Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 80

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 80)

Пусть фуннция ) аналитична в области Р ~ ~ по каждой кооргз2» динате ха ..., х,„и в некотором шаре У~=.Р голоморфва по комплексным кооРДпнатаи хе=-хчл-гхч„», ч=!, ..., ». Доказать, что ) голомоРфна в Р (отиосительно координат хч). 3, Доказать. что всякая функция, аналитическая по действительным ко- ординатам н области РщС» п плюригарманпческая в некотором шаре У вЂ” Р, пшорнгармонична во всей Р. 4. Доказать, что вслкая фувкцвя, гармоническзя в области Р~:С», плю- рисубгармоническая в некотором шаре У~Р, плюрнгарианична в Р. При- вести пример функции, аналитической по всем действительныч координатам, пл~арисубгармоннческой в полупространстве х1 > 0 в плюрисупергармони- ческой при х1 < О. 5.

Описать области РщС», выпуклые относительно класса 7, состолщего из одной ()зункцни ) (х) = х». б. Область Рейихарта с пеитром а =-0 тогда н только тогда логарифчиа чески выпукла, когда она выпукла относительно класса мономан г а а =2~1 ... 2„», где а. — целые неотрицательные числа, 7. Если компакт К связеи, то его полиномиальио выпуклая оболочка К Р тоже связиа. 8. Если Х н У вЂ” непересекаю2циеся связные полиномизлыю выпуклые множества и ХЦ У не полинол2иально выпукло, то (ХЦ У)р связно. ' 9. Полиномвальный полиэдр Вейлл является полиаомлально выпук.чыч множеством, 1О.

Всякий компакт К, расположенный в действительном подпространстве С", является полиноииально выпуклым. 11. График комплексной функции ф, гарионической в окрестности единичного круга, — множество ((з, ф (х) ): ) х ( (~ П вЂ” является полиномиально выпуклым в Сз. 12. Пусть К вЂ” график функции ф (г) =-) г) над едяничпым кругом ) г(<1, Доказать, что для любой области Р:>К и любого класса у голоморфных в Р функций равенство К= Кл- невозможно.

13. Область сходимости ряда из полиноиов (соответственно рациональных функций) является полиночнально (соответственно рационально) выпуклой. 14. Рационально выпуклая оболочка Кл компакта КщС" совпадает со множеством (ашС»: р(л)щр(К) для всех полипомов р). 15. Доказать, что поллномиально выпуклая оболочка множества М-С2, состоящего из окружности без малой дуги (г, = еа, ь < г < 2я; хз 0) и из цилиндра ~х, =е", 0<1 < б; )», (= — 1, содержит круг ((г, ) < 1, г, =0).

4) ' 1б. Если функция ) голоиорфна в полиномиально выпуклой оболочке К, компакта К то д) (Кр)в. ) (К). Ий Доказатгь что область Р= (яежС~; ~ з1 )~+ха~ > р~~ не является областью то»аморфности. задами 423 18. Доказать, что компакт Л = ! ! х, ! ~ (1, ! хг ! ~( ! х~ ! ) нельзя представить как предел убывающей последовательности областей голоморфности. 19. Пусть Р, и Оз — ограниченные области на плоскости, знездные относительно начала координат, и К (гх: 0~<1~(!, х~ыдР~ Х дРг). Доказать, что всякая функция, голоморфвая в окрестности К, продолжается до функции, голоморфной в окрестности О, ХО,.

20. Пусть М вЂ” дважды гладкое многообразие в С», не имеющее аналвтическнх касательных плоскостей (отсюда вытекает, что действительная размерность М не выше»). Доказать, что М является пределом некоторой убывающей последовательности областей готоморфности. 21. функция и: 0-э» класса С' тогда и только тогда плюригармоничва в области 0 с С», когдз для всех г я 0 и всех ат щ С » впт дги Н[и! = х апач=О.

дхп дйт ж т40 22. Определение субгармоиичности без всяких изменений переносится на случай пространства йм, если мажорантой считать гармоническую функ'- цию 2» действительных переменных. Показать, что плюрисубгарыонические функции в области 0 — С» (= Е ") составляют подкласс функций, субгарх» ионических в О. 23. Пусть и — полунепрерывная сверху фуниция в области Р, плюрисубгармоническая в Р '', Е, где Š— относительно замкнутое подмножество Р меры нуль. Доказать, что и плюрисубгармоиичиа в 0; если и < оо. 24.

а) Если и плюрпсубгармонична в области 0 ~ О", то функции и" (р ) 1) и е" также плюрисубгармонвчны в Р, б) Если [ ~ Н (О), то функции !и+ !) ! = шах (О, )т~ ! ) [) и ![[Р (р ) О) плюрисубгармоничны в Р. 25. Пусть 0 — ограниченная область голоморфностп в С". Тогда существует плюрисубгармоническая фуницня и класса С в 0 такая, что (ха0; и(г)<а)930 для всякого а~Я. 26. Пусть К вЂ” компакт в О", х' — произвольная точка из его полиномиальной оболочки Кр, Р— окрестность з' в С" и Я=(0()К)()(дР!1Кр). Тогда для любого многочлена р выполняется неравенство [р(х') !(~ < шах ! р (х) ! (локальный принцип максимума Росси). газ 27. В обозначениях предыдущей задачи пусть функция и (х) плюрисубгармонична в О.

Доказать, что и (за) < зпр и (х) гюз 28. Полиномиально выпуклая оболочка компакта К~ С» совпадает с множеством (з ~ш С": и (з) ~ (зпр и дли всех функций и, плюрисубгармонических в С»). к 29. Обобщенной трубчатой областью называется произведение области В-)ч»(х) на область Р с: Е»(у) (прн О =К»(у) получаем обычную трубчатую область).

Убедиться, что теорема об оболочке голоморфности трубчатых областей (теорема 3 п. 27) не распространяется на обобщенные 1 трубчатые области. [Указание: рассмотреть функцию [(х) = з з в проз!+ за изведении областей ! ) 1 1 1 ! В ((»~аз: — <)»[<1~ и 0 (ущЕз: [у!< — [Уз)< 2 ( ' ' 4 ' 4)' 30. Если р — многочлен или целая функция, то все связные компоненты множества (х гы Р', р (х+ 1у) ~ 0 дли 'ту ~ы Р') вывуклы.

ГЛАВА 1Ч МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА В этой главе мы рассмотрим класс функций с особенностями простейшего типа — мероморфных функций. Главное внимание будет уделено решению проблем Кузена, которые состоят в построении мероморфных функций по заданным главным частям н нулям. Сначала мы рассмотрим элементарное решение этих проблем в простейшнх случаях, аатем познакомим читателей с методами алгебраической топологии, которые приводят к общему их решению.

5 10. Меромарфные функции ЗО. Понятие мероморфнай функции. О п р е делен не 1, Функция 1 называется мероморфнай в области 0 с: С", если ана: 1) голоморфна всюду в О, за исключением некаторага множества д', 2) не продолжаема аналитически нн в одну точку 7' н 3) для любой точки гвен ~ существуют окрестность У и голоморфная в ней функция ф -=я= .0 такие, что голаморфная в й () (У ~ Ф') функция ~р=гф галоморфна продолжается в У. Очевидно, что ф(гв)=0 в каждой точке гв~ У" (иначе вместе с Я и функция 1 продолжалась бы в некоторую окрестность точки гв). Если предположить, чта для любой гв ен.г-' функции ~р и ф не имеют обших множителей, голоморфных в некоторой окрестности гв и равных нулю в этой точке (на такие множители всегда можно сократить ~р и ф), то ф будет обращаться в нуль лишь на множестве Р'. Таким образом, 7' является аналитическим множеством — в окрестности У; своей произвольной точки оно определяется условием У'=(г = Уеа ф(г) =О), (1) где феи Н(Ум).

Множество е7' называется полярным множествам функции ). Однако не во всех точках полярного множества 7' поведение мероморфной функции ) одинаково. Точки гвенФ' делятся иа полюсы, в которых функция ф=(ф отлнчна от нуля, и точки неопределенности, в которых ф=0 (мы по-прежнему считаем, что ~р и ф не имеют общих множителей, голоморфных в точке гв и равных там нулю). При приближении к полюсу функция 425 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ З м1 — неограниченно возрастает, а в окрестности точки неЧ определенности она принимает любое комплексное значение (именно значение сев на аналитическом множестве (г еп Учс ф(з) — ссочр(з) = 0), очевидно, содержащем точку неопределенности го).

Комплексная размерность множества точек неопределенности по меньшей мере на единицу ниже размерности множества полюсов, пбо точки неопределенности характеризуются дополнительным условием ~р (г) = О. П р и м е р. Для фуикции 1 —, мсроморфиой в О, поляриым миожсством служит аиалитическая плоскость (а О), Все точки втой плоскости явля,отся пол~осами, кроме (а=о, ы О), которая есть точка неопределенности. Как и в случае одного переменного, справедлива следующая теорема о рациональных функциях (см. ч.

1, п. 24): Теорема 1 (Вейерштрасс, Гурвиц). Любая функция 1, л~ероморфная в компакгифицированном пространстве п комплексных переменных (С или Р"), является рациональной. Ф Пусть 1 мероморфна в С"; тогда при любом фиксированном (гн ..., Еч ь еч„...„ев)ыС она мероморфна по г, т о о о оч а-1 в С (и = 1, ..., и). По теореме 4 из п. 24 ч. 1 1 является рациональной функцией от переменного г,, Но функция, рациональная по каждому переменному при любых фиксированных остальных, является рациональной (см. задачу 16 к гл. 1).

Характеристики

Список файлов книги