Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Пользуясь свободой выбора модели в определении областей наложения, мы будем строить оболочки из несколько необычного материала — линейных мультипликативных функционалов над кольцом голоморфных функций. Пусть дана об.часть наложения (О, и) над С" (в частности, однолнстная область 0с:Са, если гг — естественяое отображение вложения). Обозначим через,0 совокупность всех не тождественно равных нулю функционалов й:Н(0)-ь1:, непрерывных в топологии равномерной сходимостн на компактных подмножествах О, а также линейных и мультнпликативных, т.
е. таких, что йй+У=й(У+9(й)* )Ж йт)=6Ч1) йЫ (1) длЯ всех )о 1янвН(0)'). Множество 0 непУсто: оно содеРжит все функционалы йр ()) =1(Р), ставящие каждой функции ~~ Н (О) ее значение в произвольной фиксированной точке Рбв0. ') Функционалы Ьы0 являются гомоморфнзмамн кольца Н (ат) я кольцо комплексных чисел С. 27 Б. В. Шабат 1ГЛ.
ГМ АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОПОЛЖЕНИЕ 418 Мы хотим ввести на 0 структуру многообразия наложения над С". Для этого прежде всего определим проекцию — отображение 0 в А'". Обозначим через п,(Р) = е, ° п(Р) координаты на (О, и); так как они принадлежат Н(0), то для любого 6~0 определены значения и, = 6(п,). Мы положим Ь(6) =(6(п!), ..., 6(л„)) (2) и тем самым построим отображение й: 0- С". Докажем, что Ь локально взаимно однозначно.
Нам понадобится Л е и м а. Для любого 1тенВ суа(ествуег множество К а 0 такое, что ! 6(1'И«ИЬ для всех ~~Н(0) я Пусть такого множества не существует. Тогда найдется последовательность компактов К,сВ таких, что К,~К„!, Ц К,,= О, и функций 1,енН(0) таких, что ~ Ь(!'„) ()~~~,Ь~К,. На ч ! основании этих неравенств можно выбрать достаточно высокие степени д,. = ~„~' ) ) так, чтобы ~(д,!!к < — „для всех т = 1 ч = 1, 2, ....
РЯД ~ах схоДитсЯ РавномеРно на кажДОм комк-! пактном подмножестве О, и по теореме Вейерштрасса его сумма денН(0). По свойствам гомоморфизма Ь мы должны иметь 6(д)= ~,'! 6(д,), но так как 6(д,) 1 для всех т„то пок ! следпнй ряд расходится. Противоречие доказывает лемму ! Фиксируем 6~0 и построим степенной ряд 6 ()) ~ А Ь (0~)) (Е й (6) )А (4) где 6 =(Ьи..., 6„) — целочисленный вектор н д!А! 0 ~= (ол ~(а), де!! ... деьл Согласно лемме найдем для Ь множество К~В и возьмем произвольное число с<р(К„дВ); по '(3) и неравенствам Коши будем тогда иметь (6(ВА())«8018„«ь,! (!1(~ „, ОБОЛОЧКИ ГОЛОМОРФНОСТИ 419 где Кеч — раздутие множества К. Отсюда видно, что ряд (4) сходится для всех г из полнкруга У(Ь(Ь), г)с:С".
Если еще фиксировать г, то А, можно рассматривать как функционал над кольцом Н(0). Он, очевидно, линееи, а так как из (5) для любой ~~нН(0) вытекает оценка л (Ь.Ч)!(!!И. и, „'и,„,! (см. доказательство теоремы 5 из п. 21), то он и непрерывен. Пользуясь мультипликативностью Ь н правилом Лейбница дифференцирования произведения, легко доказать также, что он мультипликативен. Таким образом, Ь,ы0 и тем самым определено отображение У.,: У(й(Ь), г)-+О. Ь.(~)=,'),' —,', Ь(0" 1) " (8) ~м~о (это предположение не ограничивает общности), Мы должны доказать, что для любого Ь'ен 0(Ь, г)' существует поликруг О (Ь', г') ~ 0 (Ь, г).
Точка а' = й (Ь') ен (7 (О, г), и, значит, найдется Применяя формулу (4) к функциям ~=п,(э=1, ..., и), мы найдем Ь,(я,) =Ь(я,)+Ь(1)(з,— Ь(пл)) =г„т, е. Л(7.,)— = г для всех а~ У(Ь(Ь), г). Но это означает, что отображение (7) локально обращает (2), и локальная взаимная однозначность отображения Ь доказана. Нам нужно доказать, что пара (0, й) является многообразием наложения над С". Для этого иам остается ввести на множестве .0 топологию, превращающую его в хаусдорфово пространство, и убедиться в том, что и н его локальное обращение 7., являются в этой топологии непрерывными отображениями. Топологию в,0 мы перенесем из С" прн помощи отображения А,. Именно, поликруго.я на 0 с центром в точке Ь и радиусом г мы назовем образ 0(Ь, г) поликруга У(я(Ь), г)с С" при отображении (7); ои определен при любом Ьен0 и г < < р (К, д0), где К вЂ” множество, соответствующее функционалу Ь по лемме.
Множество 11 с: 0 мы назовем открыты.а, если для любой точки Ь ~0 существует такое число г>0, что поликруг У(Ь, г)~Я. Остается доказать, что любой поликруг О(Ь, г)с:0 является открытым множеством. Пусть Ь(Ь) = О, т. е. Соответствующий функционал ~гл. Еи АНАЛИ«ИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ число «')О такое, что У(г', Н) ~ У(0, «).
Построим по й' функционал ~Л) =,'~ — „' й'(О'))(г (9) 1А !»О н сравним его с (8). Так как ряд (9) сходится в У(г', «'), то по формуле Тейлора 1.,(Д = ~~~ А, ОАО Щ1 еи(г — г')".. (10) 1А1»О Но дифференцированием ряда (8) для любого 1=((О ..., 1„) получаем 0'(.,(1)= ~ '" ",,'+" й(0'() "-'= ~', — ,'„й(0"'() ' ! А!»!И Н~мь " (мы заменили индекс суммирования й индексом 1 = й — 1), откуда видно, что 0'ь',()) = й,(07).
Пользуясь этим соотношением, мы можем переписать (10) в виде Е, (1) = ~~~~ —, Ее(0'1) (г — г')'. ин >ь Так как Е,=й '(г), то Л,,(ОА~)=й'(ОА1) и, следовательно, .последнее разложение совпадает с (9), т. е. ~,'()) =~,(1) для любой 1я Н(0). Отсюда и следует, что Ь(6', «')~Ь(й, «). Таким образом, доказана Теорема 1. Для любой области наложения (О, и) над С" моясно построить многообразие наложения (О, п), где 0— пространство всех не тождественно равных нулю линейных и мультипликативных функционалов над кольцом Н(0), а проекция й: 0 — «С" определяется по формуле (2). Заметим, что отображение й задает на 0 локальные координаты, в которых 0 можно рассматривать как комплексно аналитическое многообразие.
Построим теперь вложение (О, и) в (О„й) в смысле определения 1 предыдущего пункта. Для этого рассмотрим в 0 функционалы специального вида, которые каждой функции )тН (О) ставят в соответствие ее значение в фиксированной точке Реп0; (11) й 0=1(Р) ОБОЯОчки ГоломОРФиости Тем самым определено отображение Ф: Р-Р6р 421 (12) Области 0 в О, очевидно, непрерывное. Но по построению й о Ф (Р) = Ь (Ьр) = п(Р), что и требуется в определении вложения. Заметим, что отображение Ф локально взаимно однозначно (ибо из соотношения й о Ф = и следует, что локально Ф = (и) ' о я) и голоморфно (как отображение вложения комплексно аналитических многообразии; см.
предыдущий пункт). Обозначим через 0 связную компоненту, содержащую Ф (О), и через й сужение Ь на 0, тогда (О, й) будет областью над С". Т е о р е м а 2. Область наложения (О, й) является оболочкой голоморфности (О, и). я Любая функция 1еиН(0) расширяется (в смысле определения 2 предыдущего пункта) до функции ~Б=Н(0). В самом деле, при фиксированной 1 функционалы 6~0 определяют функцию ~: Ь- 6(1). Эта функция принадлежит Н(0), ибо в окрестности 6 разлагается в степенной ряд Е,()). Так как, в частности, 7 о Ф (Р) = 7(ЬР) = Ьр ()) = 1(Р), то 1 является Ф-расширениемм 1.
Остается доказать, что (0, й) является областью голоморфности, а для этого по теореме 3 предыдущего пункта достаточно убедиться в том, что (0, й) голоморфно отделима и голоморфно выпукла. Голоморфная отделимость доказывается так: если Ь,ФЬ,, то существует функция )~Н(0) такая, что Ь,(()~ЬЯ); расширение этой функции 1(6) =6(1) и есть функция из Н(0), разделяющая точки 6, и Ь,. Чтобы доказать голоморфную выпуклость (О, й), возьмем произвольное множество Кап0 и обозначим р(К, д0)=т. По теореме об одновременном продолжении п.
21 (она без изменений переносится на области наложения) любая 1гнН(0) голоморфно продолжается в поликруг Е7(6, г) с центром в любой точке 6, принадлежащей оболочке Кн,-> множества К относительно класса Н(0). Это означает, что степенной ряд, представляющий функцию ) ° Е, = Е, (1), сходится в поликруге У = = У(й(6), г). Но по построению области 0 она содержит образ У при отображении Е„т. е. Й(6, г) с= 0 и, значит, р(6, д0))т.
Отсюда следует, что р(Кн~ог д0))т, а это и, означает голоморфную выпуклость (0, й) > (ГЛ. Иг АнАлитическОе ИРОдалжГгнте 422 ЗАДАЧИ 1. Пусть.'Р— бнкруг()х|( < 1, (22( < 1) и Š— подмножество единнчаого круга в Г, имеющее 0 своей предельной точкой. Предположим, что функция ) (хь 2,) ограничена в Р, голоморфна по х, при каждом хх, ) 22 ) < 1, и голо- морфна по лз прк каждом а, ш Е. Доказать, что ) голоморфна в Р. 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
