Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 81
Текст из файла (страница 81)
доказательство в случае пространства (з" предоставляется читателю ы Т е о р е и а 2. Рациональная функция 1, существенно зависящая от п)~2 комплексных переменных, имеет хотя бы одну точку неопределенности в С". м Если 1' многочлеи, то он имеет хотя бы одну точку неопределенности в бесконечности. В самом деле, мы можем считать, что (0) и — (0)ФЕО и что коэффициент при стар- . д( д) д., два шей степени г, равен 1 (это можно сделать линейной заменой координат). Многочлен дь(е,) ~(гм а„О, ..., 0) — Ь, где Ь еп С, при больших а, имеет большие коэффициенты. Из теоремы Виета следует, что у него должен быть хотя бы один большой по модулю корень а,(Ь). По последовательности (а~ (Ь), ав ЕВ Рв О, ..., 0), сходящейся к точке (со, со, О, ..., 0), многочлен 1 стремится к пределу Ь; так как Ь можно выбирать произвольно, то (о, с, О...,, 0)-точка неопределенности ).
Остается рассмотреть случай 1= —, где Р и д — взаимно простые многор Ч лйб МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА )гл, ш члены не ниже первой степени. В этом случае точками неопределенности будут репгения системы уравнений р = О, г) = О, а в случае гг ) 2 эта система непременно имеет конечные или бесконечные решения в В некоторых вопросах удобнее пользоваться другим определением мероморфной функции, в котором полярное множество заранее не фиксируется. Более того, в этом новом определении функция ие предполагается заданной в целом во всей области, а характеризуется лишь ее локальнымп свойствами. Описательно говоря, под мероморфной здесь понимается функция, которая локально представляется как отношение двух голоморфных функций, причем такие локальные представления в пересекающихся областях должны быть согласованы между собой так, чтобы в совокупности они образовывали «единую» функцию.
Особое преимущество это определение имеет при изучении функций на многообразиях, поэтому мы и рассмотрим сразу этот случай '). Пусть дано комплексно аналитическое многообразие М и область 0 на нем. Рассмотрим произвольное открытое покрытие гс' = (О,) этой области (О, с: 0 — открытые множества, объединение которых совпадает с 0, индекс а пробегает некоторое множество А) и семейство троек )„=(У„гр„, ф,), аеиА, где гр, и зр,— функции, голоморфныс в 0«, причем ни одна ф„чь О.
Кроме того, .лы предположим, что выполняется следующее условие согласованности: если Уа, П 0а, Ф Я, то в этом пересечении (2) гра,згга гра,з(гаг Множество всех семейств (Ц, удовлетворяющих в 0 описанным условиям, мы обозначим через Я(0). Наряду с (Ц, а еи А, рассмотрим еще семейство троек ар=(0р, грр, тра), р~ В, из н)г(0). Объединением этих семейств мы будем называть семейство всех троек, принадлежащих (Ц или (д ), Два семейства (Ц и (д ) из И(0) мы назовем зквивалентнымгг, если их объединение также принадлежит % (О).
Очевидно, что в этом определении существенно лишь требование, чтобы любые две тройки из объединения (Ц с (и ) удовлетворяли условию согласованности. Проверим, что принятое определение эквивалентности удовлетворяет обычным аксиомам. Рефлексивность и симмет- ') Определение, о котором мы сейчас говорим, еще ие полностью локалнзовано, оио имеет «предпучковый»' характер (смысл»того термина скоро выяснится).
В дальнейшем мы приведем еще вполне локализованный его «пучковый» вариант, 427 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ $10) ричность очевидны, а для проверки аксиомы транзитивности достаточно проверить, что если (Ц вЂ” (я ) и (йа)-(йт), то для объединения ()„) и (пт) выполняется условие согласованности. Возьмем произвольные тройки 4=(У,, ~р,, ф,) и и =(У", ~р", ф") для которых У,П У';Фо, и выберем д =(У', ~р', тр') так, чтобы Ь= У„П У„'П У" ~ Я (это возможна, так как () У'=1)).
В силу (2) длЯ объединений (Р'„» с (д» и»йр» с»)г„» на Л имеем Ц,ф;, =— откУда (в силУ УсловиЯ зр; Ф О) слеДУет, что ~Р,ф" = — зРоР" '). О и р е де л е н и е 2. Мероморфной функцией в области Р, принадлежащей комплексно аналитическому многообразию М, мы будем называть любой класс эквивалентности Р на множестве %(Р). Иными словами, мероморфная функция — это совокупность семейств троек (Ценй)ь(г)) таких, что любые две тройки из этой совокупности связаны условием согласованности (2).
Если мероморфная функция Р задана в области Р . М, то в силу условия (2) в окрестности каждой точки РгнР отношение Ф" одинаково для всех троек (у„, гр„ф,) = )", любого 1ра семейства (Ц, представляющего класс Р. В этом смысле и можно говорить, что мероморфная функция локально представляется как отношение двух голоморфных функций. По отношению к мероморфной функпнн Р точки области й можно разбить на два типа.
Будем говорить, что Р определена в точке Р ен О, если существует тройка ),= (У„ гр„ ф„), принадлежащая к какому-либо семейству (Ц, которое представляет Р, и такая, что Р ~ У„а ~р„и ф, не обращаются в точке Р одновременно в нуль. Каждой точке Р, в которой мероморфная функция) определена, она ставит в соответствие значение Р(Р) = , — конечное, если ф„(Р) 4= О, н бесконеч%о (р) зра (~) нос, если зр„(Р) = О. Это значение, очевидно, не зависит ни от выбора представителя (Ц класса эквивалентности Р, ни от выбора тройки из семейства (Ц, т. е. определяется рассматриваемой мероморфной функцией. Множество точек, в которых ) определена, очевидно, открыто.
Точки области Т), в которых мероморфная функция )', заданная в с), не определена, образуют множество неопределенности этой функции. ') Если не избегать деления, то доказательство становится совсем три- / / // а %а Фа Фа Фт 'Ра виальимм: из — - —, и —,= — „следует, что — = — „. зра зра зЬ зрт зре зрт 42В МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКПНИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА 1ГЛ. ГУ Покажем, как можно определить действия над мероморфными функциями.
Пусть в области 0 ~ М заданы две мероморфные функции 1 и д и семейства троек (4), (д ) ~%(В) соответственно представляют эти функции. Рассмотрйм семейство всех троек гг„=(0„, ~рт, гр„), у енг, Ц (гт = гг, для котот г рых существуют 1, = (сг',, аг'„ф;) ~ (1',) и д =(сг", ~р",, Зри)ен ~д„) такие, что 0 с: (У'„Д (,гав и в сг спРавеДливы соотношениЯ' ) ч, — = р.'фи+ ф'.ч,", ф„= ф;фа'. (3) гр = ср ф11 'чг = К")гр.
Пусть 1 — мероморфная в г) функция, не равная тождественно нулю. Из теоремы единственности следует, что тогда для любой тройки 1„=(сг„, вг„, ф„) из семейства (1„), представляющего класс 1, функция гр„чаО в сг',. Поэтому семейство (е„), состоящее из троек (У„гр„, гр„), которые получаются из 1, перестановкой гр, и ф„, также принадлежит %(11). Класс эквивалентности на з)1(0), содержащий (д„), мы назовем мероморф- 1 1 ной функцией —; очевидно, произведение ) — дает мероморфную функцию, тождественно равную 1.
'1астное двух мероморфных в В функций 1 и д ФЬ О мы определим как про- 1 изведение ( ° — . е Нетрудно убедиться в том, что совокупность функций, мероморфпых в области В, с определенными выше действиями образует (коммутативное) поле. Очевидно также, что при действиях над мероморфиыми функциями их значения подвергаются тем же действиям: имеем (1+у)(Р)=((Р)+й(Р), ~д(Р) =ЯР)д(Р), а '] Соотношения (3) выражают, что — = —, Фт Фа грт фо определены обе функции 1 и а.
и Фа + — во всех точках, где в Нетрудно проверить, что (Йт) ~%(й) — условие согласованности проверяется простой выкладкой, а остальные условия очевидны. Класс эквивалентности /г на Я(гэ), содержащий построенное семейство (Ь ), и называется суммой мероморфных функций 1 и д (обозначение обычное: й =~+у). Аналогично определяется ггроизведение 6=1д, только (3) нужно теперь заменить соотношениями МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКПИИ 429 з ш] 1 1 — (Р) ~ — во всякой точке Реп)), где определены функ= )(р) ции ~ и д.
31. Первая проблема Кузена. Естественно возникает проблема построения глобально определенной во всей области мероморфной функции )". по локально заданным ее «главным частям», т. е. мероморфным функциям, локально отличающимся от 1' на голоморфные функции. Приведем общую постановку этой проблемы. П ро блем а Кузена ! (аддити ни а я). Дана область В, принадлежащая аналитическому многообразию !И, а также открытое покрытие й'=(У,)„л этой области. В каждом ()« задана мероморфная функция )", так, что выполняется следующее у с л о в и е с о г л а с о в а и н о с т и: В любом пересечении У«э=У«й ()З разность 1« — )З лвляетсл еоломорфной функцией.
Требуется построить мероморфную в с) функцию 1 так, чтобы в каждом У, разность ) — 1, была голоморфной. Пусть, в частности, () — плоская область; зададимся последовательностью точек а,~ В, ие имеющей предельных точек еп кч сь в (), и последовательностью главных частей д,(з) = ь=! (л — а»)л Для любого открытого покрытия (О,) области В обозначим через 1„сумму д, по всем точкам а,~ (у,!); если же (), не содержит точек а„мы положим )„= О. Условие согласованности при этом, очевидно, выполняется. Проблема Кузена с этими данными сводится„следовательно, к задаче построения мероморфиой в области В функции с заданными полюсами и главными частями.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
