Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 89
Текст из файла (страница 89)
По теореме 1 точна и.последовательность О- нь(0)-.нь(ж) — — Р* нь(.ац- н1(В). (1П Но Н'(6)=О согласно следствию теоремы Дольбо, поэтому Г(0,.ж) Г(0, ж,в) является гомоморфизмом на (мы опять воспользовались тем, что нулевые когомологии совпадают с глобальными сечениями). При заданном покрытии й" области 0 данные Кузена ()„) определяют элемент нз Г(0, РЖ(б). По только что доказанному существует элемент (ее Г(0, РЖ), для которого ф'(1) совпадает с элементом, определяемым (1„), а это означает, что е== Г(Н„, С) в каждой окрестности 0, яй' ь Оказывается, что в С' класс областей, для которых разрешима первая проблема Кузена, н исчерпывается областями голоморфностн: справедлива Т е о р е м а 3 (А.
К а р т а и). Если в (однолистной) области 0~Се разрешила любая первая проблема Кузена, то 0 является областью гололорфности. м Если 0 не является областью голоморфности, то найдется шар В с центром в граничной точке ь еп д0, в который аналитически продолжаются все функции 1ее Н(0). Возьмем какую-либо точку е ее 0 П В и на отрезке е~ выберем точку ьь ее д0, ближайшую к е. Без ограничения общности можно считать, что,""=О и что плоскость (е,=О) содержит отрезок еьь с: 0 П В. Пользуясь тем, что в 0 разрешима проблема Кузена, мы сейчас построим функцию д ее Н(0), ие продолжаемую аналитически в шар В, и тем самым придем к противоречию. Построение функции д делается, как в примере из и.
31. Выберем какую-либо функцию ф(ге) ~ Н (С '~ (О)) с особенностью в точке е, = О и зададим в указанных там окрестностях точек а = (ан аг) ее 0 главные части 1"„следУющим обРазом: е сли а, эьО аз=О, ф (г~) Ра(Е) = О, если а., ~ О. Эти данные Кузена, очевидно, согласованы.
Пусть 1 — мероморфная в 0 функция, решающая поставленную проблему Кузена. Тогда функция д (е) = е,)(е) голоморфна в О, а д(ан О) = = ф(г,). Отсюда видно, что д имеет особенность в точке О~ д0 и, значит, не продолжаема аналитически в шар В м пРименения 465 121 На пространства С", и ) 3, теорема не распространяется.
П р и м е р. Рассмотрим область 0 с: Сз, которая получается из единичного поликруга У после удаления множества ( е~ ) «( —, ( з2 ! «( —, ( «3 (~ )— ~; иными словами, 22 поли 1 1 11. круг, у которого грань ) 33) = 1 продавлена внутрь, как на рис. 114. Покроем Т1 тремя областями голоморфпости: и, =~.: — '<)., ~<1, ~.,~<1, ~.,)<1~, 1/2=)з: 12~!<1, — <1221<1, !Е3!<1~~ с13 = ~е: 1Е,1< 1, 1Е,1< 1, ) г,1< Я и рассмотрим соответствующий голоморфный коцикл (Ь„з). Разложим г1„3 в ряд Лорана в области Уд23. Так как это раз- ~в ложение сходится в У,з, то мы получаем, что главные части разложении 1223 и йн совпадают соответственно с главными частями разложений этих функций в ряды Лорана по гз и по гг Таким образом, из равенства сй 132 (13) йга+ "23+ газ~ = б в 0„3 мы получаем, что глав- Рис.
! 14. ная часть ряда Лорана функции Ьм распадается на две части, одна из которых голоморфна по г, и потому продолжается в Ун другая голоморфна по е2 и продолжается в У2. Но из равенства (13) следует тогда, что главные части разложений Лорана для функций й„и Ь3, соответственно продолжаются в У2 и УР Аналогично получаем, что и правильные части .этих функций продолжаются в соответствующие области. Обозначим через л, продолжение 33, в У„через й, продолжение Ь3, в У, и положим 63=0 в У,.
Тогда 62 /1! = 632 ЬЗ! = 612 В У!2 И ПОТОМУ (г1ав) ЯВЛЯЕТСЯ КОГРаНИЦЕй КОЦЕПН (Ьа), т. Е. ПЕРВаЯ проблема Кузена для покрытия (!2) всегда разрешима, откуда следует, что Н'(й', 6) =0 для этого покрытия. Согласно замечанию 1 после теоремы Дольбо, из этого следует, что О'(21, 6) =О, т. е. любая первая проблема Кузена в области Т1 разрешима. Остается заметить, что сама й не является областью 30 Б.
в, шабат меРомоРФные Функции и пРОБлемы кУзенА ~гл, ш голоморфности, так как она является не логарифмически выпуклой областью Рейнхарта, 38. Решение второй проблемы Кузена. Из рассуждений, проведенных в и. 33, видно, что разрешимость второй проблемы Кузена зависит также от некоторых топологических свойств рассматриваемой области.
Мы приведем теорему, в которой эти свойства выражаются как условие тривиальности второй группы когомологий с коэффициентами в пучке целых чисел: Теорема 1 (Серр). В области голоморфности В любая вторая проблема Кузена разрешима, если Н'(Х, г,)=О, (1) где г,— (постоянный) пучок аддитивных групп целых чисел. м Рассмотрим точную последовательность пучков мультипликативных групп Π— «6' — ' «ФЖ вЂ” ~-«Фу~' 16* -«О, (2) где Π— тривиальный пучок, все ростки которого принадлежат нейтральному элементу (единице) этих групп, Ей отвечает точная последовательность Г Я, ФЖ*) -«Г (Н, ФЯ*/6') -«Н' (В, 6*).
(3) Условие разрешимости рассматриваемой проблемы состоит в том, что для любого заданного элемента группы Г(В,ФЖ'/6"), т, е. некоторых согласованных данных второй проблемы Кузена, найдется элемент 1е= Г(В, М), соответствующий заданному при отображении Г (Ю, ФЖ") -«Г (В, ФУ" (6"). (4) Иными словами, условие разрешимости состоит в том, что (4) является отображением на.. Так как последовательность (3) точна, то это условие сводится к тому, что Н' (В, 6') = О.
(5) Придадим этому условию другую форму. Для этого рассмотрим еще одну точную последовательность Π— «г.— г«6 — '«6*-ФО, (б) где г,— пучок аддитивных групп целых чисел, 1 — гомоморфизм вложения, а е: $-+д'"и — гомоморфизм пучка 6 аддитивных ПРНЛ]ЕНЕНИЯ з ]2] 467 групп в пучок 6' мультипликативных групп'). Соответствующая ей последовательность Н'(0, 6) - Н](0, 6') = Н2(0, Х) - Н2(0, 6) также точна, а так как .Р— область голоморфности, то здесь крайние группы тривиальны.
Отсюда следует, что средние группы изоморфны, и в силу условия (1) равенство (5) действительно имеет место м 3 а м е ч а н и е. Из доказательства видно, что для разрешимости конкретной второй проблемы, соответствующей некоторому сечению из Г(0, оаь*/6), необходимо и достаточно, чтобы образ этого сечения при отображении а: Г (О, ояь'/6*) — «Н] (О, 6') (7) был нулем группы Н'(0, 6"). Серр доказал также, что для областей голоморфностн а всегда является отображением на (более того, для любого элемента а~ Н'(Р, 6*) найдется соответствующий ему элемент /~Г(Р, отс'/6*), состоящий только из ростков г о л о м о р ф н ы х функций).
Таким образом, если группа Н'(0, 6') Ф О, то найдется сечение из Г(О, отс'/6'), для которого проблема неразрешима, т. е. для областей голоморфности условие (1) и н е о б х о д и м о для разрешимости любой второй проблемы. Заметим еще, что существуют многообразия, которые не являются областями голоморфности, хотя вторая проблема Кузена иа них разрешима. Примером служит область 0 = = (О<(е,! <1; ) зт(<1)() (е] =О,! ея)< 1/2) пространства Ся— она не является областью голоморфности, но можно доказать, что в ней любая вторая проблема Кузена разрешима. Из теоремы 3 предыдущего пункта видно, что 0 служит также примером области, в которой разрешима вторая, но неразрешима первая проблема Кузена. В области 0 ~Са из примера предыдущего пункта разрешимы и первая и вторая проблемы Кузена, хотя сама 0 не является областью голоморфности. Разрешимость второй проблемы следует из того, что Н'(0, 6) =О, а Нт(0, л",) = О, так как 0 гомеоморфна шару.
Простым следствием теоремы Серра является Теорем а 2 (Ока). Если 0 =0] Х ... Х 0„— поликруговая область из С", для которой все области О, кроме, быть ') Точность последовательности (6) ясна иа того, что функции, тождественно равные целым числам, при отображении е переходят в ] и что каждая функции / Ф 0 ло к аль но представляетси в виде ет«ие (е: 6-«6' является отображением на). Заметим еще, что в (б) нуль слева — адднтивный, а справа — мультипликативный (единица). 30« 4бй МЕРОМОРФНЫЕ ФКНКПИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА (гл, ш может, одной, односвязны, то в 0 разрешима любая вторая проблема Кузена. м Прежде всего, 0, очевидно, является областью голоморфности.
Пусть 0з, ..., 0„— односвязные области, тогда Нз(0, л) = Нз(ОО л), ибо группы когомологий с целыми коэффициентами не меняются при (декартовом) умножении на одно- связную плоскую область (мы не останавливаемся на доказательстве этого топологического факта). Но для любой плоской области группа Нз(г) тривиальна (это слсдует хотя бы из теоремы Вейерштрасса из п. 43 ч. 1); поэтому Н'(0, Х) = О ж Замечание. Из теоремы 2 следует, в частности, что вторая проблема Кузена разрешима в любой односвязной поли- круговой области. Но для произвольных областей голоморфности односвязность еще не гарантирует разрешимости этой проблемы, вот соответствующнй пример (Серр).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
