Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Область 0 ) ~Сз. ) я+ з+ з является областью голоморфности, ибо в каждой точке ~~д0 существует барьер: функция ) (е) = )ь',+ я+Без — (е', + е, '+ е,',)) ~еЮ(0) не ограничена при е-ьь. Область односвязна, ибо она гомеоморфна произведению поверхности 5 = )е', + е,', + + ея-,.— 1=0) на единичный круг. Тем ие менее в 0 разрешима не всякая вторая проблема Кузена, например, можно доказать, что не существует голоморфной в 0 функции, которая обращается в нуль на одной из двух компонент пересечения 0 с аналитической плоскостью (Ез=(Е1) и только на этой компоненте '). Приведем еще одну формулировку второй проблемы Кузена. Назовем дивизором а па п-мерном аналитическом многообразии М любую целочисленную линейную комбинацию (и — 1)- мерных подмногообразий из М.
Если все коэффициенты в этой комбинации положительны, то дивизор называется положительным. Для любой функции ), мероморфной иа М и не равной тождественно нулю, т. е. принадлежащей Г(М, оЖ"), можно определить ее дивизор, который обозначается через (1) и представляет собой комбинацию многообразий нулей 1 с положительными 'коэффициентами (порядками) и ее полярных множеств с отрицательными коэффициентами (равными порядкам ') ') Неразрешимость хотя бы одвой проблемы следует также из того, что Н'(Ю, л) = Н'(5, 7) ~ О. Убедиться в последнем можно, заметив, что 5 стягивается в л1ножество своих действительных точек, т. е. двумервую сферу (к~+ха+ха= 1), а для нее Н (й) чь О.
') Порядки нулевых и полярных множеств мероморфной функции будут определены в следующей главе. ПРИМЕНЕНИЯ $ нв 469 со знаком минус). Дивизоры голоморфиых функций положительны. Если две функции )и ),яГ5, аЖ*), где САМ, имеют одинаковый днвизор, то их частное 1,), является геломорфной функцией в У, отличной от нуля; верно и обратное. Поэтому элементы факторпучка Ю=РЖ"/6* можно отождествить с ростками дивизоров. Вторая проблема Кузена теперь формулируется так: на многообразии М задан произвольный дивизор Л ен У; найти функцию (я Г(М, РЯ('), дивизор которой (О=Л В этой формулировке особенно отчетливо видно, что вторая проблема Кузена обобщает задачу о построении мероморфной функции с заданными нулями и полюсами, Как и в случае одного переменного, доказывается, что иа любом многообразии М, на котором разрешима вторая проблема Кузена, каждая мероморфная функция представляется как отношение голоморфных функций.
Пользуясь результатом Серра, который сформулирован в замечании после теоремы 1, можно доказать, что это верно н для любой области голоморфности: справедлива Т е о р е м а 3. Каждая функция 1, мероморфная в области голоморфности О, представляется в 0 как отношение голоморфнык функций, м Представим дивизор ()) функции 1 в виде разности Л' — Л" двух положительных дивизоров из Г(Е>, йг), возьмем элемент о(Л") ев 0'(ст, 6*) и, пользуясь цитированным результатом Серра, найдем положительный дивизор Л"' такой, что о(Л"') = — о(Л"). Так как о — гомоморфизм, то а(Л" +Л"')=О, следовательно (по замечанию после теоремы !), соответствующая проблема Кузена разрешима и существует функция фе— : Г(0, ой'), дивизор которой (ф) = Л" + Л'", Но этот дивизор положителен, следовательно, функция ф голоморфна.
Рассмотрим, наконец, дивизор произведения (1ф) = (Л' — Л") + (Л" + Л"') = Л'+ Лн', он тоже положителен, следовательно, и функция ~р=)ф голоморфна на М. Данная функция 1=~р/ф м 39. Решение д-проблемы и проблемы Леви. В начале этого параграфа мы сформулировали теорему 11, которая решает для областей голоморфности так называемую д-проблему. В общем случае постановка этой проблемы такова: д - п р о б л е м а. Пусть 0 — область на комплексном многообразии и 1 — дифференциальная форма бистепени (р, у+1) нласса С , для которой д~= О.
470 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКШ«И И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА !гл. ~у Требуется найти форму д бистипени (р, д) класса С такую, что да =7. (2) Так как дд = О, то условие (!) является необходимым для разрешимости проблемы. Мы будем решать эту проблему для областей 0 ~( "в два шага: сначала решим ее для форм с коэффициентами из пространства ьз, затем сгладим полученные решения. Для простоты ограничимся наиболее важным для приложений случаем р = О, в общем случае доказательство аналогично'). Для первого шага нам понадобятся некоторые обозначения.
Через Т. (2р, 0), где 0 — открытое множество в е,'" и фен Сз(0), тр) О, мы обозначаем пространство всех дифференциальных форм 1= ~2 ),дг, бистепени (О, д) с коэффициентами из пространства Т.з по мере фс(у' в 0, где д)г — мера Лебега в С". Скалярное произведение ((, Ь) =,')', ~ ),Ь,ф Л . О ПрЕнращаЕт У., В ГИЛЬбЕртОВО ПрОСтраНСтВО С НОрыпй й1'й=(1, 1) * 1. Сведение к о цен к а м. Оператор д, заданный на гладких формах, определяет оператор Т: Ь«-»Т.«ы с плотной обла- 2 2 стью определения 0г; по определению Ь принадлежит 0г, если ~АГ 2 2 2 все — ~ йе(ф, 0). Аналогичный оператор Ь«н — 0„2 обозначим через 5. Так как дд= О, то 5'Т= О. Это значит, что множество значений тсг опепатора Т содержится в пространстве нулей )т'з оператора 5, и д-проблема сводится к установлению равенства гсг = )уз.
2 2 Обозначим через Т оператор 0«ы- Ь«, сопряженный Т: (Тн, Ь)=(л, Т"Ь), д~0г, Ь~0г., (3) Из этого равенства видно, что Ттт* ортогонально )т'г, его замыкание тт' бУдет оРтогональным дополнением к )У'г, если 0г плотно в Т.„ь В этом случае отыскание формы д из равен- 2 ства (2) сводится к отысканию формы дееФ2 такой, что (д, Т*Ь)=(1, Ь), Ьен0г' (4) ') Все необходимые сведения нз функционального анализа, которые мы иснользуем нри доказательстве, можно найти в книге: К. И о сида, хрункцнональный анализ, «Мир», М., 1967.
474 з 12) ПРИМЕНЕНИЯ Так как )сто Мз и )~Ма, то в этом равенстве можно ограни- читься формами йее Ог ПУа. Если мы докажем оценку 1! Ь!! < с р Т и 11, Ь ен 0Т П Уз, (5) где с — константа, не зависящая от Ь, то из неравенства !Кй)!<с!Л 1~Т*й|1, й О М., будет следовать ограниченность линейного функционала Т*й — а -+(~, й), определенного на )сг.. Из общего вида ограниченного линейного функционала в гильбертовом пространстве вытекает существование формы денФг, удовлетворяющей (4).
Эта форма будет решением д-проблемы и будет удовлетворять дополнительному требованию ((йа~Кс~))~(, если 2)г Птсг плотно в Кг, нбо Ц Та ~1)= зпр ((Тй, Ь) (= зцр ! (и, от) ! = — ~~ и ~!. ят ят. ! а1!-1 !о! 1М Итог наших рассуждений подводит Лемма Е Если множество От плотно в Е н, а Ог*ййг плотно в Ят и выполняется оценка (5), то для любой формы )~Уз найдется единственная форма ден тсг' такая, !то да = !"'. Оператор )-+д линеен и непрерывен; имеет место оценка (6) ~~ д ~( ~ (с й 7 !( с той жв постоянной с, что и в (5). м ВвидУ (5) пРостРанство 2(г замкнУто; согласно доказанному выше существует д~Р2, удовлетворяющая (2) и (6). Единственность а следует из того, что Ят* при выполнении условия леммы является ортогональным дополнением к Мг.
Линейность оператора 7- д, обратного к Т, следует из линейности Т; его непрерывность вытекает из (6) ь Г. Мы докажем сейчас, что при некоторых ограничениях на функцию ф условие плотности От П )сг в )сг выполняется. Сначала найдем явное выражение оператора Т' для форм Ь~С (В), равных нулю вне какого-нибудь компакта из О1).
Так как да=а'Х д'.-' йг,Ла ') Этот класс форм мы обозначаем символом Со ()!). мгломотфныг. фкнкнип и пговлгмы ктзень 1гл. ш 472 то (ду, Ь)=~, та ~ дг йыф "('= Х Х „( у7б»й»ррд(l, т 1 о » о где дфм д»» дф б,»с = »р — — »е дг» дг» дгт н ф = — )п»р. Таким образом, Т й= — Х Х б 1»„дгп й СГ(0), (8) и 0т содержит все формы класса С»"(О). Следовательно 0т« 2 плотно в 1.»,ь а для доказательства того, что 0т*П Рт плотно в й»т, нам достаточно любую форму д ~ 0т приблизить формами класса С», (О) по норме д (~д11+з Тут~к Возможность такого приближения устанавливается в следующей лемме.
Обозначим О, =) г= 0; ~ г1<т, р(г, д0) > —,1, »= 1, 2, ..., 1 3 и потребуем, чтобы ф была положительной в 0 и так быстро убывала на д0, что 11ш т' ) ф д(т = О, а = 1, 2, ..., (9) ь» где б,= 0 ~,0,. Лемма 2. Если ф удовлетворяет условию (9), то формы класса С» (О) плотнел в У.»(»р, О), 0 <у~<а; если дай„имеет какие-нибудь частные производнь»е, принадлежащие У.», то наидется последовательность дт ~ Са (О), которая сходится к й в Е, вместе с зтими производными. м Обозначим через 71, характеристическую функпню множества О, Усредним ее с помощью ядра К(; '~1) — неотрицательной ча 0 функции из Сь ((:,"), равной нулю вне единичного шара; именно положим Х,(г) = ( уз,(~) К(4т, 'Ц вЂ” г ~)д)т (( К(4т1ь ~) д)т) . (10) Функция 7»енС,",(О), она равна 1 на 0„н 0 вне 0»д любая производная от Х, порядка а пе превосходит по модулю вы", где постоянная с, не зависит от т. Формы д,(г) = ( у (~) ) Я) К (бт! ~ — г ) ) ~Ь' ( ( К (5т ~ ~ () Л') (10') ПРИМЕНЕНИЯ принадлежат Со (О) и сходятся в Е„к д.
Так как ) ~ (~) К (бт ~ ~ — г 1) до' = ) а2 (~ + г) К (5т1ь ~ ) д(~, то 0"И (г) =(Р"д. (г)+ . + + ) у(~) Рй„(~) К(5о~~ — г() д(т( ~ К(бт~ ~1) Л'1 где Рго„получилось в результате дифференцирования произве- дения дно по правилу Лейбница; РА, является линейной ком- бипациен производных от Х„порядка <а. Так как ~ РХ,,~ ~(с'н", где постоянная с', не зависит от т, то мы получаем ввиду (9), что Р'уо-«О'д в Ео, ь Так как операторы д и Т' линейно выражаются через пер- вые производные, то мы получаем Следствие. Если ф удовлетворяет (9), то формо2 класса Со (Р) плотны в пространстве Рт ПРз по норме Ь вЂ” «'ой '+ + оТ'Ь'о'+11ойй и плотны в Рт по норме и — «1',и'о+~'Тд(~. Из последнего следует, что От П)от плотно в Кт. Таким образом, оценку (5) достаточно получить для форм из Со (0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
