Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Коцепью — 1-го порядка по определению считается пустое множество, и, значит, кограницей нулевого порядка является лишь нулевой коцикл. Факторизация по нему тривиальна, следовательно, справедлива Теорем а 1. Нулевая группа когомологий с коэффиииентами в пучке «9' нид пространством Х для любого покрытия тс иэоморфна группе глобальных сечений этого пучка; Ньт, Ю') = Г(Х, Ю'). Теперь мы хотим перейти от групп когомологий для покрытий к группам когомологий самого пространства. Для этого нужно построить процесс локализации, аналогичный переходу от прсдпучков к пучкам в предыдущем пункте. Именно, мы частично упорядочим множество покрытий по отношению включения, определим гомоморфнзмы, связывающие группы для двух покрытий, из которых одно мельче другого, и при помощи таких гомоморфизмов перейдем к топологическому пределу.
ПУсть Даны Два откРытых покРытиЯ й =((У«)«л и Уп = (ГВ)а В! будЕМ ГОВОрИтЬ, Чта ВтОрОЕ ПОКрЫтИЕ МЕЛЬЧЕ 454 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗГНА !гл. юу первого (обозначение: 7 < й'), если существует отображение р; В-ьА (8) такое, что (та с:(ур<а) для любого рен В. При заданном р каждой коцепи 6 ен СР(тс) можно сопоставить коцепь рй ен СР(7 ), полагая для каждого мультииндекса реп ВР" значение (рй) равным сужению Ь ! ~ на [тр'). Так как у нас 6(рй)=р(66) для любой коцепи Ь (здесь 6 — кограничный оператор), то р индуцирует отображение Р": Н" (й', оста) — ь НР(7", ата), (9) которое, очевидно, является гомоморфизмом групп. Лемма.
Если 7" (й', то гомоморфизм р' не зависит от выбора отображения (8), м Для р = О утверждение очевидно в силу теоремы 1, поэтому можно считать, что р)~1. Пусть наряду с р задано еще отображение р". В-+А такое, что [та с()р ~Р> для всех Вен В. Определим отображение а: С" (й')- СР(7 ), положив для каждого [з~ В"' с упорядоченными индексами р,<р,< ... <рр и каждой коцепи Ь ее СР 1(тс) (ой)Р= Х ( !) 6Р(В ) ° . ° Р(Р )Р'(Рч) "° Р'(Рр) (1[)) Прямой подсчете) показывает, что для всех 6 ен СР'~ (Ят) о (66) + 6 (ой) = р'Ь вЂ” рй.
(! !) ') В соотиетстнин с принлтыми выше обознзчеииими у нэс В = [Рз ° ° Рр) Р(Р) = (Р(Рз) ° ° ° Р (Рр) ) и УР= ~ао () ° ° 0 Рр,. з) Проведем этот подсчет длл р = !. Пусть р = [рз р~) Р [рч) = ач р'(р )=а'; меем (Рй — Рй) =й .,-й Р аа' аа С другой стороны, (бй)а аз — — йаа йаа +ба а и, значит, )4о по формуле, соотнетстиующей (10) при Р=О, получаем (ой) =6 Ро ао о откуда [6[ой)) = (ай) — (ой) = й , — 6 ,. Таким образом Ро а1а~ аоао [о (66) + 6 (ой)) = 6,, — й Р аоа, аоаз методы тзотии птчков В частности, если Ь вЂ” коцнкл (бЬ = О), то р'Ь вЂ” рЬ = б(оЬ), а значит, рЬ и р'Ь принадлежат одному классу эквивалентности при факторизации по кограницам.
Отсюда и видно, что р и р' соответствует один и тот же гомоморфизм группы Н~ (тг ) в Нт(7) ь По этой лемме р =ри зависит лишь от покрытий (при заданных Х и тт'). Из нее видно также, что ои удовлетворяет условию транзитивности: если 7Ф'(7 СЫ, то (12) риы = рты ' рит Таким образом, мы действительно имеем ту же ситуацию, что и в предыдущем пункте (с той лишь разницей, что вместо множеств здесь рассматриваются системы множеств — покрытия), и можем осуществить желаемую локализацию. Для этого рассмотрим всевозможные открытые покрытия пространства Х н условимся считать элементы )'~Н~(Яг) и лен Н~(7 ) эквивалентными, если существует покрытие ут' такое, что Э'(тг, й (7' и притом р~ ())=р (д). О п р е д е л е н и е 3. Множество классов эквивалентности по этому отношению, т.
е. Игп (ор Нт (Ы, еУ) Нт (Х, ~У), (13) и называется р-й группой когомологий пространства Х (с коэффициентами в пучке тУ). Замечание. Из этого определения видно, что если для пространства Х существуют сколь угодно мелкие покрытия Ю, для которых Н~(й', еУ) = О, то для этого пространства и Н'(Х, Ж-0. 36. Точные последовательности пучков, Начнем с понятия отображения пучков, которое вполне аналогично понятию отображения областей наложения над С" (см. и. 28). Пусть даны два пучка (т9', о) и (К, т) над одним и тем же пространством Х. Отображением пучков мы назовем такое непрерывное отображение топологнческого пространства тт" в,T, для которого всюду в тт т о ~р = и.
(2) Понятие отображения пучков введено так, что оно сохраняет стебли: для любой точки Р енХ имеем у(Рр) сКр. Оно сохраняет также и сечения: если ) — произвольное сечение пучка тт'о над открытым множеством У с=Х, то отображение МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА [гл щ ~во/ непрерывно в (/ и т ° (~а/) =о ° / тождественно (по определению сечения епро), но это означает, что ~ро/ыД,, Отображение ~р: апр-«,T называется голгоагорфизмолг пучков, если оио является отображением этих пучков и, кроме того, сохраняет алгебраические операции во всех стеблях. Гомоморфизм пучков называется их изолгорфизлгом, если у является взаимно однозначным отображением на д'.
Далее, пусть (езР, о) — пучок абелевых групп над Х и множество,7 ~сУ; будем говорить, что (,T, о) является под~гулком пучка (атг, о), если: 1) д' открыто в ~У, 2) о(д)=Х и 3) для любой точки Р енх стебель д'р является подгруппой группы Ррр. Если,7 является подпучком пучка абелевых групп ех, то дпя каждой точки Р базы Х можно образовать факторгруппу Ф р = ег р/Гр', объединение ог таких факторгрупп для всех Р еи Х, наделенное фактортопологией '), называется факториучком на Х и обозначается символом У/д'= Ц Ур/Л,.
(3) х Примеры. 1. Пусть Π— тривиальный пучок над комплексно аналитическим многообразием М (в каждой точке Р ее М стебель этого пучка состоит из одного нуля), С вЂ” постоянный пучок, 6 — пучок ростков голоморфных, а Ю вЂ” пучок ростков бесконечно дифференцнруемых функций над тем же М. Здесь каждый предыдущий пучок является подпучком следующего (проверьте условие открытости из определения подпучка).
2. Пучок 6 над комплексно аналитическим многообразием М является подпучком пучка ол ростков мероморфиых функций иа М. Будем рассматривать 6 и ога как пучки а д д и т и в н ы х групп (относительно сложения); тогда для любой Р ~ М стебель 6р будет подгруппой Мр, и можно образовать фактор- пучок олг/6 = О оЖр/бр, (4) Ром Элементами этого факторпучка являются классы ростков мероморфных в точке Р ~ М функций, разность между которыми является ростком голоморфной функции. (Иными словами, элементами оЖ/6 являются классы эквивалентных ростков (р~аЖр, где $р и (ро считаются эквивалентными, если $р — $рл ее 6р.) Как мы скоро увидим, этот пучок связан с первой проблемой Кузена. ') Пол фактортопологией понимается топология в л'/д', в которой открытыми объявляются множества классов вквивалентности открытых множеств пространства МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПУЧКОВ $ и1 3.
Удалим из пучка зм ростки, соответствующие нулевому сечению (т. е. функции, тождественно равной нулю на М); тогда 222'=ЕЖ~,(О) можно рассматривать как пучок мульти- и л и к а т и в н ы х групп с умножением как групповой операцией. Пучок 6' пусть состоит из обратимых элементов колец 6р, Р енМ, т. е. элементов, соответствующих функциям, которые не обращаются в 0 в точке Р. Очевидно, 6* является подпучком ЧФ*, и можно образовать факторпучок ЧУ*76* = Ц УЖ'р/6".
(б) РРМ .элементами его служат классы ростков мероморфных функций, не равных тождественно нулю, частное которых является ростком голоморфной функции, не обращающейся в нуль (иными словами, это классы эквивалентных ростков 2 ~ А*, где Г и Г' считаются эквивалентными, если 1'(1") ен 6"). Как мы скоро увидим, этот пучок связан со второй проблемой Кузена. Переходим к определению основного в этом пункте понятна точной последовательности пучков.
Пусть даны два гомоморфизма пучков абелевых групп: 2 О 2' 1 ~2' будем говорить, что последовательность (6) точно в 22РО если ! т ~р, = кег Ч22. (7) Напомним, что символом пп Ч2, = ~, (д;) обозначается подгруппа элементов РУО которые являются образами элементов аУ„(образ гомоморфизма Чь), а символом кег~р2 — подгруппа из чали образованная элементами, которые ~р2 переводит в нуль группы сх2 (ядро гомоморфнзма Ч22). Таким образом, точность последовательности (б) означает, что Ч22 переводит в 0 те и только те элементы, которые ~р, приносит из 6;.
Последовательность из любого числа пучков абелевых групп (8) называется точной, если она точна в каждом 2У2. П р и м е р ы. 1. Точность последовательности 0 — Р 2о — У.Р 29» — Р О, (9) где крайние элементы — тривиальные пучки (все стебли которых — группы, состоящие из одного нуля), а 1 — отображение вложения, означает, что ~р является изоморфизмом РбР, МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКПИИ Н ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА !гл. Рч на а9'а. В самом деле, так как кегф=ппт:=О„то отображение ф взаимно однозначно, а так как пиф = кег/ =а9'а, то это отображение на сУз.
2. Последовательность 0-» еУ вЂ” '+,Т вЂ” 'Ф,Т/,9'-+О, (10) где с9' — подпучок Т, ! — отображение вложения, а ф — естественный гомоморфизм, который каждому элементу из д' сопоставляет класс эквивалентности, его содержащий, точна. В самом деле, точность (10) в ата следует из того, чго !' взаимно однозначно, в члене Т вЂ” из того, что ф о! преобразует с9 в нуль, на месте д'/с9Р— из того, что ф — отображение на. 3. Вообще, точность последовательности пучков абелевых групп а9а! — '- о9'з — о9'3 О (11) означает, что фз — гомоморфизм на и с)~з = с~а/ф! (с9!) (12) образ пп!р,=а5аз группы а9'з изоморфен ее факторгруппе по ядру 1сегфа= рз(суа!)).
В заключение приведем идею доказательства') одной из двух теорем, на которых основываются приложения теории пучков в анализе. О второй из этих теорем мы будем говорить в следующем параграфе. Теорема 1 (о точных последовательностях). Пусть пространство Х хаусдорфово и имеет счетную базу открытых множеств. Тогда всякой точной последовательности пучков над Х 0 — » а5" — ч-» с9Р— ~-» аУа — » 0 (13) соответствует точная последовательность групп когомологий 0 — » Нс(Х, сУ) ч -»Нс(Х, а9~) — » Но(Х, с9Р ) — *Ф вЂ” Н'(Х, аУ') — ч*ФН'(Х, с9')» -»Н'(Х, с9 ") — ь-»На(Х, с9ч)— (14) и так далее, по всем размерностям.
м Прежде всего сопоставим гомоморфизмам пучков гомоморфизмы соответствующих групп когомологий. Это делается так: возьмем произвольное открытое множество с/ с: Х и определим гомоморфизм сечений ф: Г((/, с9")-»Г(с/, о9), положив ') Подробное доказательство см. в курсах Хермандсра или Ганнинга и Росси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
