Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 98
Текст из файла (страница 98)
Отсюда видно, что в окрестности обыкновенной точки а множество М является аналитнческил! многообразием колиалексной размерности а — 1: за локальный параметр можно принять переменное ! ='г, а за область его изменения — окрестность 'У (отображение 'У- М, определяемое (6), голоморфно, и различным точкам 'У соответствуют точки ('г, г„) ен М, различные просто потому, что их проекции 'г различны). Аналитическое множество локально неприводимо в каждой своей обыкновенной точке — это видно из представимости уравнением (6).
В окрестности обыкновенной точки множество М мало отличается от (и — 1)-мерной аналитической плоскости аналитические множгства б(1 й м) Уравнение (9) имеет й корней а~и>=д ('г) р=1 ... й (10) причем функции дп голоморфны в 'У всюду, кроме точек множества 'б, в которых это уравнение имеет хотя бы один кратный корень. Множество 'Л называется дисгсрилгинантным и, как известно из алгебры, определяется уравнением Я('г) =О, (11) где 1( — результант многочленов Р(га) и его производной Р'(сп) (по переменному вз). Результант выражается при помощи определителя, элементами которого являются коэффициенты многочленов Р и Р' или нули'), и поэтому представляет собой функцию, голоморфную в 'У (и не равную тождественно нулю).
Следоватечьно, дискриминантное множество 'б является аналитическим множеством (комплексной размерности а — 2) в пространстве (: Легко видеть, что дискриминантное множество содержит проекцию в пространство С ( з) совокупности критических точек множества Мз). В самом деле, в достаточно малой окрестности любой точки 'Ь ~'У ч 'Ь множество М задается ') Результантом многочленов Р = с й~+ с, Ь + ... + с и Я = с' Ь~ + +п1ь + ... +г(г называется определитель (А+()-го порядка с О...О .с 0..0 сз с1.
сз с1 й(Р, Я)= О .... О Лз б, . . .. Л, где козффиппенты ст занимают 1 строк, а д занимают й строк. Если ссбчФО, то к (Р, О)-0 в том и только том случае, если Р и г) имеют хотя бы один обший корень. ') Обратное, вообше говоря, неверно: например, для множества ( гз — з| - 0~1 в С начало координат ивляется правильной точкой, хотя ее 2 1 3 проекиия з, 0 принадлежит дискримииаптиому множеству (уравнение аз= 0 имеет кратный корень). т осовгиности и вычеты ~гл. ч 512 уравнениями (10), где д» вЂ” голоморфные в этой окрестности функции, поэтому каждая из й точек Ье» =( Ь, д„( Ь))ен М, проектирующихся в 'Ь, является правильной точкой М.
Отсюда следует, что совокупность критических точек образует на М множество комплексной размерности не выше л — 2, т. е. что действительная размерность этого множества по меньшей мере на 2 единицы ниже действительной размерности М (которая равна 2л — 2). В частности, можно показать, что совокупность критических точек множества М не разбивает этого множества (так что если М неприводимо, то после удаления критических точек оно останется связным). Таким образом, критических точек на аналитическом множестве сравнительно мало, и основную массу его точек составляют правильные точки. В окрестности правильных точек аналитические множества устроены, как комплексно (и — 1)-мерные плоскости, а в критических точках ветвится несколько таких плоскостей.
Переходя к описанию множеств, которые задаются при помощи нескольких функций, приведем О п р е д е л е н и е 4. Пусть дано неприводимое множество М=(ген 0: ),(г)= ... =~»,(г)=0), (! 2) где функции )о ..., 1 голоморфны в области й ~С". Будем говорить, что это множество имеет комплексную размерность г, если у матрицы Якоби ай (13) д» ' ' ' д»» все миноры порядков выше г'=п — г тождественно равны нулю на М, а хотя бы один минор порядка г' не равен тождественно нулю. В случае одного уравнения (с функцией )'ФО) мы имеем г'=1 и получаем рассмотренные выше множества комплексной размерности»г — 1.
Как и в этом случае, мы будем различать два типа точек множества (12): а) Обыкновенные точки. Так мы будем называть точки комплексно г-мерного аналитического множества, в которых ранг матрицы (13) равен г'= п — г (прк г'= 1 это определение, очевидно, совпадает с прежним).
Пусть а ен М вЂ” обыкновенная точка и для определенности в(1и "') ~ Фо д(»»+~ ° ° г»») |а % 1П АнАлитические множествА 513 (в случае надобности мы можем переименовать переменные). По теореме существования неявных функций в некоторой окрестности точки а мы можем разрешить систему уравнений ~, =-О, ..., )в= 0 относительно переменных е„н ..., г„: е, а = ди(г„..., е,), р = 1, ..., г, (14) " а)„1 —.' — ~ (г,— а,)=О, р=!, ..., г'. Вгт ~а (15) б) К р и т и ч е с к и е т о ч к и.
Так называются точки комплексно г-мерного неприводимого аналитического множества М, в которых ранг матрицы (13) миже г'= п — г. Как и в случае г' = 1, можно доказать, что критические точки образуют аналитическое множество комплексной размерности не выше г — 1 и, следовательно, на множестве М их сравнительно мало (в частности, они не могут разбивать М). Используя алгебраические методы, можно доказать следующее естественное обобщение теоремы 1: Т е о р е м а 1'. Любое аналитическое в точке а ~ С мно жество можно единственным образом представить в виде конечного обэединения неприводимых в этой точке множеств.
В некоторых вопросах полезно локализовать понятие аналитического множества. Для этого вводится Оп Р е делен не 4. ПУсть в окРестностЯх Уа и )га то~ки а еБС" заданы два аналитических множества М н Лт. Будем говорить, что они эквивалентны, если существует окРестность )Ег ~ БАПК, такая, что М() )Тг„=ЛтП (Тг,, Класс эквивалентности М, по этому отношению называется ростком аналитического множества в точке а. ЗЗ Б В.
Шабат причем функции д„голоморфны в некоторой окрестности У точки (а,, ..., а,) ен С'. Отсюда видно, что в окрестности обыкновенной точки а множество М является аналитическим многообразием комплексной размерности г: за локальный параметр можно принять (еи ..., Е,), а за область его изменения — окрестность У (отображение У вЂ” « М, определяемое (14), голоморфно н, очевидно, взаимно однозначно). Из представимости уравнениями (14) видно также, что аналитическое множество локально неприводимо в каждой своей обыкновенной точке.
Отметим еще, что в каждой обыкновенной точке множество имеет комплексно г-мерную аналитическую касательную плоскость: осогинности и вычнты 1гл. и 514 Естественным образом определяется понятие объединения ростков, а также неприводимого ростка как ростка, который нельзя представить в виде объединения отличных от него ростков аналитических множеств. Локальной теопией аналитических множеств мы здесь заниматься не будем ).
Приведем в заключение теорему, которую можно рассматривать как обобщение теоремы единственности для функций одного переменного. Теорема 2. Если аналитическое в области Ос=С« множество М=(зев Еп 1,(г)= ... =1„(з)=0) (16) дискретно, т. е. не имеет связных компонент, отличных от точки, то оно не может иметь предельных точек внутри О. а Будем доказывать теорему индукцией по п. Для и=1 она верна, ибо совпадает с теоремой единственности для функций одного переменного. Предположим, что она верна для функций (и — 1)-го переменного, но неверна для функций и переменных.
Тогда в 0с:1.'" найдется множество М, удовлетворяющее условиям теоремы н имеющее предельную точку а ев В. Согласно подготовительной теореме Вейерштрасса (для ее применения, возможно, придется совершить линейное преобразование переменных г) в некоторой окрестности а множество М задается уравнениями Р„ (тз) = О, р = 1, ..., и, где Є— многочлены от гз с коэффициентами, голоморфно зависящими от % Можно считать, что М содержит последовательность точек ('а<", а~в), где все 'а">„и= 1, 2, ..., различны.
Рассмотрим результанты многочленов Р„и Р„: аи = Р(Р„, Р„), 1ь = 1, ..., п — 1, — голоморфные функции ля в окрестности проекции 'и точки а. Так как Р(ри, Р„) обращается в нуль в тех и только тех точках 'г, где Р„и Р„имеют общий нуль г„, а при 'г, близких к 'а, все нули Ри лежат вблизи а„, то в окрестности 'а множество М'=('г~'й: и,('а) ... =д„,('г)=0) совпадает с проекцией М на эту окрестность. Зто множество удовлетворяет условиям теоремы н имеет 'а своей предельной точкой. Мы пришли к противоречию с индуктивным предположением м ') 0 атой теорией можно ознакамитьея по книге: М. 3 р а е.
Функции многих комплексных переменных. Локальная теория, «Мнр», М., !999. АНАЛИТИЧЕСКИЕ МНОЖЕСТВА 4 141 44. Локальное обращение голоморфных функций. Задача ставится так. Пусть в некоторой окрестности точки а ни С" заданы и голоморфных функций Ут, и пусть Ь,=У„(а), Ь =(Ь„..., Ь„). Требуется найти функции г,=д,(»в), для которых д,(Ь)=ая и которые в какой-либо окрестности точки Ь удовлетворяют системе уравнений У, (г) = сит (т = 1, ..., л).
Систему (1) мы будем записывать в виде (2) у (г) = св, где У=(УН ..., У„) — векторная функция. в б уа)=< у дОп., Ук) д (х1 ° ха) в точке а (а значит, и в некоторой окрестности этой точки), то по теореме существования неявных функций (и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
