Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 96
Текст из файла (страница 96)
е. что во всех точках их пересечений матрицы, составленные из производных функций, определяющих эти многообразия, по локальным координатам имеют наивысший возможный ранг. Мы обозначим Ф'У = (и', П ') Из замечания вслед за теоремой 1 видно, что зто обстоятельство может возникнуть лишь при рассмотренных форм с полярной особенностью выше первого порядка. ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ 1гл. гг 500 ... и'у,) "(у',„() ... о у'.), 1=1, ..., щ -1, - = р', п ...
... П т-, .т'о=М'~(У'г() ... () т' ) и рассмотрим последовательность гомоморфизмов дг, которые ставят в соответствие циклам и, принадлежащим классам компактных гомологий из Н"г(Ф'т), циклы д'о, принадлежащие классам из Н"г (У'~ '): дай Ни'(У ) —" Ниг(Е -') ... Ноа(О") — ' Нмг(~').(18) Циклы д'о расслаиваются на гомеоморфы окружностей, обходящие Ф" и принадлежащие т'~ '. Как и выше, этой последовательности двойственна последовательность гомоморфизмов групп когомологий, которая определяет сложный класс-вогчетг Рева. Н (саго) > Н (арог) + а Н (еазом-г) э Н (оУ"~) (17) Последовательным применением формулы (14) получается следующее утверждение: Для любого (р — т)-лгерного цикла о из класса гомологий Ь~Л'г (ат' ) и любой замкнутой С -формог от степени р из класса когомологий ог*е= На(от"о) илгеет место формула вы сета ~ аг' = (2пг) ) Вез~ ат*.
(18) будем называть группой относителаных цепей. Цепь о ~ С„(М) называется относительной границей, если существует цепь ') Это оаггаяает, ото каждый симвлекс иа Я в то же время является симвлексом ив М. В заключение отметим, что если форма ог обращается в нуль на некотором (и — 1)-мерном комплексном многообразии г,г ~М, то интегралы от нее и от гез аг по пересечениям ОП Я и да() Я исчезают. Это дает возможность рассматривать вместо групп гомологий и когомологий группы о т н о с ит е л ьн ы х гомологий и когомологий.
Поясним эти понятия на примере группы относительных гомологий. Будем рассматривать прдмногообразие Я некоторого многообразия М как его подкомплекс '); через Ср(М) и С (Я) обозначим группы р-мерных цепей на этих комплексах (как всегда„с целыми коэффициентами). Цепь а ен С„(М) будем называть циклом относительно г,г если ее граница до с: Я (в частности, равна нулю). Группа Ср(Я) является подгруппой С (М); факторгруппу С (М, Я) = С (М)/С (Я) многомегные вьшеты 50! о„„~ С„„(М) такая, что ол — до „с: С„Я).
Относительные границы образуют подгруппу В (М, Я) группы Е (М, Я) всех относительных циклов; факторгруппа называется группой относительных го.пологий. При рассмотрении форм го, имеющих полярную особенность первого порядка на многообразии У и обращающихся в нуль на многообразии Я (они предполагаются находящимися в общем положении), можно несколько уточнить описанную выше конструкцию. Именно, к свойствам 1 — 3 кограничного оператора Лере можно добавить еще свойство: 4. Если зев У' П Я, то бг с: Я.
Тогда этот оператор каждый относительный пикл о ен ~ 2», (Ф', Я) ') преобразует в относительный цикл Ьо ы ен л (М ", х", Я). Легко убедиться в том, что он устанавливает гомоморфизм соответствующих групп относительных гомологин: 6 Н» 1 (ее О)»Нр(М »я Я) (19) х, дх, дб хл дхи дб г (о) = — )— Г о Ж, ... гй„н (1~ дх| дхх д)я-1 дГл-~ гл-1 ') Пол 2(««', Я) понимается 2(Я, ЯД Я); аналогичаое соглашение привимаетси и в дальнейших формулах.
Формула вычета (!3) для классов относительных гомологий й ~ Н, (д', Я) и б)ген Н„(М ',х, О) сохраняется. Примеры применения метода Лере для вычисления интегралов, имеющих важное значение в теоретической физике, можно найти в книге: Р. Х у а и В. Т е п л и ц, Гомологня и фейнмановскис интегралы, «Мнр», М., 1969. 42. Логарифмический вычет. Как н в плоском случае, он оказывается связанным с понятием индекса. Рассмотрим сначала действительный случай. Пусть в Я" задан гладкий (п — !)- мерный цикл сс х=х(!), )~)", т. е.
замкнутая поверхность класса С' (здесь х =(хо..., х„), ! =()о ..., Г„,) и !" — (и — 1)- мерный куб). Предположим, что а не содержит точку х = О, и назовем индексом этой поверхности (в смысле А. П у а н к а р е). относительно х = 0 величину ОСОГЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ 502 [Гл. т ВВ"[З где Е„= " — площадь и-мерной сферы (! х ! = 1). Индекс г~ — ", +[) в смысле Пуанкаре является прямым и-мерным аналогом индекса на плоскости: полагая в (1) и = 2 и х, =х, хе = у, получим (о(о) = — ) к+, (ху' — ух') !й = — „) ((агс1а —. В ! ! Форма под интегралом (1) д (К!...,кк, ...
К„) 1)к-! к, ( к [" д ((ь . „(„,1 к=! к=! имеет особенность в точке х = 0 и замкнута в Р" ", (0), ибо при хФО Г и ([(В = 1 У,— — "'„1[(х! Г[ ... /[((х„= ([1ч — „((х = О. к ! Отсюда по формуле Стокса мы заключаем, что если два цикла о, и о, гомологичны друг другу в Й" ',(0) (т. е. разность о, — о ограничивает некоторую цепь из (ч", не содержащую точку х =-0), то интегралы от [В по этим циклам равны. Так как базой (и — 1)-мерных гомологий в И" ~ (О) служит единичная сфера (~ х|= 1), то любой рассматриваемый цикл о гомологичен этой сфере с некоторым целочисленным коэффициентом х. По только что сделанному замечанию (,(о)= — ) (В= — ) х ( — 1) х„((х[,., ..
((х„, Вк,) Вк ч (! к! Ц к=! откуда снова по формуле Стокса ,(.) = — „Г . (.= а„, Г ь кк Вк ([к[<и где (1„= — к'„— объем п-мерного шара (! х1( 1). Таким образом, 1 П (0(о) = й. Переходя к комплексной структуре, мы рассмотрим четномерное пространство (чз" и введем в нем координаты г,=х, + многомегные вычеты + 1хи„, г,=х,-1х„„(гг=1, ... и). цикла а, не содержащего точку а= О, !О (!!) (4Ои Р. ) (п (ги Х !ги-1 Индекс (2л — 1)-мерного записывается формулой аи хп д д, (Хп — Еи) 1 Хи+ХИ Х! Х1 Я! + Е1 д ггг'! ( ! — (Хи — йи) а д!г -! п а — (х1+ й!) д!гп 1 Х г(1! ... г((г„1, Хи п1 ° ° ° пи авп а!, дп! дI! '()пи —.',. Ь)' 1 .'- гг -! а-, з!гп-! и дп! а!гп-1 Х Ж! ...
Жг„!. (2) Форму под интегралом (2) можно записать в виде ги, д (й1, . и"~ ° йги) ~~1( 1) !и рп и (! ! ) д11 Л ° ° ° Л !11гп-! = г ! =,'~ (-1)' ' ~',„дЕ! Л, д2г„, и 1 где как всегда Яп = «„х„„= е, (т = 1, ..., л). Эта форма имеет особенность в точке а= О и замкнута в Сй'~(О). По тем же соображениям, что и выше, о гомологичен целочисленному кратному границы поликруга бг =(!х,! < 1) и и 1. (о) = —,' ф)" ~',)', (- 1)' ',',„дг, Л, Л д2,„(З) ьаи (мы считаем, что дУ -берется с коэффициентом й, и потому не ставим множитель перед интегралом). Оказывается, что подобно тому, как это делалось при выводе формулы Вейля в и. 18, повторным применением формулы Стокса можно понизить размерность множества интегрирования.
которая после простых преобразований определителя перепи- сывается так: ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ !Гл. ч 504 до и и одновременно исключить неаналитнчность подинтегральной формы. Мы получим тогда формулу для индекса в виде !о(о) = —. ! !)2! Л ... /! !!22 (зяб" „) 2, 2д' 2"Г где йà — целочисленное кратное остова поликруга Г = (~ 2, ) = 1). Эта формула вполне аналогична плоской формуле для индекса замкнутого пути относительно точки 2 = О. Для формальных упрощений проведем соответствующую выкладку в случае и=2.
Мы имеем 2,=2пз, и формула (3) принимает вид То(О) = з„! ) ! !! (2! !!22 Ой! !!22 22!22! !!2! 2(22+ 2ЗО + 2! ~(2! !(22!~22 22~(2! ~~22 ~(2!) Границу бикруга разобьем на две части: 5! = (~ 2, ~ = 1, ~ 2, | ~ (1) и 52=(~ г, ~(1, ~ 22 ~= 1). На 5! имеем гА = 1, г, !(г!+2, !~я, =О и !!г!!12! =О, следовательно, соответствующая часть интеграла ! ! 1 !О Вя! ) ! 2 (! (2! !~22 !(2! !~22 + 2! ~2! !~22 ~(22) ьэ', — — 2(2 !12 . «! !)22 4я2 22! Форма под интегралом точна, она является дифференциалом формы 12 = 2(2! ага ! в самом деле, !(Я = — ~ — — — !Х 2! ! 2 1 / 42! 2222 Н!) 2 !2!' , (!2!' Х !(2! !22,= — ', !!г,Т(г! дг„если учесть, что т(г! !22! = О на О!), поэтому по формуле Стокса 2, ! ) ! 2! !! !)2! !)2! 4з2 ) 2!)2/2 (ай',) !2/2 2!2, 2Г ЕГ Аналогично интеграл по 52 равен ./Р ! 1 ! 2! ! !!2! !!2! (Зя )2 ЕГ и, складывая полученные выражения, мы получим формулу (4) прп и=2.
Мы придем к пространственному аналогу логарифмического вычета, если будем рассматривать следующую задачу. Пусть в области .0 с: С" заданы и голоморфных функций нэ-(т(2)! т=1!" ° и! (5) мнОГОмеРные вычеты зеь независимых в том смысле, что якобиан д '''" ! не равен дОН..., 1„1 (2| л! тождественно нулю. Предположим еще, что общие нули этой системы функций, т. е.
точки пересечения всех п аналитических поверхностей Г",=(г~ 0: ),(е) = О), образуют изолированное множество э'. Заметим, что это предположение не следует нз предыдущего (пример: ю1= гн ю2= г|г2 в С'! якобнан равен г„ а общие нули системы заполняют-плоскость (г, = О) ). В области 6н пусть дана область 6 с жордановой гладкой границей 5, не содержащей точек нз д-". Требуется определить общее число нулей системы (5) в 6 с учетом их порядков. Эта задача решается точно так же, как плоская. Мы выбираем на 5 параметры т„..., т,„, и рассматриваем индекс относительно точки щ=О цикла 5', который соответствует 5 при отображении (б). По формуле (2) этот индекс равен ) ) 1' д11 д)е дте ' ' ' ' ' ' ' '' ' ' ' ' де| Г(т1... Г(ть, 1, дй дт,„, д)л дты, где !) |2= Х1),1'.
так как под знаком интеграла здесь стоит 2 ! форма неособая и замкнутая в 6 ~ 3', то по формуле Стокса этот интеграл можно представить как сумму интегралов по замкнутым жордановым поверхностям 5н, каждая из которых содержит внутри одну и только одну точку а„ен е, В качестве таких 5„ можно взять, например, границы компонент множества Вейля У '=(г~ 6:11,(г) ~(е, э= 1,..., п) для достаточно малых е ) О, и мы получим по формуле (3) 2л Л = —,' ф" ~ !1'!,„,У,(-1)'-'Г, (Е, Л, У (Р,„, (б) ,, -е 2=1 Ч,л...д 1 (Знйл,) В" (л ге где Р,=)„г"„„=1, (э=1,, и), Если в (6) сделать переход к интегрированию по а-мерному остову Г'=(г~ 6: ~) (г) ~=е т = 1, ..., и) множества РУ ' такой же, как переход от фор- мулы (3) к (4), мы получим ОСОБЕННОСТИ И ВЫЧЕТЫ )гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
