Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 73
Текст из файла (страница 73)
Для того чтобы функция ~р, полунепрерывная сверху, была плюрисубгармонической в области Р, необходимо и достаточно существовзние для каждой точки г~Р и каждого вектора еэен С" такого числа г, = га(г, а), что 2в ( )» ~— „~ ( + ~сп)Ж (4) о для всех г ( га (к р и т е р и й п л ю р и с у б г а р м о н и ч н о с т и). Для функций класса С~ можно дать более легко проверяемый критерий. Вспомним, что для субгармоничности функции и(1,), принадлежащей классу С' в окрестности точки ~, ен С, необходимо и достаточно, чтобы в этой окрестности был неотрицателен ее оператор Лапласа: (см. задачу 12 к гл. Ч ч. 1), Пользуясь правилом дифференцирования сложной функции, мы найдем, что для сужения функции ~р~С~(Р), Р с: С", на аналитическую прямую а=1(ь) = = г'+ а~, т.
е. для сложной функции и(ь) фью((~), д'и ч,з д'т дь д" ~й дга даэ в н, у ! псездовыпуклость' 3 з! 389 Отсюда получается такой критерий: Теор е м а !. Для плюрисубгармоничности 4ункции !р, принадлежащей классу Сз в некоторой области У с:чж, необходимо и достаточно, чтобы в каждой точке го~В для любого вектора оз ен !.; выполнялось неравенство дзф дзн де» !о в» где производные берутся в точке го. Заметим, что эрмитова форма Н(та, й) — это та самая форма, которая участвует в теореме Леви — Кшоски из предыдущего пункта.
Назовем еще функцию ф я: Са строго плюрисубгармонической в точке геен! '", если в некоторой окрестности этой точки цгабф Ф О и Н(со, й)>О для всех отФО. Тогда мы будем иметь следующий результат, указывающий связь плюрисубгармонических функций с выпуклостью в смысле Леви: Теорема 2. Пусть область 0 с:С" в некоторой окрестности Ус точки ьон дТ! задается условием Р Д Ус = (г еБ Уц! ф (г) < 0), 1. = ~и з ~ (㻠— ь») = О (6) положительно ') для всех и ~ Ь ь Перейдем к дальнейшему изучению свойств плюрисубгармонических функций. Умножая обе части неравенства (4) иа элемент площади сферы ()оз)= Ц и интегрируя по этой сфере, мы найдем !р(г) о (!) ~ (— ~ й! ~ <р(г+ о!ген) йо = ~ <р(г+ о»г) йа, (7) о (!е!-Н ()е! И ') Чтобы получить такое сужение, надо в выражение Н подставить е» и» вЂ” ь», считая, что вти величины связаны уравнением (8).
где ф — строго плюрисубгармоническая в Уг функция. Тогда .0 выпукла в смьссле Леви в точке ь. < Утверждение сразу получается из теоремы Леви — Кшоски, если заметить, что для строго плюрисубгармонической функции сужение формы Н(оз, й) на касательную аналитическую плоскость л АнАлитическОе пиодолжение )ГЛ. )П чзтя где а(1) — — площадь поверхности сферы (внутренний (л-1)1 интеграл не зависит от 1).
Простой заменой переменного мы получим отсюда, что для всех достаточно малых т )р(г)<; —,) ~ ф(~)йо, () а я! <т) где а(г) о(1)гя"-' — площадь сферы радиуса г. Отсюда точно так же, как в плоском случае (см. п, 46 ч. 1), выводится, что любая плюрисубгармоническая функция в области 1) ~С" является субгарлтонической функцией 2н действительных переменных. Это означает, что для всех точек г е= 1) и всех достаточно малых г, для любой функции Ь, гармонической') в шаре В=(Дена,'": )ь — г~<г) и непрерывной в В, ~р ~дВ )ВВ ~ ~р )В ~В' (9) Т е о р е м а 3.
Среднее значение 5(г) — ) ф Я) аа 1 1)й-г) т) ллюрисубгармонической в окрестности точки г ~ ч'" функции )р является возрастающей функцией от г. м Согласно (7) 2я 5(г)о(1) ~ й — ~ )р(г+е)геи)й(; цы-ц о следовательно, достаточно доказать возрастание среднего значения субгармонической в окрестности точки ь = 0 функции и(Ь) )р)г+е)Ь), т. е. величины 2я з (т) = — ~ (геи) й(.
с Пусть г, > г, и Ь(ь) — наилучшая гармоническая мажоранта функции и в круге ЦЦ~< тз) (см. п. 46 ч. 1). По свойствам ') Напомним, что гармонической в шаре В~СЯ называется фуикпия И: В -и )с класса Ст, которая в каждой точке а ~и В удовлетворяет уравнезч %ч й~л ниш Лапласа ЬЬ= т„— О. да~~ псввдовыптклость' субгармонических и гармонических функций имеем тогда е(т,)я ~ ~ Л(г,еи) Ж ~„~ Ь(г,еи)Ж в(го)» о о м Если ~р = — — оь, то в качестве Ч~„ можно взять последовательность р„(г) = — и. В общем случае последовательность уи строится при помощи усреднений.
Возьмем функцию 1 се ' ~'~', )г1<1, О, 1г!>1, (10) выбрав постоянную с так, чтобы интеграл от К по всему пространству ( " равнялся ! (фактически интеграл по шару (~~!< Ц, ибо вне шара К=О). Эту функцию мы используем в качестве усредняющего ядра, положив (11) где й(т — элемент 2п-мерного объема и интеграл берется по всему С" (фактически по единичному шару). Ясно, что каждая 1 функция р„определена в — сжатии области 6, т. е. открытом множестве 6ь = ~ г ен й: е (г, дй) >— где е — евклидова расстояние.
Ясно также, что 6 с: 6„+, для любого 1ь и что Ц 6„=0. и ! Теперь докажем, что произвольную плюрисубгармоническую функцию можно аппроксимировать такими же, но бесконечно дифференцируемыми функциями. Те о р е м а 4. Для любой функции ~р, плюрисубгармонической в области 0 ~С", можно построить возрастающую последовательность открытых множеств 6„(р= 1, 2, ...), Ц 6„= О, и убывающую последовательность функций ф„~ и ! ен С (6и), плюрисубгармонических в 6щ сходящуюся к ~р в каждой точке г ен 6: ри (г) 'ъ ф (г) ~гл. 1Н АнАлитичесхое ПРодолжение ззе После замены переменных г+ — — 1. интеграл(11) примет вид и 'рв(Е) = 1А ) 1р(1) КЬ(1 ))'Л~ из которого ясно, что Ч1„~ С (6„) (в самом деле, подннтегральная функция, а следовательно, н интеграл зависят от е бесконечно дифференцируемым образом).
Пользуясь критерием, который выражается неравенством (4), легко установить плюрисубгармоничность функций 1рР: для всех ген 6„, а ~С" и всех достаточно малых г 2Л 2к —,'„)к,(*~--")а-(к(111 —,'„(к(.~ х~-.."')а~а > о 0 - ~ К (Ь) 1р (е + — ) и')к = фР (г) (мы использовали плюрисубгармоннчность 1р и неотрицательность ядра К). Заменяя дг'=г(о,г(г, где до,— элемент поверхности сферы (ф ~=к), а затем делая замену переменных г+ — — >Ь, мы преобразуем (11) к виду 1 Ч1„(г) = ~ К(г)г(г ~ 1р(е+ — )до,= 2 1121=и 1 1 = ~К(г)дг122"-1 ) 41(Ь)ао, =о(1)~ К(г)г'"15( — ')Ь, (!1,— 2( — ) (12) где 3 1 — ~1 — среднее значение функции ф на сфере к ь: 1ь — г 1= — 1. кн) Н1' Теперь из теоремы 3 видно, что функции Ч1Р убывают с ростом н.
В силу субгармоничностн функции 1р ее среднее значение 5( — )) <р(г), а так как н 1 1 о (1) )г К (г) г2" 1 г(г = ~ К (г) о (г) 1(г = ~ К 1Л/ = 1, о о то нз (12) следует, что 1ря(е)) ф(г) в любой точке г е=-6 для всех 12, начиная с некоторого. С другой стороны, в силу полу- непрерывности функции 1р для любого е>0 будет 1р((,) — ф(е)<а псездовыпуклость для всех ь, достаточно близких к г, т. е. 51 — 1(ф(г)+ е для 1Р/ всех р, начиная с некоторого, и для таких р из (12) мы получим, что ф (г) ( ф(г)+е. Таким образом, для всех г еи 0 1пп фя (г) = ф (г) ь 3 а меч ание.
Предел убывающей последовательности субгармонических функций является функцией субгармонической (см. задачу 14 к гл. Ъ' ч. 1), и это утверждение сразу переносится на плюрисубгармонические функции. Поэтому теорему 4 можно обратить. В определении плюрнсубгармоннческой функции требуется, чтобы ее сужения на аналитические прямые были функциями субгармоническими. Это свойство допускает следующее усиление: Те о р ем а 5. Сужение функции ф, плюрисубгармоничгской в области й с С", на любую комплексно т-мерную аналитическую поверхность г = Я) =(1, (ь)...,, 1„(Д) также является плюрисубгармоничгской функцией на открытом множестве Р = (Ь ен С: 1 (Ь) ен 0). и Для простоты формальных выкладок ограничимся случаем т =1, т.
е. покажем, что сужение ф на аналитическую кривую г =1(Ь) является субгармонической функцией. Пусть сначала фен С'(О). Тогда для и(Ь)-ф ° 1(Ь) по правилу дифференцирования сложных функцнй в любой точке ь еи Я д'и ~ч д2ф д(з / д) ) д~д~г лю~ дгзда„дг 1 д~!' я, у=! Так как ф плюрисубгармонична, то по теореме 1 форма в правой части неотрицательна, а это и означает, что и(с) — субгармоническая функция.
Общий случай сводится к рассмотренному при помощи теоремы 4 и замечания вслед за ней ~ь Следствие. Для сужении на аналитическую поверхность Я функции ф, плюрисубгармонической в окрестности Я, справедлив принцип максимума. В частности, для компактной аналитической поверхности 5 (см. п. 23) этот принцип можно сформулировать так: ~~ ф ~~$ ~~ ф ~~дз' В заключение проведем сравнение понятий плюрисубгармоничности н выпуклости функций нескольких (действительных) переменных. Мы уже отмечали (в п. 46 ч. 1), что субгармони- АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ 394 1гл. Иг (15) ') Функция й является наилучшей линейной мажорантой функции 1 на концах отрезка (х', х")-аналогом наилучшей гармонической мажорантм функции на границе области (ср.
и. 46 ч. 1). ческие функции являются плоским аналогом выпуклых функций одного переменного. Последние можно определить так: функция 1: [а, Ь]-иР называется выпуклой (вниз) на отрезке [а, Ь] с: Р, если для любых двух точек х', хп ~ [а, Ь] и любого 1ен (О, 1) Ц1х'+ (1 — 1) х") (~ 1~ (х') + (1 — 1) [ (х"). (14) Чтобы подчеркнуть аналогию с субгармоническими функциями, обозначим через х=(х'+(1 — 1)х" и через й(х)=1[(х')+ + (1-1)1(хп) — линейную функцию'), принимающую на концах отрезка [х', х"] те же значения, что и 1 (рнс. !07).
Тогда условие выпуклости (14) примет вид: 1(х)~(й(х) для всех х~[к', х"]. Ь1х( гй''5 Распространим понятие выпукло- сти на функции нескольких действие~~ гул) тельных переменных. Функцияг': 0-аР 1 называется выпуклой в области ! я ! 0с:(ч, если ее сужение на любую пря! мую х=1(1)=хо+Ф1, где хо шы)со является выпуклой функцией на открытом множестве 2=[1 ыР; 1(1) ен0). Рис. )07. Условием выпуклости дважды гладкой функции 1 одного переменного 1 является, очевидно, неравенство 1п(1) и О для всех 1ее[а, Ь]. По правилу дифференцирования сложных функций отсюда получается условие выпуклости функции нескольких переменных [ев Св(0): квадратичная форма и д Ь ~ шиш» я,ч 1 где производные берутся в точке хо, неотрицательна для всех хо~ 0 и всех Фыр".
Таким образом, плюрисубгармоничиость является, так сказать, комплексным аналогом выпуклости. Иными словами, плюрисубгармонические функции получаются из выпуклых заменой действительной структуры комплексной: вместо сужений на действительные (одномерные) прямые х=1(1) надо рассматривать сужения на аналитические (двумерные) прямые г =1(Ь) и вместо выпуклых функций от 1 — субгармоиическне функции от Ь. Для функций класса Са такой переход состоит в замене квадратичной формы (15) эрмитовой формой (5). з е! пснвдовыпкклость 26. Псевдовыпуклые области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
