Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 95
Текст из файла (страница 95)
Подставляя это в (5), находим с(ф Л (г + фва) = О; по той же лемме г + фв, = а!ф Л со„где вэ еп ~ С (У). Отсюда и видно, что сужение г ~ = О, ибо на Ф' у нас ф = с($ = О. Теперь докажем независимость г) и от выбора функции ф, определяющей полярное множество. Пусть это множество (в пределах окрестности У) определяется еще функцией Ф тогда частное ФГф=т, голоморфно и отлично от нуля в У (см. п. 33). Пусть мы имеем л!)! в = = Л 5+ а! Ф !Э где г, в!~С (У). Подставляя сюда ф=фх, найдем в= — Лг+ — Лг+в = — Лг+а вр - нх - - щ !(! Х ! !р !' МНОГОМЕРНЫЕ ВЫЧЕТЫ 495 гезы=г~ . (6) Таким образом, оператор гез преобразует группу ЛР (М ~ У') замкнутых С -форм степени' р в группу Я» ~(г') замкнутых С -форм степени р — 1: геен г.р(М '~ Ф) — +лп (Ф').
(7) 3 а меч ание. Если форма ы голоморфиа ') на М ~ т', то и гезы голоморфна на Ф'. Это следует из того, что в случае голоморфности ы формы г и ы, при доказательстве теоремы 1 также можно выбрать голоморфными. П р и м е р. Пусть р равно (комплексной) размерности п многообразия М, а форма ы голоморфна иа М ~У' и в локальных координатах г = (г„..., г„), действующих в окрестности У точки геен д', она представляется в виде ы = 'Р (г = 'Р (г, Л ... Л (г„, ф ф (8) где <р, ф~ О((7), а тр! =О, — ~ Ф О.
Тогда можно написать дф дет аф — нее дет Л е(г Л ..,„, юг,= ы= ~ ( — 1) оф пее =( — 1) — — Л .... Л дг ч вф вф ф ''г дг„ ') Определенне голоморфной формы ем. е и. 14. здесь ы, = — ~ Л г+ ео, ~ С (У), и по доказанному выше Р („= х =г! . Остается доказать замкнутость формы г)., Но вне д' в силу замкнутости ы мы имеем е(ы= — — Л е(г + е(ы, = О, причем вф ф в силу непрерывности это равенство справедливо всюду в,9'. В силу доказанной выше единственности заключаем, что е(г 1„= О ° О п р е д е л е н и е 1. Формой-вычетом замкнутой формы ео я С (М Х 7-"), имеющей на Р полярную особенность первого порядка, называется замкнутая форма, которая в окрестности каждой точки го ~от-' равна сужению на у' формы г в разложении (4): [гл.
н осоьенпости и Вычеты 496 откуда видно, что =(-1)' ' —,', 1 ба,у(.. (9) д~~ 1~ При и=1 мы получаем обычную формулу для вычета в полюсе первого порядка: гез — с)г и ~р (а) а 'р Ф (а) Перейдем к описанию так называемого кограничного оператора Лере б, который каждой точке аоенФ сопоставляет гомеоморф окружности бго еи М ~ ет' (и таким образом увеличи- вает действительную размерность иа 1).
бх' Этот оператор должен обладать следуют шими свойствами: 1. В некоторой окрестности У, суще- 1 л СтиуЮт ЛОКаЛЬНЫЕ КООрдИНатЫ (гы ..., гв)=з с началом г, в которых л" П У,. ,г ь о определяется уравнением е„= О, а басс: У,~ г" и определяется уравненнем ) а„(= 1. 2, Совокупность Ц бв образует в вм Р М 'ч Ф' непрерывную поверхность. Рис. 120. 3. Прн г'Фам линии бг' и бам не имеют общих точек. Таким образом, совокупность Ц б» составляет границу трубчатой окрестности многообразия Ф' (см. схематический рис.
120, где л' изображено линией, а М вЂ” трехмерным пространством). В принятых выше условиях построение такого оператора б всегда возможно, ибо действительные размерности вт' и М отличаются на две единицы. Пусть теперь о — цикл на ~ действительной размерности р — 1; мы предположим, что носитель этого цикла (т. е. соответствующий ему полиэдр) компактно' ) принадлежит Ф'. Обозначим ба= Ц бг; лев мы можем рассматривать бо как р-мерную цепь на М чФ', если введем в ней естественную ориентацию, соответствующую ориентации о. Для этого достаточно ввести ориентацию на каждой линии бг, например так: будем считать, что ориентация в окрестности У, задается порядком следования локальных ') Это прслположенве нужно лля того, чтобы избежать рассмотрения 4 несобственных интегралов (см. п. 11).
многомеРнь]е Вычеты 497 координат»„..., »„, а на многообразии !/,П г' — порядком »,, ..., »„д тогда положительный обход на Ь» будет соответствовать возрастанию /„в представлении»„= е "окружности 6» (см. свойство 1 оператора Ь). Легко видеть, что оператор б коммутирует с оператором д взятия границ (бд=дб), поэтому он переводит циклы снова в циклы и циклы, гомологичные нулю, в такие же. Таким образом, б устанавливает гомоморфнзм групп гомологий 6; НР"'] (2') — е.
Нр" (М ', ег') (! О) (см. п. 12; значок (с) в обозначении групп указывает на то, что рассматриваются к о м п а к т н ы с гомологии, т. е. принимаются во внимание лишь цепи с компактными носителями). Следующая теорема является обобщением теоремы Коши о вычетах из ч. 1. Теорема 2. Нусть (р — 1) мерный цикл ос ет' и е]~ ЕИ С (М ~ Ю) — ЗаМКНутая фар/На СтЕПЕНи р, иМЕ/Огцая ете СВОиМ полярным л/ножестеом переого порядка; тогда ) ь] =2п/ ) гез е], (11) ба бе,а бе а а/е,] ' а/е,] в силу замкнутости формы, так что интеграл от ь] по Ь,о не зависит от е. Теперь покроем о]п конечной системой окрестностей (С//)/ в каждой из которых действует теорема 1 и, как выше, можно принять тр(») =»„. Построим для этого покрытия разбиение единицы (е/) (см.
п. 11) и применим в каждой (// теорему 1, в которой положено бр=»„; мы получим ~ ь]= ~ ~ е/ь]= лгН ~ е/ —" ЛГ+ лен ~ е/ь]]. (12) беа /и/ беа /е/ б,а /~ / беа 32 Е В, Шабат где Ь вЂ” кограничный оператор Лере. м Обозначим через Ь„О(е(1, оператор, который обладает свойствами 1 — 3 оператора 6, с той лишь разницей, что в 1 уравнение !»„.)= 1 заменено уравнением !»„)=е и при е-~0 трубчатая окрестность ои], ограниченная поверхностью Ь,о = Ц б,», стягивается в о. По формуле Стокса (п. 14) для лют я а бых е, и ее 0<е,<ее<1, имеем осоеенности и Вычеты !гл. ч 498 Здесь ет —" Л т= " —" ~ етт('«, «)-+2и1 ~ е гез а «« «« д~« (1«.1=) ('- ~.1-) « при е-+О, левая часть (12) не зависит от е и равна интегралу по бо, а вторая сумма в правой части стремится к нулю при е — >О.
Поэтому, переходя в (12) к пределу при е — эО, мы будем иметь ) а=2я«' ~ ~ етгеза=2п1 ) гсзв ь 6а ~~1 а а ) а = 2п1 ) гезв. (13) Ясно, далее, что если к а добавить точную в М ~Ф' форму (т. е. являющуюся дифференциалом некоторой формы степени р — 1), то интегралы в (13) не изменятся. Класс форм, отличающихся от в на точные формы, является классом когомологий, содержащим а, а совокупность таких классов для всех замкнутых форм в степени р+1 из С (М~ у') — группой когомологий Нд(М ~~) (см. п. 13).
Мы видим, что класс когомологий из Н~ («-'), содержащий геев, зависит только от класса когомологий из Н~(М ~ т'), содержащего форму ал Определение 2. Пусть а — некоторая замкнутая форма, представляющая класс в' е= Нд (М '~ д'); класс когомологий из Н~ (Ф'), содержащий форму геев, называется классом-вычетом и обозначается символом )4езв= кез в . Формулу (13) теперь можно переписать в виде ) а" = 2п) ) баева'. дЛ и Заметим, что если заменить о другим циклом о', принадлежащим тому же классу ЬеиНр'~(У') компактных гомологий на У (это означает, что о' — а ограничивает некоторую р-мерную цепь, компактно принадлежащую Ф"), то в силу замкнутости формы геев интегралы от нее по о и о' по формуле Стокса совпадают.
Учитывая еще, что согласно (10) оператор б сохраняет гомологии, мы можем заменить в (11) циклы о и Ьа любыми представителями соответствующих классов Ь ен Нр ~ ( л') (е и бй~ Н~" (М ~еУ). Поэтому формулу (11) можно переписать в виде МНОГОМЕРНЫЕ ВЫЧГТЫ $ 131 499 Можно убедиться в том, что оператор )тез устанавливает гомоморфизм соответствующих групп когомологий: Вез: Н" (М ч Ф') — Нл ( и').
(15) Опишем в общих чертах случай полярных особенностей выше первого порядка. Пусть опять на и-мерном комплексном многообразии М задается многообразие л', локально описываемое как множество нулей голоморфной функции ф, для которой ррайчр ~ О. Будем говорить, что форма ш ~ С" (М',Ф) имеет на ет' полярную особенность порядка д, если произведение фчьт продолжается до С"-формы на М, а ф'то, где д'<а, не продолжается.
Приведем без доказательства теорему, которая сводит вычисление интегралов от замкнутых форм, имеющих на д' полярную особенность выше первого порядка, к уже рассмотренному случаю (см. книгу Лере, цит. на стр. 493): Для любой замкнутой, формы от еи С (М ч л'), имеющей на Ф' полярную особенность, найдется когомологичная ей форл1а тоз, которая имеет на Ф особенность первого порядка, Класс когомологий из НР (ет"'), содержащий гез от„т.
е. класс Йезьзо, называется классом-вычетом формы ет; он определяется лишь классом когомологий нз НР(М'чФ), содержащим ьт. В плоском случае переход от формы ш =1 дг к шз = )о дг состоит в замене Г(г)= ( ' + ... + ' функцией ~, = имеющей в точке а полюс первого порядка и тот же вычет, что и г. Отмстнм, что в пространственном случае для голоморфной ш форма ет, не обязана быть голоморфной и вообще класс-вычет Везет голоморфной формы ш может не содержать голоморфных форм '). Этим и объясняется необходимость рассматривать в теории Лере не только голоморфные, но и формы класса С Для практики важен такхсе случай, когда форма ш имеет несколько полярных многообразий У,, ..., У' порядков соответственно дн ..., а . Предполагается, что О, находятся в общем положении, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
