Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 83
Текст из файла (страница 83)
а) (1 !) Коциклы образуют (по сложению) группу, катару|о мы обозначим через 2', а коциклы, когомологичные нулю, — ее подгруппу В'. Факторгруппу Й' = 2'!В' назовем (первой) группой когомологий с коэффициентами в группе дифференциальных форм (мы ставим значки над буквамн, чтобы отличить эти группы от таких же групп, введенных в п. 12 на основе обычного дифференцирования а', по всем координатам з, и г,). В следующем пункте мы убедимся в том, что связь дифференциальных форм с проблемой Кузена достаточно глубока и не исчерпывается сходством терминологии. 32.
Решение для поликругов. Здесь будет доказана разрешимость аддитивной проблемы Кузена в простейшем счучае, когда область О и все области покрытия О, являются поли- кругами. В частности, сюда относится случай покрытия всего пространства С" полнкругами. При доказательстве нам понадобится Лемма.
В любой односвязной области Е> с:С для любой функции у~С неоднородная система Коши — Римана = = к (г) д) (1) разрешима в классе С (В). Если при этом д является голоморфной (или класса С ) функцией некоторого параметра, то и решенае !' голоморфно (или бесконечно дифференциру'емым образом) зависит от него.
< Пусть сначала функция д финитна, т. е. равна нулю вне некоторого компакта из В, По формуле Коши -- Грина (и. 18 ч. 1) инес;1 тогда д(г)= 1 ~ з ! ! ~ де нт (2) .1) д~ о где йо — элемент площади. Рассмотрим теперь функцию (3) МЕРОМОРФНЫВ ФУНКЦИИ % РЛ мы можем продолжить д на всю плоскость, полагая ее равной 0 в С ~,В, и тогда считать, что интегрирование распространяется на С. Сделаем еще замену переменного интегрирования ~-э~+ з, тогда будем иметь 1()= — — 1 1 (' Г Р(з+г) Йа.
(4) Дифференцированием под знаком интеграла (которое, очевидно, законно) находим или, возвращаясь к старому переменному интегрирования, Сравнивая это с (2), мы убеждаемся, что 1' удовлетворяет системе (1). Дифференцировать интеграл (4) по г можно любое число раз, следовательно,1ен С (О). Если д голоморфно зависит от параметра, то и интеграл так же от него зависит. Для финитных д лемма доказана.
В общем случае мы возьмем компактное исчерпывание 6 односвязными областячи 6, (6, а= =6„н () 6,=0) и построим функции д„ен С Э) так, чтобы д„д в 6, и д, = 0 в 6'~,6„,. По доказанному каждая система д) да разрешима в классе С" (6); мы покажем сейчас, что решения 1„ можно выбрать так, чтобы в каждой 6, было 1)„,— (,1<у (~=1, 2, ...). (о) В самом деле, выберем решение ~, по формуле (3), в которой д заменена функцией дн потом возьмем ~з по той же формуле с заменой д=я, и заметим, что разность ~,— ~, голоморфна в 6, (нбо там =(~з — 11) =уз — и, =О). По теореме Рунге (п. 22 д ч, 1) можно подобрать многочлен Р, так, чтобы в 6~ было !1з-й -Р!(я' 1 МЕРОМОРФНЫГ фУЕ!КЦИИ И ПРОЕЛЕМ11 КУЗЕНА !гл.
!у теперь видно, что 1е = 1З вЂ” Р! удовлетворяет системе == д, д) и условию (5) при у=1. Точно такой же прием можно применить и для у=2, 3,,... Построенная последовательность 1, на каждом компакте К е= =Н равномерно сходится к функции ) = )! + 2.',(~„! — )Е) В любой ОР функция ) представляется как конечная сумма функций класса С и суммы равномерно сходящегося ряда из голоморфных функций 1„! — )„где у)р (при у) р на 6„ имеем = == =д). Следовательно, 1~ С Я) и д1уеи д)у д) дг дг )' де д)и =1нп —.. =д всюду в 1); голоморфная зависимость 1 от парада метра, от которого зависит д, следует из теоремы Вейерштрасса (п. 22 ч.
1) ь Приступаем к доказательству объявленной выше теоремы. Теорема. Для любого поликруга В=(ее=С": !е 1<)7,), Ят со, и любого его покрытия й'=(Н„) поликругагаи любая аддитивния проблел!а Кузена разреи1исиа. < С учетом теоремы 1 предыдущего пункта достаточно доказать, что для рассматриваемого покрытия й' группа когомологий Н! (тг) тривиальна. Вместо этого мы сначала докажем тривиальность группы Н', а затем установим, что Н1(тй') изоморфна Й'. 1. Группа Й' тривиальна. Бам нужно доказать, что каждая и замкнутая форма !е = ~~ а,е(е„с коэффициентами из С Ю) е —.1 точна, или, другими словами, доказать разрешимость в классе С (0) любой неоднородной системы Коши — Римана д1= !е (6) для любой формы в ~ С (0) бистепени (О,1), для которой де!= О.
Перепишем (6) в виде системы — =а„у=1, ..., и, д) (7) дгу и ее разрешимость в классе С" (В) будем доказывать индук- цией по и. При а=1 утверждение доказано леммой; предположим, что оно справедливо, когда число переменных не превосходит мьромороныв еункпии % 1а! л — 1, и докажем его справедливость для системы (7) с п переменными. Рассмотрим последнее уравнение этой системы д) — =а дг„л и обозначим через д его решение в круге 1)„=Ц2„~<)г„)— функцию от г„зависящую от '2 =(г„..., 2„,) как от параметра.
Решение системы (7) мы будем искать в виде 1= д+ ср, тогда ~р должна быть голоморфной по г„в 12„, а по остальным ПЕРЕМЕПНЫМ В ПОЛИКРУГЕ '0=-(~ 2, ~< Иы ..., ~ 2„, (<Рва) УДОВЛЕ- творять системе дФ да в=1, ..., и — 1. (8) дзй дзд дз„дан Так как форма пз замкнута и =, то дга дйн дан дг„' дгн дг„ л †! для всех р, ч = 1, ..., п — 1.
Следовательно, форма ~ Ь, Жн н=| замкнута и, по индуктивному предположению, существует решение р ~ С ('(д) системы (8), зависящее от га как от параметра. Остается проверить, что р зависит от г„голоморфио, а для этого достаточно убедиться в том, что правые части системы (8) голоморфно зависят от 2„'). Но мы имеем дан да, д'а дан да„ вЂ” =" =0 д2л дгл дгл дгн дгл д2н для всех т= 1, ..., н — 1 в силу замкнутости формы оз, П.
3руаиа Н'(Ь') изоворфна группе Н'. Пусть (Л„„) — про- извольный голоморфный коцикл для покрытия (1/а). Так как по теореме 2 предыдущего пункта в классе С" каждый копикл когомологичен нулю, то существуют функции д, ен С" (У,) такие, что в каждом пересечении Уа йаа = ИЗ Иа. Для любого а~А рассмотрим форму — %. дл, дгн т=! замкнутую в смысле оператора д.
В пересечении У, в силу (9) имеем газ оза с)дав ') Это утверждевие доказывается ивдукпией по л при помощи леммы. МЕРОА!ОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА [Гл !и чзз ибо коцикл (Ь„з) голоморфен. Поэтому формы е„по существу, определяют единую форму в~С (О), лишь по разному задаваемую в различных окрестностях У„. Форма в, очевидно, замкнута в )9. Мы построили соответствие между голоморфными коциклами (Ь„) и замкнутыми формами в. При этом заданному коциклу соответствует много форм, но если а и о' соответствуют одному (Ь„,1, то в каждом У имеем д — д,=да' — л'„=Ь,, т. е. разности д' — яа = л,' — д„образуют в 0 единук> функцию д~С".
В каждом У„имеем дд,' — дп„=дд, . поэтому е' — в = = дд, т. е. в' отличается от в на точный дифференциал, и, следовательно, обе эти формы принадлежат одному классу эквивалентности. Далее, если (Ь; ~ и (Ь„Б) эквивалентны, то в каждом У„ Ь' = Ь„з+ Ь вЂ” Ь„, (1О) где Ьз и ܄— голоморфные функции; если (Ь„) соответствует форма а, равная дд„в каждой У„то в силу (9) и (!О) имеем Ь'„= да + ܄— (д„+ Ь,), и, значит, (Ь„'„) соответствует форма в', которая в каждой У„равна д(д„+ Ь„) =дд„, т. е.
форма, равная в. Таким образом, фактически мы построили отображение л'/В' — > 2'/В' (11) группы У'(Ю) в Й', это отображение, очевидно, является гомоморфизмом. Покажем, что построенное отображение взаимно однозначно, т. е. что его ядро равно нулю. Пусть это не так, т. е. сушествует не когомологичный нулю коцикл (Ь, ), которому соответствует точная форма ез = д). В каждом У„имеем Ь„а яа — я, н а = дую, в каждой У„, т.
е. там д(я„— )) =0 и д,— 1= Ь,— голоморфная функция. Но тогда Ь„= (1+ Ь„) — () + Ь„) = Ь вЂ” Ь„, и коцикл (Ь ) когомологичен нулю. Остается показать, что (1!) является отображением на Л'. Пусть ыеиС" (АА) — произвольная замкнутая форма бистепени (О, 1). Так как по условию все ӄ— поликруги, то по доказанному в 1 эта форма локально точна: существует я,еиС (У„) такая, что в = дд„в У,.
В пересечениях У, имеем д(да — д,) = = ы — Рз=0, т, е. д — Е„=Ь,„— голоморфные функции. Ояи, очевидно, образуют голоморфный коцикл (Ь„а), который соответствует форме а ь мегоыоРФные Функции 43з. Приведенное доказательство без всяких изменений распространяется на поликруговые области, представляющие собой произведения односвязных областей. На самом же деле аддитивная проблема Кузена разрешима для произвольных областей голоморфности — однолист~ых илп многолистных.
Однако в общем случае доказательство разрешимости этой проблемы требует привлечения новых идей. Мы будем говорить о нпх в следующем параграфе. 33. Применения. Вторая проблема Кузена. Здесь мы хотим привести примеры задач, приводящихся к аддптивной проблеме Кузена. Начнем с одной теоремы о продолжении. Чтобы се сформулировать,. условимся называть голоморфную функцию ~р определяюи)ей функцией комплексно (и — 1)-мерного множества М в некоторой области О, если, во-первых, М П 0=(ге=.Р: <р(г)=О) и, во вторых, если какая либо функция ф~Н(Р) обращается в О на Ч, то она представляется в виде ф = рй, где йе=Н(0). Последнее условие выражает нскоторого рода минимальность определяющдй функции (так, для плоскости (г~ — — О) функцця ~р = г, является определяющей, а ф = гг — нет); определяющая функция, конечно, не единственна, но если ~р, и цч — две определяющие функции одного множества М в О, то их отношение ~,1р, — голоморфная в 0 и отличная от нуля функция.
Чтобы формулировка теоремы о продолжении имела общий характер, мы воспользуемся высказанным без доказательства в конце предыдущего пункта утверждением о том, что аддитивная проблема Кузена разрешима для любой области голоморфности.
Т е о р е м а 1. Пусть Р~С" — произвольная область голоморфности и М ~0 — аналитическое множество, определяюицая функция которого це=-Н(0). Тогда любую функцию д, локально голоморфную на М, можно продолжить до функции 1, голоморфной во всей области 0. < Локальная голоморфность функции д на М означает, что для каждой точки г'енМ найдется окрестность (уь такая, что д продолжается в пей до функции 1ь~1!(11ь). Учитывая это, мы можем рассмотреть такое открытое покрытие (Пь) области Р, что в каждой (1, существует голоморфная функция 1„ совпадающая с д в пересечении 11,ДМ: )ь (оьам = й )оьпм' (1) если (),ПМ пусто, то мы положим 1„= — О.
В любом пересечении Рь Разность 1„— 1 обРащаетсЯ, следовательно, в ЯУль на М П (Т,в, и по свойству определяющей функции в этом пересечении ), — )а = рйьз, где й„енН ((1,а), Мы примем мероморфные ело МГРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ Н ПРОВЛР>МЫ КУЗБНЬ ИГЛ 1У фушсции (Ц ~>р) за данные Кузена для покрытия (6„) (они, очевидно, согласованы), и тогда Ь 1а 1а аа (2) будут образовывать голоморфный коцикл, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
