Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 72
Текст из файла (страница 72)
< Если 0 не является Е-выпуклой в какой-либо точке ь ~д0, то найдется поверхность 3 такая, что Ьеи 5, д5с: Е1, и последовательность компактных аналитичааких поверхностей 5, с О, 5, — 5, д5, — д5; тогда любая 1 ~ Н Я) голоморфно продолжается в точку ь, и Е1 не может быть областью голоморфности в Этот результат можно сформулировать и локально. Назовем область Е1 не расширяемой голоморфно в граничной точке ь, если сущеатвует окрестность УС этой точки и функция ~, голоморфная на открытом множестве УсДг) и не продолжаемая голоморфно в точку Ь. Теорема 1, очевидно, допускает такой локальный вариант: Те о р е м а Г.
Если область 0 не расширяема голомор4но в точке ь — дЕЗ, то она является Е-вьтуклой в этой точке. 1гл. пт аналитическое птополжвниа 382 Ясно, что любая область голоморфности не расширяема голоморфно ии в одной точке дР. Еще в 1911 г. Э. Леви поставил обратную задачу: Проблем а Леви. Является ли область .Р, не расширяемая голоморфно ни в одной точке границы, областью голоморфности? Главная трудность в этой проблеме состоит в переходе от локального свойства к глобальному. Если Р не расширяема голоморфно в точке ь ~ дР, то существует локальный барьер— функция ~с(г), голоморфная в Рс Д Р и не продолжаемая голоморфно в точку ь, Но как из таких локальных барьеров построить глобальный барьер, т. е.
функцию, голоморфную во всей области Р и не продолжаемую в Ь? Эта трудность была преодолена лишь в 1954 г. К, О к а, который доказал, что проблема Леви решается положительно для любой области Р с:С". При помощи теоремы Ока в и. 39 будет доказано, что условие Е-выпуклости области Р является и достаточным для голоморфной нерасширяемости, так что эти условия эквивалентныы.
Выпуклость в смысле Леви, в отличие от голоморфной выпуклости, является локальным свойством границы области, и поэтому естественно ожидать, что она легче проверяется. Мы приведем здесь ) несколько критериев. Начнем с простого достаточного условия. Ю Теорема 2. Если области Р в некоторой граничной точке Ь можно коснуться извне аналитическим множеством 5 =(г ~ Сь: ((г) = 0), где ) — функция, Рнс 106. голоморфния в точке ь, то Р является Е-вьтуклой в точке ь (рис.
106). м Условие теоремы означает, что существует функция голоморфная в окрестности Рс точки ь, равная нулю в этой 1 точке и отличная от нуля в Р1ПР. Но тогда функция д=— =Т голоморфиа в Р,() Р и не продолжается голоморфно в точку ь. Таким образом, Р не расширяема голоморфно в точке ь и по теореме Е является Е-выпуклой в этой точке ь Отметим, что этот признак обобщает известный признак обычной (геометрической) выпуклости области. Если вместо аналитического множества Д = 0) мы будем рассматривать ы опорную гиперплоскость ~ ~ а,х, — р = 0 , то получим (необхоч 1 псавцовыпуклость 383 димый и достаточный) признак выпуклости области в граничной точке ~.
Следующий критерий применим к областям с достаточно гладкой границей. Предположим, что в окрестности Ус некоторой граничной точки Г область Х! задается условием В() ис=(з ис. р(з)<0), (2) где Ч! ~ С'Яс) — действительная функция. Предположим еще, что в точке !, (3) отличен от нуля. Тейлоровское разложение ф в точке ~ имеет вид !р (г) = 2 Ке Е (г) + це К (я) + — Н (г, г) + о (( г — !.
~'), (4) где 1.(я)=~д, ~,(з,-( ), К(а)=,~~ д, д, ~,(г„— 1,)(г,— Ь„), э ! !1, Р=! я Н(, -)= э,' „~;, ~,( „-~„)(й,— й,) я, х-! (все производные берутся в точке Г, свободный член !р(~)=0, и о(! ь — г !') обозначает малую выше второго порядка при г-~й), Для получения (4) достаточно написать обычное тейлоровское разложение по переменным зо й„..., з„, г„и заметить, что так как функция !р действительна, то— дв ~ дз ~ дг~ (,дг~~ ) поэтому группы членов разложения по переменным г, комплексно сопряжены соответствующим группам по а, и в сумме дают удвоенные действительные части (это замечание относится к первому и второму слагаемым формулы). Заметим еще, что уравнение л и )=Х-,~-~,(,-и=0 х ! определяет аналитическую касательную плоскость к поверхности (ч!=О) в точке ь (она не вырождена в силу условия ига д <р Ф О).
Форма Н(г. г)= ~~ д д ~ (а„-1„)(г,-~,) (б) я, ч-! киллитичвское пгодолжвиив 1гл. ги 384 доя! ! до!Г является эрмитовой, ибо д = ( д для всех 14, чдги дгт ( дхт дхь ~ = 1, ..., и в силу того, что уо — действительная функция. Теорема 3 (Леви — К шпека).
Пусть область 11 с: С" в окрестности точки ь ен д11 задается условием (2), еде !р ~ Со и ига!)у!1 ~0. Если !О является Е-выпуклой в точке ь, то сужение зрлитовой формьс (6) на касательную аналитическую плоскость (ь = 0) неотрицательно: Н (г, г) 1ь, ) О. (7) Обратно, если зто сужение положительно: Н(г, г) ~~. >О (8) аг, + Ьго — эг„2Е(г)-+го которое переводит касательную аналитическую плоскость (Е = 0) в плоскость (г,= 0).
После этого разложение Тейлора (4) примет вид !р(г) = ' ' + йеК(г)+ — Н(г, г)+ о(~ г ~~), (9) где К(г) = а!!г! + 2а„г,г, + а„г~о, (10) г) а!!г!г! + а!уг!го+ а12г!го+ азйгог2 (для простоты письма мы полагаем до!р д! =а „ ~ =а,. дтидхо !о "о' доя дх.~ ~о Сужение формы Н на касательную аналитическую плоскость (г,=О) теперь записывается совсем просто: Н) =абраг,)~. (11) а) Д о с т а т о ч н о е у с л о в и е. Из (8) следует, что аб) О. Возьмем функцию ) (г) = г, + аиг', и рассмотрим аналитическую поверхность 5 = (г ен С~: ) (г) = 0). На ней г = — апг'„и, ведя для всех гФь, то (т является Е-выпуклой в точке ь.
м Для упрощения формальных выкладок ограничимся случаем и = 2 и положим ~ =О. Совершим невырожденное аффинное преобразование переменных звв псввдовыпэклость $8] подсчет с точностью до малых второго порядка, мы найдем, что сужение ~р! = Ке( — ангч)+ Ке(анг',)+ — а,рг,г, + о(~ г)т) = 1 = — а,—,~ г, !'+ (~ г)'). (12) Отсюда видно, что ~р ~з ) 0 в некоторой окрестности точки ~ =О, т. е.
что 5 в пределах этой окрестности лежит вие П. По теореме 2 отсюда следует, что П является Е-выпуклой в точке ~ =О. б) Необходимое условие. Пусть, от противного, П является / -выпуклой в точке ~ = О, а а,—, < О. Из (12) видно, что аналитическаЯ повеРхность Зь = (г ~ С-'. г, =- — ангто ( г,(( г) при достаточно малых г вся, кроме точки ~=0, лежит в области П. Из соображений непрерывности ясно, что компактные аналитические поверхности 5 =(г ~ С': г,= — анг',— Л, )г, ~(г) пРи всех Достаточно малых Л) 0 пРинаДлежат П и что Яь- Ябт дух — >дЯб при Л- О.
Но это противоречит Е-выпуклости О в точке ~=0 > Для случая и =2 существует еще более эффективный критерий. Назовем определителем Леви д~р д2~ д~р дгт (13) тогда имеет место Т е о р е и а 4. Пусть область В с: С' в окрестности точки ~ ен дП задается условием (2), где ~р ен Сз и йтаг(тр ~ чи О. Если В является Е-выпуклой в точке ь, то в этой точке У(р)-ьО. Если .Р'(~)>0 в точке ь, то область Е-выпукла в этой точке. < Заметим, что в частном случае Е(г)= — ', к которому общий приводится невырожденным аффинным преобразованием Б. в, шабат де дг~ дтпл дг, дг, дтзт дгт дг~ дЧт дг, дтф де~ дгт дтпл двт дтт [Гл.
пе аналитичнскон пяодолжниин ЗВО (как в предыдущей теореме), имеем о 1 2 1 — а- 4 и' 0 а-„а;, 1 2 а;, а;, закону: "~ ( ) -~ ('Р) ! б <г,, 2,) ~ ' (14) где !Р(Я) =!р(г) (тождество (14) проверяется прямой выкладкой) ь П р и м е р ы. !. Пусть основание В трубчатой области Р В Х (сз(у) из Сз огранихз+аз А+А чеио кривой е хз — ф(х1) О. Заменяя хз —, х, вычи- 2 2 сляем определитель Леви: 1, 1 фф 2 2 1 — О 1 фИ 16 1 2 1 2 .У' (е) О О Отсюда видно, что ь-выпуклость таких областей сводится к обычной выпуклостя. 2, для областей Рейнхарта из Сз с границей ф (зз(-ф((г1() О с(з!пф 2 16гх и!пП)з (мы положили г, )г,)), ).-выпуклость таких областей сводится, следовательно, к логарифмической выпуклости, так как ф ~ гз !) О.
3, для областей Хартогса из Сз с границей ф !хз)-ф(л1) О .Я'(и) — — Ь!и ф ф 4 где и-оператор Лапласа. Условие Р-выпуклости сводится к субгармонич- ности функции — !и ф (см. задачу к гл. Ч ч. !). 25. Плюрисубгармонические функции. Как видно из последнего примера, т,-выпуклость областей Хартогса из ч.,т сводится к субгармоничности функций, их определяющих.
Оказывается, и теорема сводится к предыдущей. Для доказательства в общем случае достаточно заметить, что при биголоморфном отображении г-еЕ определитель Леви преобразуется по следующему звт псевловыпуклость что, вообще, существует глубокая связь 1.-выпуклости областей при и 2 с субгармоническими, а при п>2 с их обобщениями, так называемыми плюрисубгармоническими функциями. Приведем их определение и простейшие свойства. Определение 1. Действительная функция ф„— со~-ф<оо, определенная в окрестности точки го еп( ", называется полу- непрерывной сверху в этой точке, если для любого е > О найдется 6>0 такое, что ф(г) — ф(го) <в, если ф(гз) Ф вЂ” оо, 1г — г~~<б Ф 1 о (1) ф (г) < — —, если ф(го) = — оо, е ' нли, иначе, если !пп ф(г)(ф(го). л «м (2) является плюрисубгармонической в этой области.
В самом деле, ф очевидно полунепрерывна сверху в О, а так как сужение 1 па любую аналитическую прямую г =1(ь) является голоморфной функцией от ь, то сужение ф на эту прямую ф«1(ь) 1п(1о1(ь) ~- Функция ф называется полунепрерывнои сверху в области .0 ~ С", если она полунепрерывна сверху в каждой точке гвен В (для этого необходимо и достаточно, чтобы для любого а~(- оо, оо) множество меньших значений (ген й: ф(г)<а) было открытым). Полунепрерывные функции со стороны ббльших значений ведут себя как непрерывные. В частности, на компактах К я= =О такие функции ограничены сверху и достигают своих наибольших значений (ограниченность снизу и достижение наименьших значений не обязательны).
Совершенно аналогично вводятся полунепрерывные снизу функции, которые ведут себя как непрерывные, так сказать, со стороны меньших значений. Определение 2. Функция ф: й-«[ — о, оо) называется плюрисубгармоничеснои в области О с С", если: 1) она полу- непрерывна сверху в 0 и 2) для любой точки геен 0 и для любой аналитической прямой г = 1 (~) = го+ аь, где а ен С", ь ~ С, сужение ф на эту прямую, т. е. функция ф о1(~), является субгармонической на открытом множестве (Ь ен С: 1(ь) ~ й).
Плюрнсубгармонические функции связаны с голоморфными функциями нескольких переменных так же, как субгармонические с функциями одного переменного: для любой функции 1, голоморфной в области 1) с:.О", функция ф (г) = 1и! 1(г) ! (3) хнллитичаскоа пгодолжаниа 1ГЛ. ПГ субгармоническая функция. В частности, если 1~ 0 в Р, то функция (3) плюригармонична. Из определения видно, что свойства плюрисубгармонических функций просто сводятся к свойствам функций субгармонических.
В частности, из теорем, доказанных в п. 46 ч. 1, непосредственно получаются следующие утверждения: !'. Если плюрисубгармоническая в области Р функция ~р достигает локального максимума в некоторой точке за~ Р, то она постоянна в Р. 2'. Функция, плюрисубгармоническая в некоторой окрестности каждой точки, г"ен Р, является плюрисубгармонической в области Р. 3'. Если верхняя огибающая Г( ) = знр т«(а) а~А семейства функций ~р„, и ев А, плюрисубгармонических в области Р, полунепрерывпа сверху в Р, то она является плюрисубгармонической в этой области. 4'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
