Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 93
Текст из файла (страница 93)
[Указание: предварительно установить изоморфнзм с подходящей факторгруппой форм бнстепени (О, д) относительно д.) 19. Пусть а!У1, я=1, 2, ...,— дискретное множество точек в области голоморфности В~С" и рт-многочлеи по з степени йт, Доказать существование функции [ щ Н ([З), у которой начальный отрезок разложения Тейлора степени ~ (Ач в каждой точке асо совпадает с »Р [Указание: сначала доказать, что гП (В,Я) О, где Н вЂ” пучок ростков голоморфных в В ЗАДАЧИ 483 функций, равных нулю вместе с производными порядка ~( йт в точках а ", затем применить теорему 1 и. 36 к точной последовательности О -ь зт -ь 6 -ь -з 6/гт -э О.) 20.
Пусть  — область в С", для которой Н'(0,6) О, и и: С"-з Сев проекция иа первые две координаты. Предположим, что: 1) в В имеется аналитическая поверхность, которая иа р (В) проектируется взаимно однозначно, и 2) для каждого лги р(0) множество и"'(а)()В связио и односвизио (т. е. иа ием всякий замкнутый путь гомотопеи нулю); тогда р(0)— область голоморфиости в Ст.
[Указание: см. теорему 3 п. 37.[ 21. (Гладкая зависимость от параметра решения 1 проблемы Кузена). Пусть  — область в С", для которой Н'(В, 6) =О, и (Уо (Г)) — покрытие, в котором каждый злемевт непрерывно зависит от параметра О изменяюшегося на некотором многообразии б. Пусть [ (з, 1) — функция класса Сз, мероморфвая по з в Уо(1) (гладкость-вяе объединения полярных множеств). Предположим, что [~(г, Г) — [р(з, 1) ш Н (Уо(Г)() Уб Р) ) для любых а, [) и д тогда найдется функция [(з, г) в В х о, мероморфная по з и класса С вяе объединения полярных множеств, такая, что [(г, Г) — [о (г, Г) ~ ь гшН (У (Г)) для любых а и Д [Указание: воспользоваться существованием ограниченного линейного оператора, обратиого к д; см, замечание 1 после теоремы 2 п. 39.) 22.
(Г. М. Хенкин). Пусть  — строго псевдовыпуклая область в С" с границей класса С'. Доказать сушествование гладкой функции [(з, ~) в 0 Х дВ, где  — некоторая окреспюсть В, голоморфиой по з и такой, что (г ш Сс [(з, Ь) О)()В (Ь). [Указаиие: воспользоваться задачей 21 и доказательством теоремы Леви— Кшоски из п. 24.[ ГЛАВА и ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ Основная тема этой главы — особенности голоморфных функций нескольких переменных.
Как мы видели, такие функции не могут иметь изолированных особых точек: место последних занимают особые множества. Их изучением мы займемся несколько позже, а сначала рассмотрим теорию вычетов мероморфных функций, которая связана с особенностями простейшего типа — полярными множествами. 5 13. Многомерные вычеты Напомним ситуацию, в которой появляются вычеты в плоском случае. Пусть в области В ~О задана функция 1, голоморфиая всюду, кроме конечного числа особых точек а, (э=1, ..., У). Обозначим через у,: г=а,+г,е", 1ен(0, 2и), окружность достаточно малого радиуса г,.
Йитегралы от по таким окружностям, деленные на 2п1', называются вычетами Г в ее особых точках: Окружности (у,) составляют базу одномерных гомологий области О'=0'~ ()(ач). Это означает, что каждый одномерный цикл (замкнутый путь) у с: 0' гомологичен некоторой линейной комбинации циклов у, с целыми коэффициентами: у- Х й,у,.
ч ! Если это разложение известно и известны вычеты Я„то по свойствам интегралов ) 1' дг = 2п1 ~ Ь.,К, У (теорема о вычетах). Аналогичная ситуация имеет место и в пространстве. Однако при переходе к пространственному случаю практическое вы- мнОГОмеРные Вычеты 488 числение интегралов наталкивается на ряд трудностей, главным образом топологического характера. 40. Теория'ййартинелли. Для изложения этой теории понадобятся некоторые топологические понятия. Пусть на ориентируемом многообразии М' действительной размерности г заданы два симплекса ЯР=(Р, Р„..., Р ) и Т' =(Р,1;1О...,ЯР) дополнительной размерности (это означает, что р + с = г). Пусть еще эти симплексы т р а н с в е рс а л ь и ы, т.
е., кроме Р, пе имеют других общих точек (рис. 116). Мы скажем, что г индекс пересечения этих симплексов в точке Р равен +1, если ориентация г-мер- рм ного симплекса (Р, Р „..., Р,, Ян ..., 11 ) Р и) Р, совпадает с ориентацией М', и равен — 1 в противоположном случае. (На г рис. 116, и индекс пересечения симплек- 5 сов 5' и Т' в И' равен +1, а на ! рис. 116, б равен — 1.) / г ! Пусть теперь в М" заданы две цепи 1! ая = ~~~~ а~ЯР~ и т" = ",~ 6,Т, дополнительной 6) размерности (р+д=г), пересекающиеся друг с другом трансверсально в конечном числе точек, которые мы будем счи- Рес. ! 1б.
тать общими вершинами симплексов, составляющих эти цепи. В каждой точке пересечения мы умножаем индекс пересечения снмплексов, принадлежащих этим цепям, на произведение коэффициентов, с которыми симплексы входят в цепи. Сумму таких произведений по всем точкам пересечения цепей ае и тч мы назовем индексом пересечения этих цепей н обозначим символом 1(ая, те). (На рис. 117 индекс пересечения цепей а' н т' в Рз равен!(а',т') = 2 1+ 1 ( — 1)+ 1 (-1) = О.) Отметим следующие простые свойства индекса пересечения: !) ар не нти р уе и о стГН Рик 117. 1(о", тч) = — 1(- ая, тч) =- — 1(ае, — тч)! 2) к о м м у т а т и в н о с т ь (или антикоммутативность): 1(оя, тч) = ( — 1)Р41(те, ае); 3) дистрибутивность 1(аР, тч + т') = 1(аг, т') + 1(оя, ту).
!гл. и осозенностн н вычеты 486 Отметим еще одно, геометрически очевидное свойство: если обе цепи а» и те являются циклами (т. е. их границы да» и дте равны нулю) и хотя бы одна из них является циклом, гомологичным нулю на М" (т. е. границей некоторой цепи, принадлежащей М'), то 1(а», те) = О. Далее, рассмотрим на ориенгируемом многообразии М' два гомологичных нулю цикла а» и т» ' (пусть по-прежнему р+ е=т~! предположим, что они пе пересекаются. Существует цепь Т'с:.М' такая, что т' =дТ', и если Т~»~М" — еще какая-либо цепь с границей т» ', то по отмеченным свойствам индекса пересечения (а', Т")- (', Т()='(а', Т' — Т»!)=О, ибо Т' — Т',— цикл') на М", а о» вЂ” цикл, гомологнчный нулю. Таким образом, в наших условиях индекс пересечения цикла а" с любой цепью Т» с: М', граница которой дТ» = те ', не зависит от выбора этой цепи и определяется (при заданных М' и а») лишь циклом т» '.
Мы назовем этот индекс коэффициентом зацепления циклов а» и т»-' и обозначим символом с(а», т»-'); итак, по определению Рис. ! !8. с(а», т' ') =1(а», Т'). (1) (На рис. 118 коэффициент зацепления двух одномерных гомо- логичных нулю в Й' циклов т' и а' равен 2.) Отметим следующие простые свойства коэффициента зацепления: 1) ар иенти руе м остги с (а», т» ') = — с( — а», у» ') = — с (а», — т» '); 2) комм ут ати в ность (или антикоммутативность): с (а», т» ') = ( — 1)»» ' с (т» ', а"); 3) дистрибутивностгп с(о», т» '+ тз» ') = с(а», т» ')+ с (о», тз» ').
Отметим еще одно свойство: если два цикла а» и а», гомо- логичные нулю на М', гомологичны друг другу на М' ~т' ') Граница д(Г» — Т1) тя ! — т» ~ О. 4 Нч 487 МНОГОМЕРНЫЕ ВЫЧЕТЫ (где та ' — цикл, гомологнчный нулю на М'), то с(оэ, та ') = с(оэ, та '). (2) комплекса 5Г ~К существует такая база (д — !)-мерных гомологпй та-1 та-~ (4) полиэдра К (при этом р+4=г), что для всех )ь, э=1, ..., р ( ' .! ') = в,и где Ь„„— символ Кронекера (равный ! прп р = и и О при )ьчьт).
Базу (4) мы будем называть двойственной к базе (3). Перейдем к задачам вычисления интегралов. Пусть в области й «С" задана мероморфная функция ! с полярным множеством 9' и требуется вычислить интеграл от формы в = !с(г= =!(г)йе, Л ... Л йеа понекоторому п-мерному циклу ос:!) ~Ф'. Если о гомологичен нулю в )2~Ф', то по теореме Коши— Пуанкаре ) ) а'а=О. а ') Здесь, как и всюду в этой кииге, мы рассматриваем цепи с цело. иислеииыми коэффициентами.
') См., иапример, киигу П. С. Александрова, цит, иа стр. а!6. Пусть, наконец, на многообразии М' задан какой-либо комплекс К (см. п. 12). Мы назовем базой р-.мерных голсологий К систему рмерных циклов од (т = 1, ..., р) такую, что:!) циклы од гомологически независимы, т. е. из того, что некоторая цепь о =,«а а,оэ гомологична нУлю в К, вытекает Равенство нУлю т 1 всех коэффициентов а„и 2) любой р-мерный цикл оа с: К гомологичен некоторой линейной комбинации ') циклов оа: оаа=1 В заключение сформулируем без доказательства П р инци п двойственности (Дж. Александер, Л. С.
Понтрягин) "). Пусть 5' — сфера действительной размерности г и К с: Я' — некоторый полиэдр. Тогда для базы р-мерных гомологий (3) ОСОБЕННОСТИ И ВЪ|ЧЕТЫ [гл. ч 488 По той же теореме и по свойствам интегралов, если цикл о' гомологичен о в () 'чег', то Отсюда вытекает, что если известна база п-мерных гомологий а„..., о множества () 'чФ' и разложение О- ~~'„, /г,О, (6) по этой базе, то вычисление интеграла от 7 по а сводится к вычислению интегралов по базисным циклам: (7) По аналогии с одномерным случаем назовем вычетом функции ) относительно базисного цикла О, величину 1 (2п|)" Тогда будет иметь место Теорема 1 (о вычетах). Если функция )' мероморфна в области () ~С" и ер' — полярное множество этой функции, то для любого и-мерного цикла ас: 7) '~Ф" Р ~ ~с[а =(2п[)" ~ й,К„ Ч | где й,— коэффициенты разложения а по базе п-мерных гомологий 0 ',ер', а )(,— вычеты 7" относительно циклов этой базьс.
'В пространственном случае, в отличие от плоского, отыскание базы (о,) и разложения (б) по этой базе является далеко не простой задачей. Э. Мартинелли заметил, что в ряде случаев задача существенно упрощается, если воспользоваться описанным выше принципом двойственности '). Для возможности применения этого принципа предположим, что область Е[ гомеоморфна 2п-мерному шару. Отождествим все точки границы )) в одну точку и дополним .0 этой точкой — мы получим ') Вычисления ряда интегралов по этому методу провел А. П.
Ю ж а к о в (см„например, его работу; К теории вычетов функции двух комплексных переменных, Ученые записки Моск. обл. пед. ин-та, т. СХ, Матем., вып. 7, (1962)). МНОГОМЕРНЫЕ ВЫЧЕТЫ Э 1з1 '2и-мерную сферу 5. Точно так же отождествим все точки пересечения полярного множества д' функции 1' с границей д1л в одну точку и дополненное этой точкой множество 7' обозначим через л". Описанный процесс, очевидно, не нарушит базы и-мерных гомологнй (а ) и разложения (6) по этой базе.
Иными словами, (а„) останется базой п-мерных гомологий Б',Р и (6) — разложением цикла а по ней. На основании принципа двойственности мы можем вместо базы и-мерных гомологий (а ) множества 3 ~Р искать базу (и — 1)-мерных гомологнй т„..., т самого полярного множества Р, связанную с первой базой соотношениями (1О) с(аи, т„) =б„„. Циклы т, мы будем называть коротко особыми циклами. Заметим, что коэффициенты й, разложения цикла а по базе (аи) совпадают с коэффициентами зацепления этого цикла с циклами двойственной базы (т,).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
