Главная » Просмотр файлов » Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ

Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 92

Файл №1129975 Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ) 92 страницаБ.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975) страница 922019-05-12СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 92)

Без ограничения общности можно считать, что ь= О и что Ь = = В Д(г„= 0) непусто. Тогда непусто и открытое множество д =РД(е„=О), которое мы рассматриваем в пространстве С" ' точек 'е=(г„..., г„!), а '0 является его граничной точкой. Мы обозначим через ах е- 'г проекцию С" в С" и через !': 'г-+('г, 0) вложение множества !! в Р, так что !(4~) мы рассматриваем «ак подмножество Р. Пусть рУ '(0) — совокупность (О, !7)-форм класса С" (О). Для любой формы арне Р(!() от переменной 'г мы обозначим через и'а ту же а, рассматриваемую как форму от г на множестве д Х С.

Символом !'й будем обозначать форму от 'з, которая получится из формы й ен У "(0), если положить ри-! в последней г„= 0; таким образом, !*О ~ РГР (!(). Прежде всего докажем, что система до = а (!8) и-! Рис. !!з. разрешима в классе ру и (р!) для любой замкнутой формы а~ У Р(д). Для этого рассмотрим множество 0 =(генР: п(е)Фд), заштрихованное на схематическом рис. ! !5. Так как оно не пересекается с !(д) и оба этих множества относительно замкнуты в 0, то можно построить функцию фен С (0), равную ! на !(д) и 0 на 6.

С ее помощью мы преобразуем а в форму Пи=фи*а (которая полагается равной 0 на 6, хотя и'а там и не определена); очевидно, Орен рг 4(0) и !"Ы = а. Далее полагаем (! = й)р — г„йр, где йрен рУ «(0) подбирается так, чтобы было дй = О. Этот подбор осуществим, нбо последнее равенство пере- — 1 писывается в виде системы дйр — — дйр, в правой части кото- ии ! — * и+! рой стоит форма — дф Л и а ен рР ' (Р), замкнутая в силу замкнутости и'а, а такая система разрешима в классе еУ Р(0) по условию.

Очевидно, мы имеем г*й =!'()р — — а. Так как дй! = О, то по условию существует форма з ~,Р"Р ' (0) такая, что дХ=(!. Полагая о=!'Е, мы найдем, что ори рэ ' '(!() и да = 43О МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЪ! КУЗЕНА (гл. !У = !'дХ=г*й=ш, т. е. что а является искомым решением системы (18). Так как д — открытое множество в е,'" ', то по индуктивному предположению из доказанной разрешимости системы (18) следует, что с( состоит из областей голоморфности. Поэтому существует функция 1 ен Н(д), не продолжаемая голоморфно в окрестность замкнутого шара Ь.

Рассматривая 1 как замкнутую форму из,У о(с(), мы, как и в предыдущем абзаце, найдем форму г" ен,У о(0) такую, что дг" = О и !"г" =(. Построенная г" яв.чяется голоморфной функцией в О, а так как сужение Р !я =1, то Р не продолжаема голоморфно в окрестность замкнутого шара В м Таким образом, доказана Т е о р е м а (О к а). Любая псевдовыииклая область 0 ~ С" является областью голоморфности. Как показывает теорема 3, условие псевдовыпуклости области 0 с С" является не только достаточным, но и необходимым условием для разрешимости д-проблемы для форм любой бистепени (О, д).

Мы закончим этот параграф доказательством еще одного критерия для областей голомор2~ности. Те о р е м а 4. Область 0 с: С является областью голомор„!- ности тогда и только тогда, когда НР'(20, 6) =О, р = 1, 2, ..., ц. м Согласно теореме 1 п. 37 НР(0, ! ) = 2Р!ВР. Поэтому из тривиальности всех этих групп когомологий следует разрешимость д-проблемы в области 0 для форм любой бистепени (О, р), По теореме 3 0 является областью голоморфности. Обратное утверждение составляет содержание следствия п. 37 > ЗАДАЧИ Р !. (У. Рудин). Если функция 1 —, где Р и Я вЂ” взаимно простые () ' полиномы, голоморфна в области В ~ 1'", то в этой области О Ф О. 2, Если функция 1 голоморфна в бикруге (1«( < 1, ! ш(< 11 и ие продолжается голоморфно в точку («з, е! '), где 1«2 ~ < 1, то она не продолжается и во зсе точки («, з '), где !«! < 1.

3. Убедиться в том, что функция з, голоморфнзя в шаре В шз = (!«12+! шр < 1), непрерывная в В и равная нулю на плоскости «О, не представима в виде «42(«, ш), где ф голоморфна в В и непрерывна в В. (3 б 3 51 4. Пусть В 4 — < ! «1 « —, — 1 ш 1 < — 1 — область в Ез! множество 14 4' 4 М=К«, ш) 2н Вч ш=«+ Ц состоит из двух компонент: М,-((«, ш)) ~М: 1т «= =!ты ) О) и Мз-М'~,М„отстоящих на положительнои расстоянии друг от друга. Доказать, что вторая проблема Кузена: 12= 1 в В ' Мь )з=ш-«-1 ЗАДАЧИ 481 в 0 ", М, (данные согласованы) — неразрешима.

(Указание: в случае разрешимости мы получили бы функцию ( щ Н (О) такую, что ) Ф 0 в 0'ч, М~ и Х=Н(г — ш — 1) Ф 0 в 0'~,Мз, 'сравнивая приращения аргументов Л! н Л! функции ( на окружностях (!з(=1, ш= ш Ц и соответствующие приращения аргументов Л и Л функции д, мы получим, что Л, = Л = Л и Л =Л, я я г л я к хотя очевидно, что ~ Л! — Л ~ = 2п.~ я -л 8. Пусть 0 — область голоморфности в С и (гш0: «,=0)=М,()Ме, где М, и Ме — открытые непересекающиеся множества на плоскости з, = 0; тогда существует функция (ш Н (О) такая, что (= 1 на М1 и функция (!з, голоморфна в окрестности Мь (У к а з а н н е: воспользоваться разрешимостью д-проблемы.) 8. (Х. Р о с с и).

Пусть К вЂ” полиномнально выпуклый компакт в С", точка зе <в К и функция ), голоморфная в окрестности гг,е этой точки, такова, что )(зе) =0 и )(е! < О на Ы РК ~, ае. Тогда существует функция д, голоморфная в окрестности К и такая, что й(г') = 1, а (й(г) ! (1, если ге К'чзе. 7. Пучок еу на многообразии М называется тонким, если для любого локально конечного покРытиЯ Нс, ашК на ер можно опРеделить Разбиение единицы, т. е, семейство гомоморфизмов фл, аевК пучка у в себя такое, что: 1) ~ фл — тождественное отображение и 2) для каждого ашу найдется а замкнутое подмножество Уо ~ Нл такое, что фс ( У л) = 0 для всякого х ~ У„.

Доказать, что для тонкого пучка ер Н (М,У)=0, если д)1. Убедиться, что пучок У ч' ч~ ростков дифференциальных форм бнстепенн (Р, е) с коэффициентами класса С на комплексном многообразии М является тонким. 8. Пусть у" — пучок на многообразии М, К вЂ” замкнутое подмножество М и (6о) — некоторая фундаментальная система окрестностей К.

Предполомсим, что Н~ (6в, ер ) = 0 для всех а (р фиксировано); доказать, что Н~ (К, Г) = О. 9. Пусть Х вЂ” компакт, С (Х) — кольцо всех непрерывных комплексных функций иа Х, 6 — группа (по умножению) всех функций из С (Х), нигде на Х не равных нулю, и Š— подгруппа 6, состоящая из функций вида еу, )ш С (Х). Доказать, что 6!'Е = Н' (Х, Х). Это равенство справедливо и в случае, когда Х является счетным объединением компактов. (Указание; воспользоваться точностью последователье ности 0 ь Х -ь 6 — ь Р-ьО, где !т и Р— пучки ростков элементов С (Х) и 6 и е — отображение )-» е Яг!. ! 10.

Пусть К вЂ” компакт в С", Р (К) — подкольцо С (К), состоя:цее из функций, которые равномерно на К приближаются полиномами от 6р 6ПР(К) и Е„=Е()Р(К), где 6 и Е определены в задаче 9. Доказать, что 6Р(ЕР Н'(К, Х), если множество К полиномиально выпукло; привести пример комяакта К <: С", для которого этот изоморфизм не имеет места. Доказать, что в общем случае 6ИР Н'(Кя Х) где К вЂ” рациональная оболочка компакта К. л 31 Б.

В, Шабат 482 меРОНОРФные Функции н пРОБлемы кузенА (гл. Нт 1!. Пусть К вЂ” компакт в С" и функция [ голоморфна в окрестности К. Предположим, что Н'(К, Х) 0 и ОФ[(К); тогда существует голоморфная на К функции Е такая, что ек [ (голоморфный логарифм [). 12. Пусть Х-компакт, функция [ щ С (Х) и Н! (х ы Х: [(л) -0). Предположим, что Н'(Х'~,НВ Х) 0; тогда для всякого целого й > 0 в С(Х) существует функция [ ~ .

13. Пусть 6 — пучок ростков дифференциальных форм бистепеня (», 0) с голоморфными коэффициентами на комплексном многообразии М, Х»' ч— группа замкнутых и ВР ч — группа точных форм бистепени (р, д) с коэффициентами класса С относительно оператора д.

Доказать теорему Дольбо: и' (м, е') г' 'Чв р,о а [Указание: воспользоваться точностью последовательности 0 -ь6 -ь д Р р, л -ьд» ' — ь ..., которая следует из локальной разрешимости д-проблемы, н задачей 7.) 14. Пусть  — область на комплексном многообразии М (комплексной) размерности я, Хор я Вч — соответственно замкнутые и точные относи- тельно д формы бистепени (О, и) с коэффициентами класса Со (В) и В" = Во ч, где последняя определена в задаче 13. Доказать, что Нч (В, 6) = Хор[Во, д > О, а если п > 1, то Н (П,Е) =г,о/Вч'. Для и 1 привести пример, когда последнее соотношение неверно. 13.

Если  — произвольная область в С", то Н" (В, 6) =О. [Указание! воспользоваться задачей 14.) 18. Пусть  — область голоморфности в С" и форма [ класса С (В), такова, что д[ голоморфна в В (т. е. д[ — форма бистепени (», 0) с голоморфными коэффициентами); тогда существует форма д степени р — ! класса С~ (В) такая, что форма [ — дй голоморфва. а 17.

(С е р р). Пусть В <= С вЂ” область голоморфности, 2 и  — группы замкнутых и точных голоморфных форм бистепени (», 0) относительно оператора д д — д. Доказать, что Н'(В, С) = Х'/В'. [Указание: воспользоваться теоремой де Рама и задачей 16.[ 18. Пусть Э вЂ” область голоморфности в Ся и Га(г') — пучок ростков голоморфных в Ю функций, равных 0 вместе с производными порядка ( й в фиксированной точке за[н В. Доказать, что Н (В Яз(з)) О, если д>!.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
7,13 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6451
Авторов
на СтудИзбе
305
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее