Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 85
Текст из файла (страница 85)
Если же в этой области разрешима и первая проблема Кузена, то по теореме 1 всякая функция, локально голоморфная на М, оказывается и глобально голоморфной во всей области. Подчеркнем, что это свойство может не иметь места, если Л! не является аналитическим множеством: пример такого рода был приведен в п. 3. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПУЧКОВ 5 11. Методы теории пучков Ф >и с=це, Р геы вводится топология, в которой окрестностями служат совокупности ростков, принадлежащие одной голоморфной функции, ') В самом деле, если $ и я — ненулевые ростки, то их представители ! и я — голоморфные функции, не равные тождественно нулю. Но тогда и 1д — такая же функция, т. е.
1 яр Ф О. В этом параграфе мы хотим познакомить читателя с новыми мощными методами, которые возникли прп сочетании идей комплексного анализа с идеями алгебры н топологии. Главная заслуга в создании этих методов принадлежит французской математической школе, в первую очередь А.
К а р т а н у и УК, П. С е р р у. Нашей целью являются не сами методы, а их применения, Поэтому мы подробно прослеживаем связи этих методов с понятиями комплексного анализа, из которых они возникли, и примеры применений, но опускаем доказательства некоторых утверждений.
34. Основные определения. Еще в п. 28 ч. ! Мы ввели понятие ростка аналитической функции, к которому пришли, желая локализовать понятие аналитичности. Напомним это понятие для общего случая функций, голоморфных на аналитическом многообразии произвольной размерности. О п р е д е л е н и е 1. Две функции г и д, голоморфные в точке Р аналитического многообразия М, называются эквивалентнытии, если существует окрестность 1в топологии М) этой точки, в которой ) = — д. Любой класс эквивалентности по этому отношению называется ростком аналитической функции в точке Р.
Росток, содержащий данную функцию 1, голоморфную в точке Р, мы будем обозначать символом 1р. Совокупность всех ростков аналитических функций в точке Р ен М будем обозначать через бр. Очевидно, Юр можно рассматривать как кольцо, если под суммой и произведением его элементов понимать росток, принадлежащий соответственно сумме и произведению представителей этих элементов (функций, голоморфных в точке Р). Это — коммутативиое кольцо с единицей, без делителей нуля ').
е!тобы прийти к основному в этом параграфе понятию пучка, напомним определение области наложения над аналитическим многообразнем М, обобщающее определение рнмановой поверхности в ч. 1. Прежде всего па множестве ростков 446 мвромороныа эгнкции и провлвмы крзвнх ~гл. ш Это делается так. Рассмотрим произвольный росток грен6 и любую функцию ), его представляющую (т. е.
входящую в класс эквивалентности гр). Пусть У вЂ” произвольная окрестность точки Реп М, в которой ~ голоморфна; совокупность ростков О = О (о, принадлежащих этой функции, и вазы- Е и вается охреггносгью гр. В определении области наложения участвует еще проекция, т. е. отображение и: 6 — >М, (2) которое каждому ростку 1р~6 ставит в соответствие точку Реп М.
Обратное отображение неоднозначно: оно преобразует точку Р в совокупность 6р всех ростков функций, голоморфных в этой точке. Однако топология на 6 построена так, что локально, в окрестности О каждого ростка (р, отображение (2) взаимно однозначно, ибо по теореме единственности для любой Дену в О существует лишь один росток Го, соответствующий этой точке. Очевидно, сужение и ~у является гомеоморфизмом.
Отметим, наконец, что во введенной на 6 топологии алгебраические действия с ростками (которые определены лишь для ростков над одной точкой) оказываются непрерьсвнымп. Под этим понимается следующее: пусть г, я, й — ростки из 6р такие, что п=Е+я; тогда для любой окрестности Он~6 найдутся такие окрестности г'н У с:6, что для всех г, ен Г, и я ен Г з росток г + я ен Оь (мы определили непрерывность суммы, непрерывность произведения определяется аналогично).
Для построения окрестностей У~ и Ч' достаточно выбрать столь малую окрестность )' точки Реп М, чтобы в ней были голоморфными функции ) и я, представляющие соответственно ростки г и я. Тогда в Г будет голоморфной и функция Лен'и и, по принятому выше определению окрестностей, для любых (о ~ 'г'ь доен$' сумма 1 +я будет принадлежать функции й, которая, по определению суммы классов эквивалентности, всюду в 1/ равна ~+у. Но это и означает, что т + я ен Оь. Понятие пучка возникает при алгебраико-топологнческой обработке понятия поверхности наложения.
При этой обработке сохраняются все топологические элементы только что описанной конструкции, а от голоморфных функций остается лишь их алгебраическая структура — то, что они образуют кольцо. О п р е де л е н и с 2. Пучком некоторых алгебраических структур (нас будут интересовать лишь кольца или группы) над топологнческим пространством Х (базой пучка) называется МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПУЧКОВ $!я 447 пара (..х, а), составленная из топологического пространства а9' и отобра>кения о: иг" — ~Х (проел>)ми), если выполняются следующие условия.' 1) проекция а является локальным гомеоморфизмом всюду на с9', 2) для каждой точки Р ~ Х в прообразе УР =и '(Р), называемом стеблел> пучка над Р, введена алгебраическая структура; 3) алгебраические операции в стеблях непрерывны в топологии е5'.
Таким образом, описанное выше топологическое пространство 6 ростков голоморфных функций с проекцией и является п у ч ком коле ц над комплексно аналитическим многообразием М. Этот пример будет для нас основным, ниже мы введем и другие примеры пучков колец и групп. Понятие пучка отражает полную локализацию изучаемых объектов. Однако практическая ценность этого понятия определяется главным образом тем, что оно позволяет переходить и к не полностью локализованным, а иногда и к глобальным объектам. Такой переход обобщает переход от ростков (р из пучка 6') к функциям 7, голоморфным в окрестности точки Р, а затем — если это возмо>кно — к функциям, голоморфным на всем многообразии М.
Поэтому теория пучков дает весьма мощные методы решения ряда задач, в которых от локальных свойств нужно переходить к глобальным. Описанный сейчас переход осуществляется при помощи важного понятия сечения. О п редел ение 3. Сечением пучка (ау", а) над открытым множеством (7 с: Х называется непрерывное отображение 7' с7- сэ' такое, что композиция Оь( является в (7 тождественным отображением. Таким образом, сечения — это обращения сужений проекции и на множества с>'с:ау.
Условие 1) в определении пучка показывает, что в достаточно мелких окрестностях каждой точки Реп Х сечения существуют. Совокупность всех сечений пучка над открытым множеством (7 с: Х мы будем обозначать символом (3) Заметим, что в силу локальной гомеоморфности проекции сечения над связной окрестностью (7 ~ Х обладают таким свойством: если два сечения ( и д из «Уп совпадают в какой- ') Здесь мы пишем 6 вместо (6, и); аналогичные сокращения записи мы будем делать и дальше, МЕРОМОРФНЪ|Е ФУНКЦР!И И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА !Гл. !ч 448 либо точке Р я У, то ( — = д всюду в У (доказательство повторяет доказательство леммы из п. 28), Это свойство вместе с условием 3) из определения пучка позволяет распространить на а)Рц алгебраические действия, введенные в стеблях чу".р !) Рассматриваемые в анализе пучки естественным образом возникают в результате предельного перехода из не вполне локалнзованныхобразований,которые называются предпучками.
О и р е д е л с н и е 4. Говорят, что над топологическим пространством Х задан предп!учок некоторых алгебраических структур, если 1) задана база (У) открытых множеств топологии Х, т. е. такой их набор,что любое открытое множество является объединением этих множеств; 2) с каждым множеством У базы ассоциирована алгебраическая структура агац,' 3) с каждой парой У, $'~(У) такой, что )гсУ, ассоциирован гомоморфизм Рць: д'ц-+ д'ю причем выполняется следующее условие транзитивности: если У, )г, )Р" ен(У) и Ю'с )г с У., то рцвт = рг,п, ь рцт, (5) (здесь ь обозначает композицию гомоморфизмов). Важнейшим примером предпучка колец является набор функций, голоморфных в открытых множествах У, составляющих базу аналитического многообразия М, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
