в виде объединения М,() М,, где М, и М, — непустые и отличные от М аналитические в точке а множества. Множество М называется локально нгприводимым в точке а, если оно неприводимо в каждой своей точке из некоторой окрестности а. П Р и и е Р ы. Аналитическое множество (з( — азиз= 0) пРиводимо в на- 2 2 2 чале координат х.з, ибо оно разбивается на два аналитических множества (з, — з,з, 0) и (я1+ з,з,= 01. Множество (з, — зззз —— О) неприводимо в на- 2 2 чапе, ио не валяется локально непрнводимым в этой точке, ибо оно приво- димо в точках а1= и, = О, аз ~ 0 (оно представляется в виде объединения множеств (з, газ, 1 з, = О), где 1 з, обозначает одну из двух голоморфных 1 г— в точке (О, О, а,) ветвей корня). Множество (з~ — зззз 0~ локально непри- 2 водимо в начале (и в других точках, конечно).
Понятие неприводимости аналитических множеств связано с понятием неприводимости функций. Голоморфная в точке а ен С" функция 1 называется нгприводимой в точке а, если ее нельзя представить в виде произведения двух функций, голоморфных в а, каждая из которых равна нулю в этой точке'). Отметим простую теорему, относящуюся к разложению функций на неприводимые множители. Те о р ем а 1. Любую функцию 1, голоморфную в точке а' и равную там нулю, можно разложить в произведение неприводимых голоморфньгх в а функций, причглг тиков разложение единственно с точностью до множителей, отличных от нуля в точке а.
м Подготовительная теорема Вейерштрасса (п. 6) сводит задачу к разложению многочленов (по одному из переменных), а любой многочлен,' как известно из алгебры, можно единственным способом (с точностью до делителя единицы) представить в виде произведения неприводимых многочленов. Для этого достаточно воспользоваться алгоритмом Евклида нахождения наибольшего общего делителя ь С л е дс т в и е. Любое аналитическое в точке а множество М можно представить как конечное обьединениг неприводггмых в этой точке аналитических множеств. Объединяя одинаковые множители в разложении голоморфной в точке а функции 1 согласно теореме 1, мы получаем ') Напоьгним, что в алгебре элемент кольца называется п р и в од и м ы м, если его можно представить в ваде пронзведевия двух множителей, не являющнхся делателями единицы.
В кольце функций, голоморфных в точке о, делителями единицы являются, очевидно, функции, отличные от нуля а этой точке. хнхлитические множества 509 однозначно определяемое (с точностью до множителей, отлич- ных от нуля в а) представление — 1" т (2) предполагается, что гчь 0 и что градиент дгаб)=( — ~, ..., — ~) (4) не равен тождественно нулю на каждой неприводимой компоненте множества М. Будем различать два типа точек таких множеств. а) Обыкновенные точки. Точка а аналитического множества (3) называется обыкновенной, если в ней афтаб~ Ф О, (5) т.
е, отлична от нуля хотя бы одна из частных производных — (т= 1, ..., и). д) дге Пусть для определенности — ~ ~ О. По теореме существод! дее а вання неявных функций (см. и. 13) уравнение М, которое записывается в виде 1('е, г„) = О, в достаточно малой где 1, голоморфны и неприводимы в точке а, ) Ф), при 1еФч и и,— положительные целые числа. Каждое множество М„ которое в окрестности а задается уравнением 1,=0, неприводимо в точке а, и 1, является для него определяющей функцией (см. п. 33). Мы воспользуемся разложением (2), чтобы сформулировать Оп р еде лен ие 3.
Пусть 1 — голоморфная в точке а функция и 1(а) = О. Число и, (т= 1, ..., >и) в разложении (2) называется порядком нулевого множества (1, = 0) функции ! в точке а. Если 1 мероморфна в точке а, то в окрестности этой точки 1 = —, где ~р и ф голоморфны в а, не имеют общих миожитеч лей, голоморфных и равных нулю в а, и ф(а) = 0; числа р,„аналогичным образом определяемые для функции Пх называются порядками полярных множеств (ф,=О) функции ) в точке а.
Это определение мы и имели в виду в п. 38, когда говорили о дивнзорах мероморфных функций. Перейдем к описанию простейших аналитических множеств комплексной размерности и — !, которые задаются в области 0 ~ Се при помощи одной голоморфной функции М = (г ~ ез: 1(г) = О); осогннности и вычеты 1гл. за ьчо окрестности У точки аенС" можно переписать в виде, разрешенном относительно э„: г„= д ('г), (6) (дгаб), е — а) = '— ! (е,— а„) =О, дач а ч ! (7) которая называется касательной аналитической плоскостью '). б) К р и т и ч е с к и е т о ч к и.
Так называются точки- анали-. тического множества М, в которых афтаб 7'= О, (8), т. е. равны нулю все производные — (э = 1, ..., н). д( дач Пусть и — критическая точка М; без ограничения обшностиможно считать, что 7'('а, га) ча О (этого можно добиться линейной заменой переменных). Подготовительная теорема Вейерштрасса позволяет записать уравнение М в окрестности а в виде Р (да) = (г„— а„)" + с, ('г) (г„— а„)" '+ ...
+ са ('э) = О, (9) где функции с, (э=1, ..., Й) голоморфны в окрестности 'У точки аенС" и зс)2, ибо при й=1 точка а была бы, очевидно, обыкновенной. ') Здесь и далее длн векторов а, Ь ~ С" прнннто обозначение л (и, Ь) ~~а~ а„а„, ч ! так что (а, Ь) = (а, Ь). где д — голоморфная в 'У функция.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
