Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 94
Текст из файла (страница 94)
В самом деле, так как а гомологичен ~~'„, Й„а„в е1'~Р, то по отмеченному выше свойР=! ству коэффициентов зацепления имеем ! Р с(а, т,) =сЯ й„а„, т, ~ в=1 а отсюда, пользуясь распределительным законом и соотношениями (10), находим с(а, т,) =й,. (11) Это замечание позволяет находить и„не зная самой базы (а,). Интегралы по базисным циклам а, (вычеты функции 1) также можно вычислять, не находя самих этих циклов. В самом деле, пусть нам удалось найти в с1 ~Р какпе-либо р гомологнчески независимых и-мерных циклов у„, по которым мы можем вычислить интегралы Пусть еще известны коэффициенты зацепления с(у„, т,) =а„, этих циклов с циклами двойственной базы (т,). По сделанному выше замечанию а„, являются коэффициентами разложения у„ ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ [ГЛ.
Ч по базе (а,), поэтому по теореме о вычетах для любого 1=1 ° ° ° Р Р 1(Ъ„) =(2и[) Х а Р (12) ч 1 где Р,— вычет Т относительно цикла а . Систему (!2) можно рассматривать как линейную относительно неизвестных вычетов г[„причем ее определитель пропорционален Е[е1(а„„), который отличен от нуля в силу гомо- логической независимости циклов у„.
Поэтому из этой системы вычеты легко находятся. Учитывая отмеченную выше двойственность, условимся называть интеграл 1 по п-мерному циклу о„деленный на (2и!)", вычетом относительно особого цикла т (двойственного (п — 1)- мерного цикла на Р). Заметим, что это определение подчеркивает аналогию пространственного случая с плоским, где интеграл по одномерному циклу у„деленный на 2п[, называется вычетом [ относительно особой точки а, (нульмерного цикла). Теорему о вычетах теперь можно сформулировать так: Теорем а 2. Пусть функция [' мероморфна в области Пс:С', гомеоморфной 2п-мерному шару, и Р— полярное множество [, которое получается добавлением к ит' Д 0 множества Фи Д д0, отождествленного в точку.
Пусть тс в= 1, ..., р,— база (п — 1)- мерных гомологий множества ит' и й„— вь[чет 1 относительно особого цикла т . Тогда для любого и-мерного цикла ос:0 ~чти ь ' ~ ~йг =(2[и)" )~~ [с,Я„ (13) и и ! где й, = с (а, т,) — коэффициент зацепления о с особым циклом т„ Примеры: 1. Если [ — целая функция п комплексных переменных, и и>1, а 1(г) = ~ а,г,+ р — линейная функция, то для любого и 1 п-мерного цикла о ~ С" ", [1 (г) = 0) н для любого целого числа и[ 1(г) [г а ~ч~~ а„г„+р В самом деле, границей области С" являются бесконечные 'точки, которые нужно отождествить в одну.
Полярное множество Ф' =(1(г) =О) после пополнения отождествленными бесконечнымн точками станет (2п — 2)-мерной сферой Р. При п>1 МНОГОМЕРНЫЕ ВЫЧЕТЫ 491 любой (и — 1)-мерный цикл на Р гомологичен нулю (р=О), база (т,) тривиальна и, значит, рассматриваемый интеграл равен нулю. По тем же причинам равен нулю при п>1 интеграл ) (2) «2 р « где ) — целая функция, а полярное множество Л' представляет собой набор р параллельных плоскостей. (Здесь Р— «букет» (2л — 2)-мерных сфер, касающихся друг друга в Отождествленных бесконечных точках.) 2.
Рассмотрим интеграл «'~«2 Л дм (2 — 2Ф) (Ж вЂ” 22) « 0 7 где о — произвольный двумерный цикл из С2, не пересекающийся с полярным множест- Р вом д' =д'! ()д'„где Л'! =(2 = 2в) н 22'2= =(ы = 22). П Пополненное полярное множество т' состоит из двух двумерных сфер Р! и Р2, пересекающихся в двух точках: (2 = О, в = 0) н отождествленной бесконечности. Нам нужно найти базу одномерных гомологнй Р. Очевидно, всякий одномерный цикл, лежащий полностью на одной из сфер, гомологнчен нулю.
Поэтому йе гомологнчный нулю цикл должен проходить от точки (О, 0) по одной сфере до оо и затем возвращаться по другой сфере в ту же точку. Все такие циклы гомологичны несколько раз проходимому циклу т, который состоит из какого- ,либо луча 1, ~ У„идущего из (О, 0) в бесконечность, и какого- либо луча 1, с: 2-2, идущего нз бесконечности в (О, 0) (см. схематический рис. 119). Пусть, например, 1, проходит через точку (2, 1), а 12 — через точку (1, 2), тогда параметрические уравнения этих лучей будут иметь вид ~2~ 1: ' 0<1,< 2 У нас р= 1, следовательно, достаточно вычислить интеграл от )".
по какому-либо одному не гомологичному нулю в Сз~д' осоввнности и вычвты [гл. н 492 двумерному циклу у. Выберем в качестве у тор (еич, е'е), где 0<<р, ф~(2п, тогда г (г,4,(ш ( ( е' егЛдм (г — 2м) (в — 2г) и 11в!=И (1е( П Так как у нас (в(=1, то при вычислении внутреннего интеграла нужно учитывать лишь вычет в точке г = —, и, значит, ~Ф 2л( 2 этот интеграл равен — е ', а весь интеграл ранен — — пв зм з' (из того, что интеграл отличен от О, и вытекает, что у не гомо- логичен ну.чю).
Найдем коэффициент зацепления с (у, т) = а; по определению он равен индексу пересечения у с двумерной пленкой Т', натянутой на т, Параметрическими уравнениями Т' служат г=2(,+(и) '~ О<(о (,< ш=(,+2( 1 а с тором у эта пленка пересекается лишь в одной точке (1, 1), ! которая соответствует значениям параметров 3' д(х,у,и, с] = ф= О.
В этой точке '' ' ' )О (мы положили ге х+(у, д(1ьпи Ч, $) ~е = и+(с), откуда видно, что индекс пересечения 1(у, Тз) = = с(у, т) = 1. По формуле (12) находим, что вычет Г относи- тельно особого цикла т равен г = —.— 1 Г (г Л (ю = —, 1 Г 1 [2ви)~ 3 3' и тогда по теореме 2 получаем значение искомого интеграла: 4п' 1 — — — с(а, т), где с(о, т) — коэффициент зацепления (двумерного) цикла инте. грирования о с особым (одномерным) циклом т. 41.
Теория Лере. Здесь мы рассмотрим другой метод вычисления интегралов, принадлежащий Ж. Л е р е. В ряде случаев этот метод позволяет свести вычисление интеграла от формы сэ степени р по р-мерному циклу и к вычислению интеграла от формы геев степени р — 1, называемой формой-вычетом, по некоторому (р — 1)-мерному циклу, лежащему на многообразии особенностей формы о. Метод Лере также можно рассматривать как обобщение классического метода вычетов, ко- многоменкые Вычеты $131 493 тарый соответствует случаю р=! и сводит вычисление интегралов от форм ы=)аг по замкнутым кривым к вычислению значений вычетов гез( в особых точках ) (т. е.
нульмерных интегралов от гез) по этим точкам). Мы изложим этот метод в его простейшем варианте '). Пусть на и-мериом комплексном многообразии М задано (и — 1)-мерное комплексное подмногообразиеел', которое в окрестности Ег, ~ М каждой своей точки го задаетсн нак множество нулей голоморфной в этой окрестности функции ф, такой, что дгадф,,~ 0 в У,: ет П [)е = (г ЕБ () „: ф,(г) = О).
(1) Пусть на М',кг' задана дифференциальная форма ез степени р, 0<рн=.2п, класса С, имеющая на ел' полярную особенность первого порядка. Последнее условие означает, что в каждой У.ь гоыг л', произведение ф,го продолжается до С"-формы на У,, Л е м м а. Форма а е= С (М) тогда и только тогда предста- вима в окрестности У точки го~ г в виде з) (2) а=аф Л р, где !зен С (У), когда в этой окрестности дфЛ а=О. (3) ч Примем ф за одну из локальных координат, определяющих Ф' в окрестности Ег, скажем за переменную г, (это возможно в силу условий, наложенных выше на ф). Выражение для а в этих координатах можно разбить на два слагаемых: а =~наг „.
г г(2~ Л ... Л г(2г =дг, Л 0+а', где а' не содержит дг, (как всегда, мы полагаем с, = г„ Х„„=г„ч=!, ..., и). Таким образом, если а представима в виде (2) при ф= го то а'= О, а значит, и дг, Л а= О, т. е. (3) выполняется. Обратно, если с(г, Л а = О, то и дг, Л а'= О, а так как а' не содержит дго то это может быть лишь при а'= 0 1и Теорем а 1. Если форма ычн С (М ччел'), имеюи4ая на чг' полярную особенность первого порядка, замкнута в М ' чг, го ') Полное изложение см. н книге: Ж. Л е р е, Дифференниальное и интегральное исчисление на комплексном аналитическом многообразии, ИЛ, М, 1961. ') Длн простоты письма мы опускаем индекс ач е обозначениях У, ф и!1.
[гл. ч осовен!!Ости и Вычеты 494 в окрестности У произвольной точки з" ~!б' ене Ф' она представима в виде в= — Лг+ь>„ а!т (4) еде форл!ы г, а, еи С (У). Г!ри э!ам сужение г) не зависит от выбора функции ф и является зал!кнутой формой. м Так как у нас фаеп С" (У), то д(фа) =с(ф Л а+ф Л дв; но на М ~,Ф' имеем с(в= О (ибо а замкнута), значит, по непре- рывности д(фв) =с(ф Л а всюду в У. Таким образом, дф Л а продолжается на д' до формы а~ С (У), и по лемме найдется форма 5=в,~С (У) такая, что с(фЛ в с(фЛ ао Умножив это равенство па ф, найдем йфЛ(фв — фв!)=О, где фа — фв! еп С (У); значит, по той же лемме существует форма ген С (У) такая, что фа — фа! =й!)! Л г. Это равенство вне Ф' равносильно (4). Покажем, что сужение г ~. однозначно определяется фор- мой в. Предположим сначала, что функция ф, определяющая полярное множество ег', 'задана, и докажем, что из равенства О= — Лг+в, ее (5) следует равенство г(„=О.
Но из (5) мы получаем с(ф Л г+ + фв!=О, откуда а!ф Л фа! =О, а так как ф — функция, от- личная от нуля в У ~ чт', то там дф Л в, =О; в силу того, что аф Л в, е= С" (У), последнее равенство справедливо и всюду в У. Мы можем применить лемму, по которой найдется форма в, такая, что а, = а!ф Л а,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
