Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 86
Текст из файла (страница 86)
набор сечений Г(У, 6) = Н(У). Гомоморфизмами рцу здесь служат естественные отображения вложения кольца Н(У) в Н($'), которые каждой функции )енн(У) относят ее сужение 11у иа множество )г с: У (условие транзитивности при этом, очевидно, выполняется). Описанное выше построение пучка 6, по существу, можно рассматривать как процесс локализации, приводящий к 6 от этого предпучка. Аналогичный процесс локализации, приводящий от пред- пучков к пучкам, можно провести и в обтцем случае, Это делается при помощи так называемого топологического предела.
Пусть дан некоторый предпучок (Уц) над топологическим ') Пусть ланы й е<ы~ыц, где У вЂ” область. Фиксируем точку Р!ы о' и обозначим ! =1, Е = д; так как $, дгвз', то определен элемент Ь = 4+ я!ЕУ' . Р Ьп Р Обрашеине а в точке Ь ивляется сечением в некоторой окрестности Р, и нетрудно видеть, что оно продолжается иа о' до сечения Ь!ы Рц, Мы полагаем ! + е - а; в пап!их условиях легко доказать, что это определение не зависит от выбора точки Р !и гг'. 449 МЕТОДЫ ТЕОРНИ ПУЧКОВ 4 Ш пространством Х. Для каждой точки Р ееХ мы рассмотрим базу чг"р окрестностей этой точки; семейство тгр частично упорядочено отношением вложения. Назовем два элемента )гт и и, принадлежащие соответственно 6'и и ах'У, эквивалентными в точке Р, если существует окрестность тР'бей'Р такая, что )р" с: (.гП )т и (6) Рив (тгв) = РРЧ (А).
Множество классов эквивалентности по этому отношению называется гопологическим пределом и обозначается символом В множестве т5'р естественным образом вводится структура, заданная в РУШ Покажем тепеРь, что Ц ах"р =РУ можно РассматРивать как Р Х пучок над пространством Х. Проекция Ос РУ- Х определяется просто как отображение ..Ур-+Р. Далее, для каждой окрестности (т' ее тг р можно построить отображение рОР. 'ар'О- РУР, которое сопоставляет каждому элементу ~еиаУгт класс эквивалентности гренахР, содержащий этот элемент (отображенис рпр можно рассматривать как гомоморфизм соответствующих алгебраических структур).
При помощи построенных отображений мы для каждого элемента тенФ'р и окрестности (уенй'р определим множество Набор тг'=(От) для всех тенауа и всех (т' из базы открытых множеств Х можно принять в качестве такой же базы для ТОПОЛОГИИ В аУР. ЧтОбЫ убЕдИтЬСя В ЭТОМ, дОСтатОЧНО дОКаЗатЬ, что если Оь )та ~ Й' и П = О, () )та Ф Я, то для каждого элемента преп П в тг" найдется Ц, с П. По построению Рг:. 0 () )г и "Р = РОР(1) = РУР(к) где 1 и д соответственно пРинадлежат аэар и а~РР.
По определению топологического предела существует открытое множество ))тс: (У П )', содержащее точку Р и такое, что ртду(1) =р„,ч,(й); полагая й = ров (г), мы получаем элемент абати, и тогда искомой окрестностью )у'л будет Ц рв'О(Ь). Наконец, О~и очевидно, что в построенной топологии проекция О локально гомеоморфна, а алгебраические операции непрерывны. 29 В. В. Шабат 450 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА [ГЛ. !У рг Ц ол(Р Р М (8) можно рассматривать как пучок полей. 3. Пучок еУ ~Р' ч~ ростков дифференциальных форм бистепени (р, в) пад комплексным многообразием М действительной размерности 2п можно определить следующим образом.
Фиксируем точку РЕЕМ и рассмотрим совокупность дифференциальных форм, каждая из которых в некоторой окрестности с[РоМ представляется в локальных координатах е (хн ..., Еа), ') Агокааательство см. в книге: Р. Гак иииг и Х, Росси, Аиалитические функции нескольких комплексных переменных, «Мир», М., [969, гл. [Ч, раздел А, лемма 3, Замечание. Мы обозначаем одним символом арац кольцо некоторого предпучка, ассоциированное с открытым множе- СтВОМ С[С:Х, И СОВОКУПНОСТЬ СЕЧЕНИЙ НаД С[ ПУЧКа ара, КОТО- рый получается в пределе из этого предпучка.
Дело в том, что при достаточно общих предположениях эти кольца изоморфны') и нет опасности их смешать. П римеры. Символом тс мы всюду будем обозначать базу открытых множеств пространства, над которым рассматриваются пучки и предпучки. 1. Пучок 6 ростков голоморфных функций над комплексно аналитическим многообразием М и соответствующий ему пред- пучок (6ц) функций, голоморфных на множествах Ренте', мы уже рассматривали. Множество 6ц — — Г(У, 6) является также множеством сечений пучка 6 над [[. 2. Предпучок (оосц) функций, мероморфных на множествах [г'~те', был определен в начале этой главы.
Его можно рассматривать как предпучок полей, причем гомоморфизмами рцу. оо[ц-+оЖу, как и в предыдущем примере, являются сужения (они определены, если [ге: У). Пучок ога, который получается локализацией этого предпучка, называется пучком ростков мероморфных функций. Последний можно определить и независимо от предпучка, если ввести для каждой точки Р~М стебель оо[р как поле отношений в кольце 6р. Под этим понимается следующее: упорядоченные пары (1, д) и (Г, я') ростков из 6р (где я, я'Ф 0) считаются эквивалентными, если $й' $'я; классы эквивалентности(они называются отношениями) обозначаются символом гп =1(й и объявляются ростками мероморфных функций.
Так как 6р — коммутативное кольцо с единицей и без делителей нуля, то ростки (отиошения) т образуют коммутативное поле угар. Объединение $!н МГТОДЫ ТЕОРИИ ПУЧКОВ 45! й=(2„..., 3„), действующих в ((р, в виде Х ~(з ((зг Л сЫУ !,г (9) ст (Л Ф ! ! (Р Р) кл Рмн (1О) мы будем рассматривать как пучок групп.
Топология и проекция в нем вводятся точно так же, как в пучке 6. В частности, оУ ' =еУ представляет собой пучок ростков (О, О1 функций из С (М). Можно рассматривать также предпучок, соответствующий пучку еУ (' "', который состоит из совокупностей Л Р'", (у~я~, форм бистепени (Р, (1), принадлежащих С ((г). Гомоморфизмами р((у здесь по-прежнему служат сужения. 4. Постоянно(е пучки У„(к, С. Пусть каждой точке Ре=М соответствует один и тот же обьект, скажем кольцо целых чисел У.. Тогда мы будем говорить, что над М задан постоянный пучок, и будем обозначать его тем же символом, что н этот объект (в нашем случае — символом к.).
Сечением такого пучка над связной окрестностью с('с:. М служит набор функций, каждая из которых постоянна в У (в нашем случае — целочисленная постоявная). 35. Группы когомологий. Начнем с определения этих групп для покрытий. Как мы сейчас увидим, это определение обобщает определение, которое было дано в п. 31 при изучении аддитнвной проблемы Кузена. Пусть Х вЂ” топологичсское пространство и над ним задан пучок абелевых групп еуе. Рассмотрим открытое покрытие й'=(((',), аенА, пространства Х н для любого целого числа р)0 построим мультииндекс а = (ас...„ал)~ ') Разумеется, сумма ростков м+ еу определяется как росток, соответствующий сумме от+ и', где ез(вез я оз'!и е'.
где 1=(1„..., (Р) У=01 ° 14) 1~(гр, 1,(п, а коэффициенты ~ы — функции из С ((1Р), кососимметрическис по индексам. Две такие формы, (9) и оз'= ~~'.;)1„((г( Л с(г,, будем считать эквивалентными, если существует окрестность точки Р, в которой для всех (', г', Классы эквивалентности по этому отношению назовем ростками форм бистепени (р, (1) в точке Р. Совокупность таких ростков обозначим через У р"' е и будем рассматривать как абелеву группу относительно покоэффициентного сложения '), Объединение МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКГПП! И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕПА [гл гу 452 ~АР" =Л Х ...
Х А; символом (!« = ()«П ° ° ° П (!« обозначим пересечение множеств покрытия. О п р е д е л е н и е ! . Ко!(еп вю порядка р с коэффициентами в пучке 9«для данного покрытия 42' мы будем называть функРз! цию й, которая каждому мультииндексу а ен ЛР относит неко- тароЕ СЕЧЕНИЕ Ь« ЕН «9«и« = Г(с)«, «г ) ПуЧКа «9' Над (т«, И ПрИтОМ так, что й, является кососимметрической функцией индексов а,, ..., а, составляющих а. Если С«пусто, то мы будем считать, что Ь,=О. Множество всех коцепей порядка р с коэффициентами в «9' образует набор групп, который мы обозначим С (а, у').
Определим теперь когроничный оператор 6, который каждой копепи й порядка р относит коцепь 66 порядка р+ 1 по правилу р-!- ! !)« ..« ~ ( ) "з" "«~+г (2) !=о (справа индекс а, опускается). Отображение 6: С" (й', «9«)-ьСР' («2', «У), (3) очевидно, является гомоморфизмом соответствующих групп коцспсй. Частнымн случаями кограничного оператора для пучка форм,9 ' ч' являются операторы дифференцирования й (по всем переменным и, й) и д (по переменным й).
Как и для этих операторов (см. п. 13), в общем случае доказывается, что квадрат оператора 6 равен О: 6 ° 6=0, (4) Определение. 2. КО!(милом порядка р называется коцепь 6, для которой 6)! = О; совокупность 2 (Ю, Ж = (й С Е', «9«)! 6)! = О) (5) называется группой ') кочиклов (с коэффициентами в «9'). Коцикл 6 е= СР называется когомологичным нулю или кограниг(ей, если существует коцепь й ~ СР такая, что 6д = )з; группу таких коциклов мы будем обозначать символом ВР(тг, йР). ') Конечно, хл(и, Р), наи и вводимые ниже аналогичные объекты, является не группой, а наборои групп РР ((У«, л'), а ~ А; мы называем р+1 ил просто группами, чтобы не усложнять и без того громоздкой териинологии, МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПУЧКОВ 453 з и! Она является подгруппой группы (6), и факторгруппа (6) и М, «5Р) = Х (К О)~ВРт, Ю называется р-й группой когомологий (с коэффициентами в «х) для покрытия й'.
В частном случае р = 1 коцепн (и...,) определены на пересечениях У..«, множеств покрытия так, что й,,„+й«,«,=О (кососнмметричность по индексам). Кограничный оператор переводит их в коцепи порядка 2 такие, что (бй)«,«,«,= й«,«,— Й«,«,+ +Ь«.«, в (У«««, Поэтому коциклами будут такие коцепи, для которых еще й««ь+и«,«,+й«УЧ=О.
Кограницей коцепи (и«) порядка 0 является коцепь (бй)„, = и, — и„, следовательно, когомологичиымн коциклами первого порядка будут те, для которых й«„«, = й«, — и«,, Мы видим, что введенная здесь терминология при р=! совпадает с той, которую мы рассматривали в п. 31, а определенная там группа когомологий есть группа Н'(й', 6). Рассмотрим еще группу когомологий нулевого порядка. Коциклами, как показано вьппе, будут коцепи (й„), для которых й„, — й„, = 0 в каждом пересечении 11...,. Следовательно, каждый коцикл и нулевого порядка определяет сечение пучка 6' над всем пространством Х, т. е. глобальное сечение — элемент группы Г(Х, «у«), сужение которого на каждое (у'„совпадает с и„.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
