Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Без ограничения общности можно считать, что ь= О и что Ь = = В Д(г„= 0) непусто. Тогда непусто и открытое множество д =РД(е„=О), которое мы рассматриваем в пространстве С" ' точек 'е=(г„..., г„!), а '0 является его граничной точкой. Мы обозначим через ах е- 'г проекцию С" в С" и через !': 'г-+('г, 0) вложение множества !! в Р, так что !(4~) мы рассматриваем «ак подмножество Р. Пусть рУ '(0) — совокупность (О, !7)-форм класса С" (О). Для любой формы арне Р(!() от переменной 'г мы обозначим через и'а ту же а, рассматриваемую как форму от г на множестве д Х С.
Символом !'й будем обозначать форму от 'з, которая получится из формы й ен У "(0), если положить ри-! в последней г„= 0; таким образом, !*О ~ РГР (!(). Прежде всего докажем, что система до = а (!8) и-! Рис. !!з. разрешима в классе ру и (р!) для любой замкнутой формы а~ У Р(д). Для этого рассмотрим множество 0 =(генР: п(е)Фд), заштрихованное на схематическом рис. ! !5. Так как оно не пересекается с !(д) и оба этих множества относительно замкнуты в 0, то можно построить функцию фен С (0), равную ! на !(д) и 0 на 6.
С ее помощью мы преобразуем а в форму Пи=фи*а (которая полагается равной 0 на 6, хотя и'а там и не определена); очевидно, Орен рг 4(0) и !"Ы = а. Далее полагаем (! = й)р — г„йр, где йрен рУ «(0) подбирается так, чтобы было дй = О. Этот подбор осуществим, нбо последнее равенство пере- — 1 писывается в виде системы дйр — — дйр, в правой части кото- ии ! — * и+! рой стоит форма — дф Л и а ен рР ' (Р), замкнутая в силу замкнутости и'а, а такая система разрешима в классе еУ Р(0) по условию.
Очевидно, мы имеем г*й =!'()р — — а. Так как дй! = О, то по условию существует форма з ~,Р"Р ' (0) такая, что дХ=(!. Полагая о=!'Е, мы найдем, что ори рэ ' '(!() и да = 43О МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЪ! КУЗЕНА (гл. !У = !'дХ=г*й=ш, т. е. что а является искомым решением системы (18). Так как д — открытое множество в е,'" ', то по индуктивному предположению из доказанной разрешимости системы (18) следует, что с( состоит из областей голоморфности. Поэтому существует функция 1 ен Н(д), не продолжаемая голоморфно в окрестность замкнутого шара Ь.
Рассматривая 1 как замкнутую форму из,У о(с(), мы, как и в предыдущем абзаце, найдем форму г" ен,У о(0) такую, что дг" = О и !"г" =(. Построенная г" яв.чяется голоморфной функцией в О, а так как сужение Р !я =1, то Р не продолжаема голоморфно в окрестность замкнутого шара В м Таким образом, доказана Т е о р е м а (О к а). Любая псевдовыииклая область 0 ~ С" является областью голоморфности. Как показывает теорема 3, условие псевдовыпуклости области 0 с С" является не только достаточным, но и необходимым условием для разрешимости д-проблемы для форм любой бистепени (О, д).
Мы закончим этот параграф доказательством еще одного критерия для областей голомор2~ности. Те о р е м а 4. Область 0 с: С является областью голомор„!- ности тогда и только тогда, когда НР'(20, 6) =О, р = 1, 2, ..., ц. м Согласно теореме 1 п. 37 НР(0, ! ) = 2Р!ВР. Поэтому из тривиальности всех этих групп когомологий следует разрешимость д-проблемы в области 0 для форм любой бистепени (О, р), По теореме 3 0 является областью голоморфности. Обратное утверждение составляет содержание следствия п. 37 > ЗАДАЧИ Р !. (У. Рудин). Если функция 1 —, где Р и Я вЂ” взаимно простые () ' полиномы, голоморфна в области В ~ 1'", то в этой области О Ф О. 2, Если функция 1 голоморфна в бикруге (1«( < 1, ! ш(< 11 и ие продолжается голоморфно в точку («з, е! '), где 1«2 ~ < 1, то она не продолжается и во зсе точки («, з '), где !«! < 1.
3. Убедиться в том, что функция з, голоморфнзя в шаре В шз = (!«12+! шр < 1), непрерывная в В и равная нулю на плоскости «О, не представима в виде «42(«, ш), где ф голоморфна в В и непрерывна в В. (3 б 3 51 4. Пусть В 4 — < ! «1 « —, — 1 ш 1 < — 1 — область в Ез! множество 14 4' 4 М=К«, ш) 2н Вч ш=«+ Ц состоит из двух компонент: М,-((«, ш)) ~М: 1т «= =!ты ) О) и Мз-М'~,М„отстоящих на положительнои расстоянии друг от друга. Доказать, что вторая проблема Кузена: 12= 1 в В ' Мь )з=ш-«-1 ЗАДАЧИ 481 в 0 ", М, (данные согласованы) — неразрешима.
(Указание: в случае разрешимости мы получили бы функцию ( щ Н (О) такую, что ) Ф 0 в 0'ч, М~ и Х=Н(г — ш — 1) Ф 0 в 0'~,Мз, 'сравнивая приращения аргументов Л! н Л! функции ( на окружностях (!з(=1, ш= ш Ц и соответствующие приращения аргументов Л и Л функции д, мы получим, что Л, = Л = Л и Л =Л, я я г л я к хотя очевидно, что ~ Л! — Л ~ = 2п.~ я -л 8. Пусть 0 — область голоморфности в С и (гш0: «,=0)=М,()Ме, где М, и Ме — открытые непересекающиеся множества на плоскости з, = 0; тогда существует функция (ш Н (О) такая, что (= 1 на М1 и функция (!з, голоморфна в окрестности Мь (У к а з а н н е: воспользоваться разрешимостью д-проблемы.) 8. (Х. Р о с с и).
Пусть К вЂ” полиномнально выпуклый компакт в С", точка зе <в К и функция ), голоморфная в окрестности гг,е этой точки, такова, что )(зе) =0 и )(е! < О на Ы РК ~, ае. Тогда существует функция д, голоморфная в окрестности К и такая, что й(г') = 1, а (й(г) ! (1, если ге К'чзе. 7. Пучок еу на многообразии М называется тонким, если для любого локально конечного покРытиЯ Нс, ашК на ер можно опРеделить Разбиение единицы, т. е, семейство гомоморфизмов фл, аевК пучка у в себя такое, что: 1) ~ фл — тождественное отображение и 2) для каждого ашу найдется а замкнутое подмножество Уо ~ Нл такое, что фс ( У л) = 0 для всякого х ~ У„.
Доказать, что для тонкого пучка ер Н (М,У)=0, если д)1. Убедиться, что пучок У ч' ч~ ростков дифференциальных форм бнстепенн (Р, е) с коэффициентами класса С на комплексном многообразии М является тонким. 8. Пусть у" — пучок на многообразии М, К вЂ” замкнутое подмножество М и (6о) — некоторая фундаментальная система окрестностей К.
Предполомсим, что Н~ (6в, ер ) = 0 для всех а (р фиксировано); доказать, что Н~ (К, Г) = О. 9. Пусть Х вЂ” компакт, С (Х) — кольцо всех непрерывных комплексных функций иа Х, 6 — группа (по умножению) всех функций из С (Х), нигде на Х не равных нулю, и Š— подгруппа 6, состоящая из функций вида еу, )ш С (Х). Доказать, что 6!'Е = Н' (Х, Х). Это равенство справедливо и в случае, когда Х является счетным объединением компактов. (Указание; воспользоваться точностью последователье ности 0 ь Х -ь 6 — ь Р-ьО, где !т и Р— пучки ростков элементов С (Х) и 6 и е — отображение )-» е Яг!. ! 10.
Пусть К вЂ” компакт в С", Р (К) — подкольцо С (К), состоя:цее из функций, которые равномерно на К приближаются полиномами от 6р 6ПР(К) и Е„=Е()Р(К), где 6 и Е определены в задаче 9. Доказать, что 6Р(ЕР Н'(К, Х), если множество К полиномиально выпукло; привести пример комяакта К <: С", для которого этот изоморфизм не имеет места. Доказать, что в общем случае 6ИР Н'(Кя Х) где К вЂ” рациональная оболочка компакта К. л 31 Б.
В, Шабат 482 меРОНОРФные Функции н пРОБлемы кузенА (гл. Нт 1!. Пусть К вЂ” компакт в С" и функция [ голоморфна в окрестности К. Предположим, что Н'(К, Х) 0 и ОФ[(К); тогда существует голоморфная на К функции Е такая, что ек [ (голоморфный логарифм [). 12. Пусть Х-компакт, функция [ щ С (Х) и Н! (х ы Х: [(л) -0). Предположим, что Н'(Х'~,НВ Х) 0; тогда для всякого целого й > 0 в С(Х) существует функция [ ~ .
13. Пусть 6 — пучок ростков дифференциальных форм бистепеня (», 0) с голоморфными коэффициентами на комплексном многообразии М, Х»' ч— группа замкнутых и ВР ч — группа точных форм бистепени (р, д) с коэффициентами класса С относительно оператора д.
Доказать теорему Дольбо: и' (м, е') г' 'Чв р,о а [Указание: воспользоваться точностью последовательности 0 -ь6 -ь д Р р, л -ьд» ' — ь ..., которая следует из локальной разрешимости д-проблемы, н задачей 7.) 14. Пусть  — область на комплексном многообразии М (комплексной) размерности я, Хор я Вч — соответственно замкнутые и точные относи- тельно д формы бистепени (О, и) с коэффициентами класса Со (В) и В" = Во ч, где последняя определена в задаче 13. Доказать, что Нч (В, 6) = Хор[Во, д > О, а если п > 1, то Н (П,Е) =г,о/Вч'. Для и 1 привести пример, когда последнее соотношение неверно. 13.
Если  — произвольная область в С", то Н" (В, 6) =О. [Указание! воспользоваться задачей 14.) 18. Пусть  — область голоморфности в С" и форма [ класса С (В), такова, что д[ голоморфна в В (т. е. д[ — форма бистепени (», 0) с голоморфными коэффициентами); тогда существует форма д степени р — ! класса С~ (В) такая, что форма [ — дй голоморфва. а 17.
(С е р р). Пусть В <= С вЂ” область голоморфности, 2 и  — группы замкнутых и точных голоморфных форм бистепени (», 0) относительно оператора д д — д. Доказать, что Н'(В, С) = Х'/В'. [Указание: воспользоваться теоремой де Рама и задачей 16.[ 18. Пусть Э вЂ” область голоморфности в Ся и Га(г') — пучок ростков голоморфных в Ю функций, равных 0 вместе с производными порядка ( й в фиксированной точке за[н В. Доказать, что Н (В Яз(з)) О, если д>!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
