Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Аддитивная проблема Кузена является, таким образом, естественным распространением этой задачи на пространственный случай. Разрешимость задачи для любой плоской области 0 доказывает теорема Миттаг-Леффлера (ч. 1, и. 42). Однако в пространствс существуют области, для которых пе всякая проблема Кузена разрешима. При мер.
Пусть .0=С''~(0] и !р(г!) — функция, голоморфная в С '~(0), с (неустранимой) особенностью в точке г! = О. Рассмотрим покрытие В окрестностями следующих двух типов: для точек и = (п„О), а! ~= О, в качестве с1, возьмем шар В(а, 1п!1), а для точек и=(а„а,), а, Ф О,— шар В(а, !!а,~). 1 ') Условимся считать, чть в каждом 1та имеетси лишь кои«чипе число точек аш 430 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКННИ И ПРОБЛГМЫ КУЗЕНА ~ГЛ. ГУ В окрестностях первого типа положим 1,(е) =, а в окрестт(г ) «2 настях второго типа — ),(г) = 0; эти данные Кузена, очевидно, согласованы (см. схему на рис. 113). Допустим, что поставленная проблема Кузена разрешима н существует мероморфная в 20 функция 1, для которой 1 — ),=6, голоморфна в У, (аееУ вЂ” любое).
Тогда (глобально определенная) функция д =Е21, в каждой окрестности У, первого типа равная 2р(г,)+езЬ„(г) и равная 6„(г) в каждой У, второго типа, голоморфна в У (заметим, что в У, первого типа е, ~ 0). По теореме Осгуда — Брауна е2 продолжается Гаг аг) в точку а=О до целой функции. Но тогда и функция д(ен 0)=ф(е,) (мы пользуемся тем, что плоскость (е2=0) покрывается (а,Я лишь окрестностями первого типа) яв- ляется целой, а у нас Ч2 имеет особен- 22 вость в точке г, = О. Противоречие и доказывает неразрешимость поставленной проблемы Кузена.
Рис, ЫЗ Приведем необходимое и достаточное условие разрешимости проблемы Кузена, ' которое, впрочем, столь близко к самой проблеме, что его можно рассматривать как изменение формулировки. Имея данные Кузена (1„) для покрытия (У,) области 0 с: М, мы можем в каждом пересечении У, = У„й У рассматривать разность (1) голоморфную в У„ в силу условия согласованности. В каждом У„, очевидно, имеем Ь,з+ 6„,= О, (2) а в каждом пересечении У„„= У„() У П У— (3) Любое семейство функций й„зее О(У„), удовлетворяющих условиям (2) и (3), мы будем называть голоморфнь2м ко24нклоз2 для данного покрытия Й'=-(У,) области О.
Если эти функции связаны с данными Кузена соотношениями (!), то коцикл (Ь„з) будем называть соотггтсгвующнз2 проблеме Кузена (1„). Наконец, голоморфный коцикл (Ь, ) мы назовем когомологичныл2 нулю, если для всех о~ А существуют функции й,еи Н(У,) такие, что в каждом пересечении У„а йи йча' (4) ЫЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ 43! % м1 Введенные термины и позволяют сформулировать условие разрешимости, о котором мы гое рнли: Теор е и а !. Для разресиимости проблемьс Кузена (Ц для данного покрытия тг' области /э необходимо.и достаточно, чтобы соответству>ои/ий этой проблеме голоморфньссс коцикл (/с ) был когомологичным нулю.
м Если проблема Кузена (Ц разрешима, то существует функция /, мероморфная в /т и такая, что все разности / — /„= /1, голоморфны в 1/, (а ~ А). Отсюда для соответствующего голоморфного коцпкла й, имеем йа аа " В в а это н означает, что (/с, ) когомологичен нулю. Пусть, обратно, голоморфный коцикл (/с„ч), соответствующий проблеме Кузена (Ц, когомолошшен нулю. Тогда существу>от функции /с е-:Н(Н,) та>".'., что па — и =и „в каждом пересечении (/„„, т.
е. в каж;юм //, имеем /,— /а=/сз — й, нли >а ! />а >В+/са для любых а, бенА. Таким образом, функции /,+Па, мероморфные в (/„не зависят от выбора окрестности На н во всей области Т/ глобально определена мероморфная функция равная /,+Ь, в каждом 1/,. Она н решает рассматриваемую проблему Кузена ь Перефразируем доказанную теорему. Для данного покрытия ((/„) области й голоморфные коцнклы /г, можно складывать (потечечно в каждом пересечении На ), н относительно этой операции они образуют группу, которую мы обозначим 21(ус') и будем называть группой голоморфньсх коциклов для данного покрытия сг'.
В этой группе есть подгруппа В>(тс) голоморфных коциклов, когомологичных нулю. Факторгруппу Л>(чг')/Вс(тс) = Н'(тг) (5) мы будем называть (первой) группой коголсологий для покрытия й' области /) (с голоморфными коэффициентами). Элементами Нс (тг) служат классы когомологичных друг другу голоморфных коциклов. Тривиальность этой группы (Н'(й') =О) означает, что для рассматриваемого покрытия все голоморфные коциклы когомологнчны нулю.
Поэтому теорему ! можно сформулировать в таком виде: Т е о р е м а !'. Для разрешимости проблемы Кузена 'с произвольными (Ц для данного покрытия тг области Р необходс/мо МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА ггл, гу 432 и достаточно, чтобьг соответствующая группа когомологий была тривиальнои'; О' (Ь') = О. (6) Введеггггые вьцпе понятия допускают прямую апалогиго в классе С" бесконечно днффсренцируемых функций. Пусть 0 — область на многообразии М ~ С и 0 = Ц У,— ее покрыа~л тпе окрестностями на М; пусть еще в каждом пересечении У, = Уа Д У задана бесконечно дифференцируемая функция й,„, Если система таких функций (й,а) удовлетворяет условиям (2) н (3), то мы будем называть ее дифференциальным коциклом.
Если прп этом выполняется еще аналог условия (4), т, е. в каждом У„существует функция )г, ее С" такая, что йа — Ь,=да в У, для всех а, 6 чн А, то коцикл (и,')' называется когомологичным нулю. Точно так же, как в голоморфном случае, определяется и первая группа когомологий (с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами). Оказывается, однако, что эта группа всегда тривиальна: Те о р ем а 2. Для любого открьгтого покрьгтия 42' области 0 на многообразии М е- =С любой дифференциальный коцикл когомологичен нулю.
м Построим для (У,) разбиение единицы, т. е. семейство функций е,е= С (О) таких, что: 1) ~~ е„(Р) =! для всех точек аа-Л Р с О, 2) носитель каждой еа компактно принадлежит У, и 3) каждая точка Р ~ 0 имеет окрестность, пересекаюгцугося лишь с конечным числом носителей е,. Для этого построим сначала локально конечное покрытие У';, г ив 1, такое, что для каждого г ен1 задано а(1) я Л, при котором 1)г с У,ггг (существование такого покрытия следует из того, что М является объединением возрастающего семейства компактов; покрытие 7 =()гг) назынагот подчиненным покрытию тс').
Построим разбиение единицы ег ~ С, г ~1, подчиненное покрытию У' (см, п. 11), и положим еа = О, если а еь а(1) ни для какого г, а е,„, = ~я; е', сумма по всем 1Е!, для которых а(1) = а (1). Семейство (е,), очевидно, удовлетворяет указанным условиям. При помощи этого разбиения единицы мы сгладим функции Ьа, заменив их функциями е1г;, в Уга, 1г'г, = О в У,' Уга лгеРолгоРФные Фуггкпии Прп этом мы продолжили 6ла во всю окрестность (/„, но отличной от нуля ояа оказывается лишь в пересечении (/г„. Теперь В КаждОй (/а Лгм МОЖЕМ ОПРЕДЕЛнтЬ ФУНКЦИЮ 6„= ~г 6,'.; здесь суммирование распространяется на все множество индексов, но в каждой точке Р ~ (/, отлично от нуля лишь конечное число слагаемых. Очевидно, все /г„~ С" и в любой точке каждого пересечения (/„ 6а — 6 = ~2~(6г!з — 6';„) = и ег(/гга — 6; ).
(8) Но так как (6„з) — коцнкл, то в каждой точке пересечения (/,Б! в силу (2) и (3) имеем 6; — 6;„=6„+6, =6„, поэтому согласно (8) в каждом (/, Таким образом, семейство (/г) и есть искомое, т. е. (6„) — коцикл, когомологичный нулю ь Читатель, несомненно, заметил, что введенные здесь термины аналогичны тем, которые были введены в п. 14 при изучении дифференциальных форм. Напомним их, ограничиваясь формами первой степени с коэффициентами класса С", которые в локальных комплексных координатах ау, а, имеют вид (9) (напомним, что штрих означает упорядоченное суммирование: 1 «(р(ч(п), Форма (9) называется замкнутой формой или ког/иклом, если дег = О, т. е. да!а да а — — — (р, ч = 1, ..., п). даа даа (1О) за Б.
В. Шабат т. е, формами бистепени (О, !). В отличие от п. 14 мы будем диф- фЕрЕНцнрОВатЬ Этн фОрМЫ ЛИШЬ ПО ПсрЕМЕННЫМ аа (у = 1..., П) и оператор дифференцирования по этим переменным обозначим через д. Таким образом, !гл ш мзгомогеныв еэпкпии и пговлзмы кэзвнк 434 Коцикл (замкнутая форма) ы называется когомологичным нулю (или точной формой), если существует функция 1еи С такая, что в д(, т. е. а = — (э=1, ..., и).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
