Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Так как дР— компакт (ибо 0 ограничена), то из равенства р(дР, дР)=0 следует, что множества д0 и дР пересекаются ь Перейдем к описанию оболочек голоморфности областей простейших классов. !. Трубчатые области. Напомним, что трубчатой областью с основанием В с Е" называется область Т=ВХЙ" (у), т.
е. Т = (з = х + гу ен о '": х ~ В) (с м. п. 2). Т е о р е м а 3, Оболочкой голоморфности трубчатой области Т является ее выпуклая оболочка Т. м Очевидно, Т = В Х Р" (у), где  — выпуклая оболочка основания В в пространстве (х" (х). Покажем, что любая функция ! Еи Н(Т) голоморфно продолжается в Т. Область В предста- вляет собой совокупность точек отрезков [х!, хо), где х', х' ен В. ОБОлОчки ГоломОРФИОсти 40$ цг) ~ са(г — а)а, ~а1-о (3) область сходимости 5 которого всегда представляет собой логарифмически выпуклую область (теорема 3 п.
7). О Докажем, что 5 является областью голоморфиости. Это вытекает нз следующего более общего результата. Назовем О областью сходимосги последовптельности функций [„~Н(й), если эта последовательность равномерно сходится внутри 1г (т. е. на каждом компактном подмножестве 0) и сужения 7„ на поликруг У(г, г) с центром в произвольной точке г~ О и радиусом г=р(г, дЕ>) нельзя продолжить до функций ') Овределеиие волной области Рейихарта см.
в и. 2 Если х' и ха можно соединить в Б двузвенной ломаной [х', х! () [хо, х [, то продолжаемость 7 в окрестность множества [х', хг[ХЙ" (у) следует непосредственно из леммы о призме (и. 23). В общем случае точки х', х'ен В можно соединить в В конечнозвенной ломаной (рис, 110).
При помощи той же леммы индукцией по числу звеньев мы снова докажем, что 7' голоморфно продолжается в окрестность множества [х', ха! Х И" (у). Та же лемма показывает, что функция 7 при описанном продолжении остается однозначной. В самом деле, пусть х — точка пе- га ресечення двух отрезков [х', х'! н [х', х'! с концами в В и в окрестности точки г х+гу мы получили два значения ) и г. Рассмотрим призму [х', х, х'! Х [а" (у); функции 7 и Г по цитированной лемме го- .а-" ломорфны в ней, а так как они совпадают в окрестности точек х'+ 1у и х'+ гу, то по теореме единственности они совпадают во всей призме. Таким образом, любая функция 7~ Н(Т) голоморфно продолжается в Т. Но Т вЂ” выпуклая область и поэтому является областью голоморфностн (п.
20), Следовательно, Т служит оболочкой области 7 ь 2. Области Рейн ха рта. В п. 7 мы доказали, что любая функция ), голоморфная в полной области Рейнхарта ') 0 с центром в точке а, голоморфно продолжается в логарифмнчески выпуклую оболочку .0с этой области. Такое продолжениб осуществляется при помощи разложения ) в ряд Тейлора [гл. ПЕ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОПОЛЖРИИЕ 4ОЕ голоморфных в поликруге У (г, Я), где )с > г, так, чтобы последовательность !» равномерно сходилась внутри У(г, Я).
Область О называется областью сходимости, если существует последовательность голоморфных в ней функций, для которой Она является областью сходимости. Теорема 4. Область О тогда и только тогда является областью голоморфности, когда она является областью сходимости. < Н е о б х од и м о с т ь условия тривиальна: если Π— область толоморфности, то она является областью сходимости последовательности !»=1, где !" — функция, областью голоморфности которой 0 является. Д о с т а т о ч н о с т ь.
Возьмем К~О и обозначим р(К, д0)=г; все будет доказано, если мы покажем, что р(Кн<ои дО))г, т. е. что для любой точки г КЛАРО> р(г, дЕ)))г. (4) Пусть 6 — связная компонента пересечения У(г, г) П О, содержащая г; сужения !»)в по теореме об одновременном продолжении (п. 2!) можно продолжить до функций Г», голоморфных в поликруге У (е, г).
Покажем, что последовательность |» равномерно сходится внутри У (е, г). Для этого возьмем любое число г,<г и заметим, что по теореме 5 п. 21 для любых натуральных !А и ч имеем !~ ~» — )» ~~о и,,е ~«1~ ~» — 1» Циа ° Так как О является областью сходимости и г;раздутие Кое ~ О, то последовательность )» сходится равномерно на Ки». По критерию Коши отсюда можно заключить, что она равномерно сходится и на У(г, г,), т.
е. внутри У(г, г). Но по определению области сходимости из этого следует, что У (г, г) ~ О, т. е. что р(г, д0))г ь Теперь совсем просто выяснить вопрос об оболочках областей Рейнхарта. Т е о р е м а 5. Оболочкой голоморфности полной области Рейнхарта О является ее логарифмически вьтуклая оболочка Йы ч Мы видели, что каждая функция (~Н(0) голоморфно о продолжается в область сходимости 5! своего ряда Тейлора, которая по теореме 4 является областью голоморфности. Следовательно, все функции класса Н(0) продолжаются в перео сечение А»с всех областей 51, ~ еи Н(А)), являющееся логарифми- ОБОлОчки голОмОРФИОсти 407 чески выпуклой оболочкой области Р и в то же время (по теореме 1 п.
22) — областью голоморфностн. Таким образом, Р является оболочкой голоморфности области Р > С л едет в не. Любая логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта является областью сходимости некоторого степенного ряда. м Такая область Р по только что доказанному является областью голоморфности, и, следовательно, существует функция 1 ~ Н(Р), не продолжаемая за пределы Р. Тейлоровское разложение 1 имеет Р своей областью сходимости ь 3 а меча иве. Если мы будем рассматривать вместо тейлоровских разложений разложения Лорана, то получим более общий результат: оболочкой голоморфности любой относительно полной области Рейнхарга (см. п.
8) является ее логарифмически вьчпуклая оболочка. 3. Области Ха р тоге а'). Для простоты письма ограничимся областями с плоскостью симметрни а„.= 0 — это не уменьшает общности. Т е о р е м а 8. Оболочкой еоломорфности полной области Хартогса Р =(г =('г, г„): 'г еи'Р, (гв1<г('г)), проекцией которой 'Р служит область голоморфности в пространстве С' ~, является область Харгогса Р=(г=('г, г„): 'ген'Р, (г„1<е" гм), (5) еде (г('г) — наилучшая плюрисупереармоническая мажоранта функции !и г('г) в области 'Р. и Область Рк вида (5), где )г строго плюрисупергармонпческая в 'Р функция, голоморфно не расширяема в каждой своей граничной точке. В самом деле, пусть ь ен дРю 'вен д'Р и 1('г) — голоморфная функция, для которой 'Р является областью голоморфности.
Эта 1, как функция в Рю очевидно, ие продолжается голоморфно в точку Ь. Если же Ь ~ дР1, и 'ь ты д'Р, то в окрестности ь область Ри задается неравенством у(г) =(г„(се-таем <1. Так как ~р строго плюрисубгармонична в точке ь (это проверяется непосредственными выкладками), то по теореме Леви — Кшоски (п. 24) область Рк голоморфно не расширяется в точке ь. Отсюда по теореме Ока (которая будет доказана в гл. 1Ъ') мы заключаем, что Р— область голоморфности.
Из теоремы об аппроксимации нлюрисубгармонических функций (п. 25) мы получаем, что оболочка голоморфностн Р ') Определение области Хартогсв см. в и. 2. !гл. >и 408 АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ области Р содержится в пересечении всех РР, где Р' — произвольная плюрисупергармоническая мажоранта функции 1пг('г) в 'Р. С другой стороны, в п.
8 было доказано, что любая функция 7"~ Н (Р) представляется в Р своим рядом Хартогса (6) и, следовательно, голоморфно продолжается в область сходи- мости этого ряда Р! = (('г, г„): 'г ~ 'Р, ! г„! < Тс! ('г)). По теореме 1 п.
26 функция !п)с! плюрисупергармонична в 'Р, т. е, 6! является областью вида (5), где '>т — некоторая плюрисупергармоническая мажоранта функции !и г. Так как Р— пересечение всех Рр где 7" ен Н(Р), а это пересечение содержит П РР:э Р, то теорема доказана !» 3 а м е ч а н и е. Если рассматривать разложения Хартогса— Лорана, то можно получить более общий результат: оболочкой голоморфносги области Р =(( г, г„): 'г ен 'Р, г> ( г) < ! г„! < гх ( г)), проекцией которой 'Р служит область голоморфности в пространстве С" ', является область вида Р=(('г, г„): 'г ~'Р, е" еа><!г„)<ер !'>), (7) где О, — наилучшая плюрисубгармоническая миноранта функции — 1п г„а $'т — наилучшая плюрисупергармоническая мажоРанта ! и гт ).
В теореме 6 (и ес обобщении) существенно, что проекция 'Р области Р является областью голоморфности, — иначе области (5) и (7) будут не оболочками, а лишь голоморфными расширениями Р. Заметим, что и не всякая область Хартогса имеет однолистную оболочку. Чтобы в этом убедиться, достаточно взять в А.'а область Хартогса, проекцией которой в Сх является область из примера в п. 20 с неоднолистной оболочкой. 28. Области наложения. Выше не раз отмечалась необходимость рассмотрения многолистных областей, аналогичных римановым поверхностям над комплексной плоскостью.
Здесь мы изложим основные определения и некоторые результаты, связанные с этим понятием. Каждое комплексное многообразие размерности и посредством локальных координат локально гомеоморфно отображается в пространство С". Однако локальные координаты не ') См. В. С. Влади м ирои, Методы теории функций многих комллексных переменаых, «Наука», М., >964, стр, 9!7. ОБОлОчки голомОРФности 409 определены глобально на многообразии, т. е. не являются на нем функциями в смысле и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
