Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Т е о р е и а 4. Эквивалентны следующие пять условий: (1) 0 — область голоморфности (т. е. существует функция ! Еи Н (О), не продолжаемая голоморфио в более широкую область, см. п. 20); (И) 0 не расширяема голоморфно в каждой грани !ной точке (т. е. для любой точки е ~ д0 существует окрестность Н и функция ) ~ Н (0 П У), не продолжаемая голомор фно в точку ~, см.
п. 24); (1И) 0 голол!орфно выпукла (т. е. для любого множества Н а 0 голомоРфно выпУклаЯ оболочка КТ! = (ген 0: (!(ЕИ ~(1~! гк для всех 1еи Н(0)) еп 0, см. п. 21); (1Ч) 0 псгвдовыпукла (т. е. функция — 1и е(г, д0) является плюрисубгармонической в О, см. п. 26); (Ч) 0 выпукла в смысле Леви (т. е. не существует последовательности компактных аналитических поверхностей 5 — 5, д5,— д5 таких, что 5„д5 еи 0, а 5 содержит точку ~ ЕЕ д0, см.
и. 24). ~ Выше были доказаны импликации, изображенные сплошными стрелками на схеме 1 ~..;..И Ю 1И 1Ч~. Ч (импликация (1)-~(И) тривиальна, импликации (!)~-(И1) составляют содержание теоремы 4 п. 21, (И) — ~(Ч) — теоремы 1 п. 24, (1Ч)<~(Ч) — теорем 2 и 3 этого пункта). Изображенная пунктирной стрелкой импликация (И)---~(1) составляет содержание теоремы Ока, решающей проблему Леви, о которой мы говорили в и. 24; эта теорема будет доказана в гл.!Ч.
П о льву я сь теоремой Ока, мы докажем сейчас, что (1Ч) — (1), и это замкнет цепочку эквивалентностей. Итак, пусть для некоторой области 0 с: С" функция ф(г) = — 1п е(г, д0) плюрисубгармонична в 0. По теореме 4 п. 25 построим последователю!ость функций ф„"„ф, плюрисубгармонических класса С в открытых множествах 6„, причем 0 образуют возрастающую последовательность, аппроксимирующую область 0 изнутри. Так как функция ф(г) — ОО при г-+д0, то для любого !А можно найти номер т-т(1А) такой, что множество (г ен 0: ф (г) (р) С ат. оволочки голомогоности 40! з б! Будем считать, что функция т(!с) / оо; тогда множества 6'„= 6»в, также образуют возрастающую последовательность, аппроксимирующую Р изнутри, Положим, наконец, фв(г)=ф„в,(г)+ р!г!' — р.
! (11) Очевидно, ф" ен С" (6„'), и простой подсчет 'показывает, что для любого в ен Са д д а,с с а, с-с В силу плюрисубгармоничности функций ф, сумма в правой части неотрицательна, откуда следует, что Н" (в в)) — !в1т р не расширяемо голоморфно в каждой своей граничной точке (см, пункт а) доказательства этой теоремы), Из этого по теореме Ока следует, что каждая связная ком- понента множества Р„' является областью голоморфности. Но при фиксированном г и растущем !б величина ф„(г) уменьшается, причем 1!ш ф„(г)=ф(г).
Отсюда видно, что существует возрао -» стающая последовательность компонент Р"„, аппроксимирую- щая Р изнутри. По теореме 2 п. 22 отсюда можно заключить, что Р является областью голоморфностн ь й й. Оболочки голоморфности Если Р пе является областью голоморфности, то любая функция 1 ен Н(Р) голоморфно продолжается в более широкую область. Возникает вопрос об отыскании так называемой оболочки голоморфностн области Р— наименьшей области, в которую продолжаются все функции из Н(Р). Этот вопрос важен как с принципиальной точки зрения, так и с тачки зрения приложений в квантовой физике').
') Си. Дж. И о от, Теория кваитоваииых волей, аМира, М., г967. 26 В В. Шабат т. е. что функции ф' строго плюрисубгармоничны. По теореме Леви — Кшоски п. 24 отсюда вытекает, что открытое множество Р„'= [ген 6„*: ср„'(г)(0) ~гл, пт внхлитнчвсков пгодолжвнив 402 27. Однолистные оболочки голоморфности. В п.
20 мы привели пример области Р, нз которой каждая голоморфиая "функция продолжается в более широкую область, причем некоторые функции при продолжении оказываются многозначными. Желая избежать рассмотрения многозначных функций, мы приходим к необходимости рассматривать многолистные области, аналогичные римановым поверхностям аналитических функций одного переменного. В частности, н оболочки голоморфности могут оказаться такими многолистными областями (как в упомянутом примере). Мы рассмотрим понятие многолистных областей в следующих пунктах, а здесь лишь сформулируем определение оболочки голоморфности так, чтобы оно охватывало и многолистный случай.
Определение. Область Р (одиолистная или нет) называется оболочкой голоморфности области Р с= С", если: 1) Р содержит Р, 2) любая функция ~ еп Н(Р) продолжается до функции, голоморфной в Р, и 3) для любой точки г~еи Р существует функция ~,еи Н(Р), сужение которой на поликруг У(з', г), где г=р(г~, дР), не продолжается голоморфно ни в какой поли- круг У(г', Н), где Я>г. 3 а м е ч а н и е. Хотя определение сформулировано про запас и для случая многолистных областей, в многолистном случае оно нуждается в пояснениях (например, понятий Р:» Р и р(гэ, дР) ).
Эти пояснения будут даны в следующих пунктах; здесь же читатель может понимать под Р однолистную область. В этом пункте мы рассмотрим основные свойства оболочек голоморфности в предположении их однолистности, а также вопросы построения оболочек для областей простейших классов. Прежде всего отметим, что оболочки голоморфности являются голоморфнымн расширениями областей в смысле п. 20, Поэтому по теореме 2 п. 20 любая функция, голоморфная в области Р, принимает в оболочке Р этой области лишь те значения, которые она принимает в Р. В частности, оболочка голоморфности ограниченной области всегда является ограниченной областью (это утверждение получается из предыдущего, если применить его к координатам г„т=1, ..., п).
Далее, условие максимальности 3) в определении оболочки голоморфности можно существенно усилить. Это условие является условием л о к а л ь н о й непродолжаемости некоторой функции из Н(Р), но можно утверждать, что в Н(Р) существует н глобально непродолжаемая функция. Иными словами, имеет место ОБОЛОчки ГОломОРФности э 9! 403 Т е о р е м а 1. Если оболочка голоморфносги 0 области 0 ~ С" однолисгна, то она является областью голоморфности. м На основании результатов п.
21 достаточно доказать, что Р голоморфно выпукла. Пусть К ~ Р и р(К, д0) г; по теореме об одновременном продолжении (п. 21) любая функция( ы Н (0) голоморфно продолжается в поликруг У(г, г) с центром в любой точке г~К,,— г Нз условия 3) в определении оболочки голомовфности отсюда следует, что р (г, дР) ) г и, значит, р(Кн,о<, дР))г. Но так как это расстояние не может быть больше г, то р(К„-р дР) р(К, дР), и 0 голоморфно выпукла м Следствие.
Если область Р с: С" имеет однолисгную оболочку голоморфности Р, то последняя является наименьи<ей областью голоморфности, содержаи(ей Р (г. е. пересечением всех областей голоморфности, содержащих Р). я Если 0 — область голоморфности, содержащая Р, то б ~ Р (так как Н(6) с: Н(0), то любая 1еи НЯ) голоморфно продолжается в 0).
Но .0 по теореме 1 — область голоморфности, следовательно, Р— наименьшая область голоморфности, содержащая Р м За меч ание. На первый взгляд может показаться, что подобно теореме 1 из локальной нерасширяемости области выводится ее глобальная нерасширяемость, т. е. импликация (Н)-ь(1) в теореме 4 предыдущего пункта.
Однако в условии (Н) рассматриваются функции, голоморфные не во всей области, а лишь в окрестности граничной точки, и поэтому доказательство теоремы 1 здесь не проходит. Как мы уже говорили, имплнкация (Н) -и (1) составляет содержание весьма тонкой теоремы Ока, которая будет доказана в гл. [<». Для доказательства следующей теоремы нам нужна де м м а.
Если 0 — область голоморфности, то любая связная компонента б ее г-сжатия 0,=(г ы 0: р(г, д0))г) также является областью голоморфности. я Пусть К я==11 и р(К, дб)=р1 для любых точек хеиК и Ь ы дР на отрезке [х, Ц найдется точка г'еи дб такая, что р (3, ь) = р (3< з ) + р (3, ь) ~ )р + г (рис. 109). Поэтому р(К, дР))р+г, а так как 0 — область голоморфности, то по теореме 6 и. 21 и Р(Кн(о1< дР)~Р+».
2бе !гл. !и АНАЛИТИЧЕСКОЙ ПРОПОЛЖЕНИЕ Нам нужно доказать, что р(Кн!А!, дб))р, т. е. что р(хо, х')ьр для любых точек хоев Кн<а! и х'ендб. Но так как б сР, то Ки !А! с Квю!, следовательно х еи Кн<о! и согласно (! ) Р+ г ( (р(ео дР)(р(го х')-~ р(х' дР) =Р(хо Й')+г (у нас р(х', дР)=г, ибо х'еи дЛ). Отсюда и следует, что Р(хо х~))Р м Теорема 2. Если 0 с 6 и эти области имеют однолистные оболочки 0 и соответственно 6, то Р с 6 и р(дР, дб)) р(дР, дб).
(2) Рис !09, м Так как Н (6) с Н (Р), то любая функция ! Ен Н(6) голоморфно продолжается в Р, следовательно, Р с: б. Пусть р(д0, дб) = г > 0 (для г = 0 теорема тривиальна), тогда Р с б„с: с:(6),. Очевидно, 0 принадлежит некоторой связной компоненте множества (6)„которая по доказанной лемме является областью голоморфности. Но тогда и Р принадлежит этой компоненте, а значит, и множеству (6),; поэтому р (дР, дб) ) г ь С л едет в и е. Если Р— ограниченная область, имеющая однолистную оболочку О, то пересечение д0 П дР непусто. < Применим к областям Р и 6 =0 теорему 2: р(дО, дР)(~р(дР, дР)=0 (мы воспользовались тем, что оболочка области голоморфности совпадает с этой областью).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
