Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 91

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 91)

П. Оценки в псевдовыпуклых областях. Лля оценки нормы оператора Т* воспользуемся легко проверяемым коммутационным соотношением (- -)- б = — = б ) а2 = гс ' д д 1 до<р (11) Р дгт дг„о) дго дг„' где Чо= — 1пф, а б, определены в (7). Интегрируя по частям выражение 11Т'511'=лт1 ~~ ) бойогбойягфд(т, Ь~ Со (0) о, и пользуясь (11), мы получаем — .е, Перебрасывая в последнем интеграле — на й „мы наход дг~ У дим, что 1(т'йУ='~' ~ Н(~, й,)фду + ~ '~~' ~; ~~"' —,"' фдР, 2 Р.о ПРИМЕНЕНИЯ получаем, что Х(г)-Рсо при ~а~- аа. Заменяя теперь Х функцией и а Х, где и — выпуклая достаточно быстро растущая функция класса С (Р'), мы можем считать, что условие (9) выполнено для любой функции ф, = е '~ ч, е > 0; плюрнсубгармоничпость Х от этих замен не нарушается.

Скалярное произведение в Ез(фп,) мы будем обозначать символом ( )„норму в этом пространстве — символом 11 11,; в Е'(е ч) соответству1ощне обозначения( ) и!~ Из равенства (!2), где вместо ~р надо писать ф+ —, мы получаем, что !|Л)~а-=а '1~ Т*Ьф, ЬЕЕУз; по лемме 1 существует д,ен Е'(фн) такаЯ, что дп,=1 и )~д,(~ (а '(~1За (а '(~) ~!'. Таким образом, последовательность д, А)т, ограничена в Е',(фп„.), так как 1!дь!~,<~1!йь~.

Из нее можно выделить подпоследовательность д', слабо сходящуюся в этом пространстве (см. Иосида, стр, 180); это значит, что для любого о ен Ез~ (фпэ) предел 1(о) = 1пп (д', о) существует. Линейный функционал о-~1(о) ь -э ограничен и потому представим некоторым элементом 8~ЕЕ(фпэ), т. е. 1(о) (и, и),.

Так как ддь=1 и (д, Т''и),= 1ип (ды Т''и), = Ц, й)„то дую =1, а так как Е'(феи)~Е'(ф„,), если р>т, то д~ПЕ',(ф„,). Наконец, из того, что ~18~1,= зпр ~(д, о),~( У 1а1=~ ((=~1) ~1, мы получаем 1 р'а х ~18~1з= 1пп 1)ш ~ !81зе ' д$/( 1ип ~~8~1а~(а 'з)1г, А+в Р+ Р+ и„ т. е. д ЕЕЕ,(е ~, Р), и первая часть теоремы доказана. Если область Р ограничена, то мы можем считать, что Оен Р, и в качестве р взять а~ а 1'. Для найденного выше д получаем е 'д' ~ | я'гсй':и ~1д1'е яд*г'я'а ' )г ~1'где'. Функция а еад достигает минимума по а при а=д ', и мы получаем оптимальную оценку за 11ы,р,( )~ еД ~11!1,,Пи в 3 а м е ч а н и е.

Последовательность и' е мь элементов Е~ (е ч) ь Д ортогональна к Л'г в этом пространстве и тоже слабо сходится к я. Поэтому д принадлежит ортогональному дополнению к Мг, МЕРОМОРФНЫЕ ФУНК[и[И П ПРОВЛГМЫ КУЗЕНА [ГЛ. [Ч н этим условием форма д определена однозначно. Как и в лемме 1, линейный оператор у-+д, обратный к д и решающий ! д-проблему, ограничен; его норма не превосходит = .

Наконец, 1 а если е Р=[р удовлетворяет условию (9), то ден йт", т. е. д = Т'!г для некоторой формы йенЕ'„„(ф, О). П1. Гладкость решения. Пусть правая часть (2) принадлежит С (О); мы хотим найти решение и, тоже принадлежащее С (О). Сначала мы индукцией по а будем доказывать существование у специально подобранного решения всех производных О порядка и, которые принадлежат Е на компактных подмножествах О; это свойство мы будем записывать так: О д е= Е (О, 1ос), а = 1, 2, ... (15) Л ем м а 3, Если функция ш ~ЕЗ(С") имеет компактный г А дю носитель ') и если дю ен Е[(С"), то —, й= 1, ..., и, тоже придгг ' надлежат Ег(С'). м Пусть область О содержит носитель ш и и[,— последовательность усреднений (1О'). Так как ,~ д д " „~'д и == (=), если носитель ю содержится в О„то последодшт ! дм'1 дга ( дга]„' вательность ', у=1, 2, ..., сходится в Ег(С"). В самом дг деле так как [1= [ — = в Е (С ) при у- оо ь сдш'[ дш '1 дг ) дг„ Случай д=О.

Подберем функцию [р~С'(О) так, чтобы Н(р, ю))а) ю)г, ю енС", для некоторой константы а)О, и воспользуемся теоремой ! . ЕсЛи А — произвольная функция из Со,(О), то д[д = Ц+ ддХ ~ Ег(С"), поэтому согласно лемме 3 все О[ЛценЕг(С").

Так как в Ег(С") порядок дифференцирования не влияет на результат, то это рассуждение можно применить к О ![[1 и получить, что О 'Хд шЕ. (С") и т. д. Значит, для О Носителем функции илн формы называетсн наименьшее замкнутое множество, вне которого оиа равна нулю. 477 ПРимГнеиия з а! любого а функция Оа суммируема с квадратом на каждом компакте, где Л ~ О. Ввиду произвольности Л это и есть свойство (15). Случай д)О. Воспользуемся тем, что в равенстве (12) форма й ~ Со (О) и потому зР можно взять равной ! на носителе й, Равенство принимает вид ,т/ !~да/Ц =Ядами +!!даД, оз~ Со (С"), (!2') / о и ~т/ у да где норма берется в Е (С ) и Оа= — х ~ .

/(г/. Заменяя дзо / о а на О а, мы получаем, что 2"„' ~! дО'а, !!' = ~! О"Оа (~'+ !! О'доз ~~'. (17) Это равенство справедливо для любой формы а, у которой О'Оа и О'дванов (С"); для таких форм существование дО'в, вытекает из (17). Подберем зр ен С (О) так, чтобы для нее выполнялось условие теоремы 1, а для зР=е Я вЂ” условие (9). Рещение у)завиения (2) возьмем в пространстве /сг', зто значит, что й' = Т Ь для некоторой // ен Еоа (ф). Так как д)~ 1, то можно определить оператор Н, сопряженный оператору д: Е, ~-ьЕо, .его явный вид задается формулой (8). Так как Н*Т'=О (ввиду равенств йо//= — Ьа,) и д = Т*Ь, то д сн Он* и Ной = О. Позтому для О(Лп), где Лен Со (О), мы получаем следующее выражение: О (Лд) = Н* (Лп) — зт ~~)~~ Лд„— ~ дй/ = / о — с~и~ ~~и~к./(д +Л З ! /(й/.

Таким образом, если д ен О (О, !ос), то О(Лд) ен Т. (С"). Так как д(Лд) =дЛ Л д+ Л!' и Л!" ен Со (С"), то из О дяде (О, 1ос) следует, что О"д(Лд)она (С), а тогда ввиду (17) дО"Лд/ен он 7. (С") для всех У. Согласно лемме 3 все О" Щ/) ~7. (С ). Так как Лп~/'.о(С"), то мы доказали по индукции, что О и/ для лзобых 7 суммируемы с квадратом на каждом компакте, где Л Ж О. Ввиду произвольности Лен Со (О) это и есть свойство (15), МГРОМОРФНЫЕ ФУНКЦНН И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА [гл.

Ру 478 Согласно лемме Соболева о вложении') всякая форма, удовлетворяющая (15), совпадает в ьи с некоторой формой класса С Таким образом, доказав (16) для специально подобранных решений у, мы доказали следующую теорему, которая и решает д-проблему: Теорема 2 (Хермандер). Если область 0 псевдо- выпукла, то уравнение ду =[" имеет решение д енС (О) бистепени (О, д) для всякой формы )~С (О) бистепени (О, а+1) такой, что д[= О. Для д = О всякое решение обладает этим свойством.

Эта теорема справедлива и для областей на многообразиях Штейна, причем для форм любой бистепени ()з, д); доказательство можно найти в книге Хермандера, цнт. на стр. 463. Замечание 1. Как видно из доказательства, мы брали у еп йт . Согласно лемме 1 этим условием форма у определена однозначно н ова линейно зависит от 1. Используя более сильную лемму Соболева о непрерывности вложения, мы получаем, что оператор 1- д, обратный д, непрерывсн в следу[ощем смысле: Для любого компакта К ~ 0 и любого а э О найдутся (1~) а, постоянная с„(К) и компакт К'с: 0 такие, что [и ах ~ Р д ) ~( с, (К) [и ах ~ ! 0 ) ), К К' где ! а Р = ~~ ~ а, !в. 3 а м е ч а н и е 2. Так как всякая область голоморфностп является псевдовыпуклой (п.

26), то теорема 11, сформулированная в начале параграфа, является следствием теоремы 2. В заключение приведем решение проблемы Леви, которая связывает локальные и глобальные свойства областей голоморфности (см. п. 24). Как мы убедились в п. 26, для решения этой проблемы нужно доказать, что любая псевдовыпуклая область является областью голоморфности; на основании теоремы 2 это вытекает из следующей теоремы: Т е о р е м а 3 (Х е р м а н д е р). Пусть 0 — область в С" такая, что уравнение да = Я имеет решение а ~ С (О) бистепени (О, у) для всякой формы й~ С (О) бистепени (О, у+1) такой, что д12= О.

Тогда 0 является областью голоморфности, < Мы будем доказывать это индукцией по и. При и — 1 утверждение тривиально, ибо любая плоская область является ') См., например, К. И осиян, нит. выше, стр. 242. пРименения 479 4 !и областью голоморфности; предположим, что оно справедливо для областей из С" '. ))ам нужно доказать, что для любого шара В с: Р, граница которого содержит хотя бы одну точку ь ~ д0, найдется функция г'енН(0), не продолжаемая голоморфно в точку Ь.

Характеристики

Список файлов книги