Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Выпуклыми называются такие области 0 с:К", которые вместе с любыми точками х' и х" содержат также и все точки х = 1х'+(1 — 1)х", где 1~ (О, 1). Существует и эквивалентное ') определение: область .0 ~ И" называется выпуклой, если функция — )п е(х, д1)), где е(х, дВ)- евклидово расстояние точки х до границы области, является выпуклой в В. Мы придем к понятию псевдовыпуклой области, если вместо действительной структуры будем рассматривать комплексную: О п р е де лен не. Область 1) с: ('" называется псевдовыпуклой, если функция <р(г) = — !не(г, дВ), (1) где е(г, дО) — евклндово расстояние точки г до границы дВ, плюрнсубгармонична в 1).
Заметим прежде всего, что на плоскости (' любая область псевдовыпукла. В самом деле, для В 1.' утверждение тривиально (ибо здесь е(г, дВ) = оо). Для В =С ~(Д утверждение проверяется простым подсчетом (здесь — 1п е (г, д0) = = — 1п!г — Ь !). Если же граница области состоит более чем из одной точки, то функция — !п е (г, дй) = зпр (- 1п(г — ь!) с аэ и, следовательно, субгармоннчна, как верхняя огибающая субгармонических функций (см. теорему 4 п.
46 ч. 1; в этой теореме предполагается, что верхняя огибающая полунепрерывна сверху, но у нас е(г, дВ) непрерывна, ибо в силу неравенства треугольника она даже удовлетворяет условию Липшица, и не обращается в нуль ни в одной точке г ~ В). При и ) 1, как мы скоро убедимся, не всякая область псевдовыпукла: псевдовыпуклость оказывается эквивалентной выпуклости в смысле Леви. Для доказательства установим сначала важный вспомогательный результат. Т е о р е м а 1. Для любого ряда Хартогса 1(г) = ~~'., д„('г)(г„— а„)", (2) у„еи Н('Т)), функция у — !п)с('г), где Я вЂ” радиус Хартогса'), является плюрисубгармонической в области 'В. 1) Эквивалентность этого определения предыдущему следует иэ реэультатов1 которые будут установлены здесь и в п.
27. а) Напомним, что к('а) — что радиус сходимости степенного ряда при фиксированной точке 'э ~в ')Э. [гл. ~П АнАлитическОе пРОдОлжение 696 м Без ограничения общности положим а„= О; кроме того, для простоты письма будем опускать штрих в обозначении 'г, так что е = (аи ..., Е„,) еи х'" . а) Докажем, что функция Я(г) полунепрерывна снизу в области 'Р. Предполагая противное, допустим, что в какой-либо точке г" е='Р );((ее) ) )пп О(е) Пусть сначала Й (еэ) < ОО.
Тогда для достаточно малого е ) О существует последовательность точек г" ен 'Р такая, что ау-+ го и Я (еР) < Я (еО) (3) По определению радиуса Хартогса отсюда следует существование последовательности точек (е', г,'), !г„'!=Я(г'), в каждую из которых функция !", определяемая рядом (2), не продолжается голоморфно. В силу (3) последовательность (е„') ограничена, и из нее можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке г'„', ~г~ ~~()г(ге)-е. Точка (ге, е"„)-предельная для точек (г', г„'), в которые ) не продолжается голоморфно, следовательно, ~ не продолжается и в эту точку. Но по определению радиуса Хартогса ~ продолжается в любую точку (ге, г„), для которой ! г„! < Я (е").
Противоречие доказывает утверждение. Случай Й(е~)=ОО приводится к противоречию аналогично. б) Согласно а) функция Ч~ = — !П)г (г) полунепрерывна сверху в 'Р. Поэтому остается доказать, что сужение этой функции на любую аналитическую прямую г=1(Ц=ЕЕ-!-в9, где еенС" ', ееы'Р, является субгармонической функцией в окрестности точки ь О. Пусть это не так, тогда существует такая аналитическая прямая г ((Ь), что функция — !п)с а ((~) = и Я) (4) не субгармоннчна в окрестности ь = О. Тогда существует круг У ((ь!<г) и функция Ь, непрерывная в У и гармоническая в У, такая, что и(ь)<(Л(ь) на дУ, но в некоторой точке ~ееиУ Ь (ье) - и (ье) '= (п((Ь (ь) — и (ь)) = — е < О й (мы воспользовались тем, что полунепрерывная снизу функция Ь вЂ” и достигает своей нижней грани на компакте).
псввповыптклость 397 Обозначим через у(Ь) = — Ь(9) — е функцию, гармоническую в У и непрерывную в О; имеем д(ь) < — и(й) на дУ, д(ь)~ (— и(ь) в О, (5) у (ь ) = — и (ьо). По свойству радиуса Хартогса существует точка а„, ~ а„1 = = Д 1(ьо), в которую функция (2) при фиксированном г=1(ьо) не продолжается голоморфно.
Построим голоморфную в У функцию 6 Я) = д (9) + Ц (~) так, чтобы 6 Яо) совпадало с каким-нибудь значением 1па„(это можно сделать, ибо у нас д (ьо) = 1и Я о 1(ьо) =! и ~ а ~). Теперь выберем круг У'=(191< т') ~ У так, чтобы на дУ' было д (Ь) < — и (9) (это можно сделать в силу (5) и полунспрерывности сверху функции у+и), и рассмотрим семейство компактных в смысле и. 23 аналитических кривых 5х=((г, г„)спи": г=1(9), г,=Ле к', ьеп О').
(8) Для любого Л~(0, 1) кривая Ьхе==Р, где Р='Р Х (1г„~ < 1с(г)), ибо для всех (г, г„)еп 5„в силу (5) имеем )г„1(Ле-"© = = ЛД о1(Ь) = И(г). Далее, очевидно, что 5х- 5, и д5х- д5, при Л-э1 н что д5, ~ Р, ибо на дО' имеем строгое неравенство д(ь) < — и(ь), равносильное неравенству(г,~ < е-"ни=Я(г). Таким образом, применйм принппп непрерывности п.
23, по которому функция (2) голоморфно продолжается на 5,. Но 5, содержит точку (1(Ьо), а„), в которую, как мы видели, эта функция непродолжаема. Противоречие доказывает утверждение~ Связь доказанной теоремы с выпуклостью в смысле Леви выясняется следующим образом. Для произвольной области Р с: С" назовем радиусом Хартогса в точке го еп Р радиус Д(го) наибольшего круга с центром го, лежащего на пересечении Р с аналитической прямой 1„=(г оп С": 'г ='г", г„=ь): Д(го) е(го дР () 1ч) (7) Лемма.
Для любой 1:выпуклой области Рс:С" функция ф= — 1п /1(г), где Д(г) — радиус Хартогса Р в точке г, плюрисубгармонична в Р. мДля произвольной области Р с:С" радиус Хартогса Д(г) полунепрерывен снизу, а функция ср = — 1пД(г) полунепрерывна сверху в Р. В самом деле, пусть аеи(С1 и 1с(го) ) а; тогда круг К = (г еп С": 'г ='го, ~ г„— го ~ < а) ~ Р, и мы обозначим т =р(дК, дР) ) О.
Из рис. 108 ясно, что для любой точки АнАлитическое пРОдОлжение 398 !гл. Иг ген 0(го, г) имеем !т(г) >а. Таким образом, множество верхних значений (г~ Р: Я(г) > а) открыто для любого а ее К'. Остается доказать, что для Е-выпуклых областей сужение функции ~р= — 1п)л (г) на любую аналитическую прямую г = го+ !ог) где гоы Р, а~С", является субгармонической функцией в окрестности точки ь = О. Если 'в = 'О, т.' е.
! параллельна оси г„, то мы имеем ситуацию плоского случая'): й'(г),„= 1и! '1г„— г„'~, и, сле- и ьош довательно, функция — !и Я (г) !1 — — знр ) — 1и ) г„— г„' ~ ) г'~дэйя субгармонична, как полунепрерывная сверху верхняя огибающая субгармонических функций. Рис. !08. Если же 'еФ'О, т. е. 1„не парал- лельна оси г„, то мы должны повторить рассуждения, проведенные во второй части доказательства теоремы 1. Как и там, лредполагая, что функция — 1птт(г) 1~„не субгармонична, мы найдем точку а ен дР, для которой 'а = 'г'+ 'вь„~ а„— г'„~ = )г (г'+ ьльо), и построим семейство компактных аналитических кривых 5л )ге=О..г ~1(~) г го., ! Ок! ~~.(7) где '1(ь)='ге+'аЬ, а остальные обозначения те же, что в (6). При О ( Х < 1 кривые 5л ~ Р, а при Х-» 1 они сходятся к кривой 5И граница которой д5, и= =Р и которая содержит точку а ен дР (соответствующую значению параметра ь ьо).
Но это противоречит Р-выпуклости области Р ь Т е о р е м а 2. Любая выпуклая в смысле Леви область Р с: л," является псевдовыпуклой. м Функция в(г, дР) всегда конечна (кроме тривиального случая Р= С') и непрерывна, ибо в силу неравенства треугольника она удовлетворяет условию Лип!ница. Так как она положительна в Р, то и функция — 1п е(г, дР) непрерывна в Р.
Расеи!Отрим всевозможные аналитические повороты г»го+С(г го) (й) ') Ср. рассуждение перед теоремой ! Еа стр. 393. в в! псевдовыпиклость З99 где С=(с„,) — квадратная матрица а-го порядка, второй член справа понимается как произведение матрицы С на вектор г — г' и матрица такова, что евклидовы расстояния между любыми двумя точками С' при отображении (9) сохраняются. Таким поворотом направление любой аналитической прямой 1 =(ген!.:": г =го+ сод можно перевести в направление, параллельное оси г„. Обозначим через )с (го) величину радиуса Хартогса области Р, соответствующего направлению оп )( ( о) ( о дР()1 Мы имеем, очевидно, для любого ген Р е (г, дР) = !и! )с (г), где нижняя грань берется по всем векторам а~С", ! ш!=1 ° Если область Р-выпукла'), то по лемме для любого фиксированного от функция — 1п )с„(г) плюрисубгармоничпа, и, следовательно, функция — !пе(г, дР), как непрерывная верхняя огибающая плюрисубгармонических функций, также плюрнсубгармонична в Рь Т е о р е м а 3.
Любая псевдовыпуклая область Р с:. ! " является вьсарклой в смысле Леви. и Пусть, от противного, Р не является Р-выпуклой. Тогда найдется такая последовательность компактных аналитических поверхностей 5„что 5,-ь5, д5,-ьд5, причем 5„д5 ап Р, а 5 содержит точку 9 ондР. В силу непрерывности евклидова расстояния имеем е(5, дР) = 1!га е(5„дР). (10) С другой стороны, так как функция — 1пе(г, дР) плюрисубгармонична, то для нее справедлив принцип максимума (см.
следствие теоремы б предыдущего пункта), по которому для любого и=1, 2, ... — 1п е (5„дР) к- — 1п е (д5„дР). Отсюда е (5,„дР) ) е (д5„дР), а так как д5, д5 <ы. Р и д5,-ьд5, то е(д5„дР))б и, следовательно, е(5„дР))б для всех т и некоторого 6>0. Но тогда из (10) мы йолучаем, что е (5, дР) ) Ь, а это противоречит тому, что 5 содержит точку ~е-:дР ь Таким образом, понятия Ь-выпуклости и псевдовыпуклости действительно оказались эквивалентными. ') Легко видеть, что Ь-выпуклость не нарушается при аналитических поворотах (9), АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕЮ!Е !Гл. !и 4ОО В заключение этого параграфа приведем сводку условий, характеризующих области голоморфности в С".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
