Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 78
Текст из файла (страница 78)
м Для любой точки Р еи 0 обозначим через ар(Р) =А совокупность точки а = п(Р) ~ С" и голоморфной функции ~, (г) (разложения в ряд Тейлора с центром в а функции ( ° и '(г)). Пусть у(ьт) — образ области тл при построенном отображении; так как ф непрерывно, а В связно, то ~р(0) ~Я»-связной компоненте Я. По построению и= рва ф и ~=~ьа<р, так что (8) имеет место ь Теперь мы хотим ввести понятие многолистных областей голоморфности. Определим их как области над С", в которых сушествует голоморфпая функция, не расширяемая на области, неэквивалентные данной. Иными словами, примем такое !гл. Из АнАлитическОВ птодолжение 4!4 Определение.
Область наложения ((т, н) называется областью голомор4тности, если существует функция 1ее Н(0), обладающая следующим свойством: из того, что некоторая область (Р„п!)~(О, и) и функция )! еи Н(Р1) является ф-расширением функции ), следует, что (Ои н!) эквивалентна (т1,п) (т. е. что ф взаимно однозначно отображает О иа Р,). В этом определении, по существу, используется, что эквивалентность областей наложения сводится к голоморфной эквивалентности, и постулируется инвариантность областей голоморфности при биголоморфных отображениях (для однолистных областей голоморфности это свойство было доказано в и. 22).
Важные примеры многолистных областей голоморфности представляют максимальные связные компоненты риманова многообразия (Я, «). Для доказательства нам понадобится Лемма. Если отображение вложения ф области (1:1, и) над О" в себя имеет хотя бы одну неподвижную танку, то оно тождественно. ~ Множество всех неподвижных точек отображения ф замкнуто (ибо ф — непрерывное отображение хаусдорфова пространства в себя) и по условию непусто. Покажем, что оно открыто. Пусть Рь — неподвижная точка ф н О = О(Р,, г) — поликруг иа (Р, и). Обозначим )т = 0 Пф !(О); это — открытое множество на АЗ (в силу непрерывности ф), содержащее Р„причем проекция и гомеоморфна на )т. По определению ф-вложения на 0 имеем я(Р)=п ° ф(Р), а так как на )т отображение я гомеоморфно, то отсюда следует, что ф(Р) =Р при Р ен )т, т. е. все точки из )т неподвижные.
Итак, множество неподвижных точек отображения ф непусто и одновременно замкнуто и открыто; так как 0 связно, то это множество совпадает с (т ь Теорема 2. Любая область (Я, «ь) риманова многообразия (Я, «), где Яь — максимальная связная компонента Я, является областью голоморфности. ~ Функция ге=) ( голоморфна на (Яь, «ь) и (Яь, «ь) с:.
(С1, и), ч причем функция ), голоморфна на ((т, л) и 1, )~ =1ь; надо показать, что в этой ситуации ф является взаимно однозначным отображением Я, на О. Так как 1! Ее Н(0), то по теореме ! существует ф-вложение ((т, н) в многообразие (Я, «), для которого ! )о =)!. По построению этого ф-вложения для А ы Яь ь имеем ф ° ф (А) = А и ф о ф !ф (А)) = ф (ф О ф(А)) = ф(А), следовательно, отображение файф имеет в Р неподвижные точки.
По лемме ф'ф(Р) = — Р всюду в 1). откуда видно, что ф взаимно однозначно отображает Яь на Ю !ь ОБОлОчки ГолОмОРФиости Чтобы сформулировать необходимые и достаточные условия для областей голоморфности над ( , условимся называть об- ласть (О, и) голоморфно отделимой, если для любых двух различных точек ЄРе0 найдется функция (еН(0), разделя- ющая зти точки, т. е. такая, что ) (Р,)чь~(Рз). Для однолистных областей условие голоморфной отдели- мости выполняется автоматически, ибо в качестве разделя- ющей функции всегда можно взять одну из координат.
Для многолистных областей зто не так: вот соответствующий при- мер. Пусть Г=(!г, )=1, (г, ) =1) — тор в ч..си Во=Сз~Г; возьмем область ()'.), И) !гг! над ч,'з, диаграмма Рейнхарта которой изображена на рис. 112. Эта диаграмма представляет собой лежащую над первым квадрантом плоскости ь =(и, !+1!гз) часть двулистной римановой поверхности 7( функции )г ь — (1+ 1) с точками ветвления над ь 1+1 и ~=со. !гг! Рассмотрим произвольную функцию 1, голоморфиую на (1), и). Ее значения на любом из двух «листов» (О, и) голоморфны вне шара (!г ~~~')г2 ), ибо многообразие ветвления (тор Г) лежит на сфере (!г! ')/2 ), и- вне шара область не разветвлена.
По теореме Осгуда — Брауна (п. !8) эти значения продолжаются до целых функций, а так как на Гони должны совпадать, то они совпадают тождественно (см. задачу 1б к гл. 1). Таким образом, значения ) в точках различных листов обла- сти (О, я), лежащих над одной точкой (г„г,), должны совпа- дать: точки ()'.), Л) с одинаковой проекцией не отделимы голо- морфно.
Теорема 3 (Картав — Тул лен). Область наложения (О, и) тогда и только тогда является Областью голоморфности, когда она голоморфно выпукла ') и голоморфно Отделима. Мы не будем подробно излагать доказательство, опишем лишь изменения, которые нужно внести в многолистном случае. м Необходимость. Доказательство теоремы об одно- временном продолжении (п. 21) без существенных изменений Рис, 1!й ') Определение голоморфной выпуклости переносится на многолистные области без изменений. Например, его можно сформулировать в виде условия р(К, б))) р(К б0), где К-произвольное компактное подмножество 11, а Кн-его оболочка относительно класса функций, юломорфных на (гг, я).
)гл. и! Аналитическое продолжение 4!6 переносится на многомерный случай '), а из этой теоремы вытекает голоморфная выпуклость области голоморфности (В, и). Для доказательства голоморфной отделимости возьмем на (В, я) функцию г, описанную в определении области голоморфности, и по теореме 1 построим соответствующее ей Ф-вложение (В, и) в риманово многообразие (Я, р). Из того же определения следует, что отображение гр взаимно однозначно, т. е.
что ф(Р,)Фф(Рз) для различных точек Ри Рз~В. Пусть ф.(Р,) = - Ач(у= 1, 2); из (8) и (7) имеем Г(Р,) = )о ° Ф(Рт) =уз(Л,), а так как Л,чьА„то из определения функции уз следует, что в точках Р, и Р, значения функции ! или какой-либо ее производной различны (в противном случае А, = Аз). Это и означает голоморфную отделимость (В, я). Достаточность. Пусть К,(у=1, 2, ...) — компактное исчерпывание области В (напомним, что В является многообразием, а по нашему ойределению в и. 9 каждое многообразие счетно исчерпываемо). Пользуясь голоморфной выпуклостью В, мы можем считать, что К, =(К,)н<ш.
Покроем дК, конечным числом поликругов и в пересечении каждого из них с В '~ К, возьмем по точке Р„(1 =1, ..., )зч); через 1„обозначим функцию из Н(В) такую, что ~и~(Рт!) =у, ))~ег))к„<2 ' ' и („(Рту) =О, )~~'. Функция ) = ~~~!~;~Н(В), и ) 1(Рт,к~. — 1. (9) Пользуясь голоморфной отделимостью, можно исправить функцию 1 так, чтобы она, оставаясь голоморфной в (В, я) и удовлетворяя неравенству (9), имела в любых двух различных точках Р, Р'~В с одинаковой проекцией п(Р') = п(Р) различные элементы (о том, как осуществить такое исправление, см. книгу Б. А. Фукса' ), стр. 193).
Покажем, что (В, я) является областью голоморфности (исправлснной) функции ). Пусть имеется Ф-расширение функции ) в область (В„п'); требуется доказать, что ф взаимно однозначно отображает В на В,. Если ф(Р') = ~р(Р), то согласно (5) п(Р') =я(Р), а согласно (7) )(Р') =Г(Р).
Отсюда по построению Г вытекает, что Р'= Р, т. е. Ф взаимно однозначно. Кроме того, Ф(В) = Ви ибо в противном случае область ф(В) ') Производные функции ) в точке Р~(уз, я) можно определить при помощи дифференцирования степенных рядов дли ! и ' (з). ') Б. А. Фукс, Введение в теорию аналитических функций многих комплексных переменных, Физматгиз, М., !962. Онолочки Голоморогтости 417 имела бы в О, граничную точку, а в этой точке функция 1, =1 ° гр в силу неравенств (9) не может быть голоморфной ь 3 а меч а н и е. К.
Ока доказал в 1953 г., что всякая голоморфно выпуклая область иад С" голоморфно отделима. Поэтому условия в теореме 3 не являются независимыми. Области наложения (О, и) над С", которые являются областями голоморфности, мы будем называть еще многообрпзггя.ии Штейна. Заметим, что обычно этот термин трактуется шире: многообразием Штейна называется любое комплексно аналитическое многообразие Х комплексной размерности п, обладающее следующими тремя свойствами: 1) Х голоморфно выпукло, 2) Х голоморфно отделимо, 3) для любой точки Р«Х существует и функций гт, голоморфных на Х, которые образуют локальные координаты в этой точке. 29.
Многолистные оболочки голоморфности. В заключение этой главы мы хотим описать процесс построения оболочек голоморфности для произвольных областей наложения (в частности, областей Рс:О"). Такая оболочка является областью голоморфности над 1;", в которую голоморфно продолжается (в смысле, принятом в предыдущем пункте) любая функция, голоморфная в данной области, Пример, который был приведен в начале главы, показывает, что задача построения оболочек голоморфности в классе однолнстных областей в общем случае неразрешима. Здесь мы покажем, что эта задача всегда разрешима в классе областей наложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
