Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 88
Текст из файла (страница 88)
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПУЧКОВ э щ ф(!) =ро! в каждой точке Р ен У для любой )~ Г(Н, 4Р'). От сечений естественным образом переходим к коцепям, и тогда возникает гомоморфизм ф: Са(та, аУ')- СР(й', аУ). Так как ф коммутирует с оператором кограницы 6 (имеем ф6=6ф), то по ф можно построить гомоморфизм ~р*: НР(й, аУ')- НР(тб, ауа) групп когомологий для покрытий '), а от него при помощи топологического предела перейти к гомоморфизму групп когомологий самого пространства ~р', НР(Х, У')-+На(Х, аУа).
Точно так же по ф строится гомоморфизм ар*: На(Х, аг")-+ На(Х, аУа). Остается построить гомоморфизм 6', повышающий размерность группы, Для этого рассмотрим какое-либо покрытие Ь' и последовательность групп коцепей 0-ь СР (й', аРР') — Е ь СР(й', еУ) — ~.ь СР (й . ео а). (16) Нетрудно проверить, что она точна в силу точности последовательности (13). Однако ф, вообще говоря, не является отображением на СР(й', аУм), и мы обозначим СР(й', ау*а) = пп ф.
Сейчас мы хотим построить отображение 'ЙР'(й', еУа) = 2/В, где 2 в подгруппа коциклов из СР(й', еэаа), а  — подгруппа кограниц, в группу НР' (Щ, еУ'). Для этого возьмем коцикл Ь ~ 2; существует коцепь и ~ СР(й', аУ) такая, что ф(л) = Ь. Оиа НЕ яВЛяЕтСя КОцИКЛОМ, НО 6д ЕН СР' (та', ат") И ф (бд) = 6 (фн) = =66=0.
В силу точности (!5), где Р заменено на Р+1, найдется ~~ Са (та', ауа') такая, что ф()) =6д, причем ) — коцикл, ибо ф(61) = 6(ф!) = 6(бй) = 0 и, значит, 6!'= О, так как отображение ф взаимно однозначно. Таким Образом, мы построили отображение а -1 6": 6 — ьд — ьбтт — "' ГруППЫ Х В ХР'~(й', аУ'). НЕтрудНО ПрОВЕрИтЬ, ЧтО Прн ЭТОМ когомологичные друг другу циклы переходят в когомологичные, так что фактически построен гомоморфизм 6*: Й'(й', аУа)- НР (й', еаа'). Наконец, в условиях, наложенных на пространство Х, можно доказать, что топологический предел групп ЙР(та', атал) будет совпадать с НР(Х, аум), и мы придем к нужному гомоморфизму 6": Н'(Х, аУМ)-+ Н"'(Х, аРР'). (16) 'Точность полученной последовательности (14) ясна из построений ь ') По аналогии с тем, что мы делали в яредыдуШем пункте для отображения р нри измельчении накрытия.
400 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА ~гл. ш й 12. Применения Основное содержание этого параграфа составляет исследование разрешимости проблем Кузена методами теории пучков. Приведем их формулировки в пучковых терминах для произвольного открытого покрытия тс'=(сг'„), цен А, комплексно аналитического многообразия М. При этом мы будем пользоваться обозначениями предыдущего параграфа. Первая (аддитивная) проблема, В каждом (У„задана мероморфная функция ~„~ Г((у„отз) так, что во всех пересечениях сг',з = (у, П сг' выполняется условие согласованности )„— у ее Г((г'„з, 6). Требуется найти функцию ) я Г(М, оту) так, чтобы ) — )а ее Г((га, 6) для всех а ее А, Вторая (мультипликативная) проблема, В каждом (г'„задана (не равная тождественно нулю) мероморфная ') функция )„ееГ((у„оЖ') так, что во всех пересечениях (у„з выполняется условие согласованности Ц~ ен Г((г',з, 6*).
Требуется найти функцию уя Г(М, ояь) так, чтобы Ц,я Г((У„, 6") для всех а ее А. Центральным пунктом решения этих проблем является установление связи между локально заданными сечениями пучка в (У, и глобальным сечением этого пучка над всем многообразием. Методы теории пучков хорошо приспособлены для выяснения такой связи.
Важной особенностью этих методов является также то, что они позволяют четко разделить топологическую и аналитическую части проблемы. В рассматриваемых нами приложениях топологнческая часть проблемы решается теоремой о точных последовательностях — теоремой 1 из предыдущего пункта. Следуя Л. Хермандеру, мы используем для преодоления аналитических трудностей теорему существования решений неоднородных систем Коши — Римана.
37, Решение первой проблемы Кузена. Мы воспользуемся той же схемой, которая применялась в и. 32 для решения этой проблемы в случае поликругов. Именно, разрешимость мы выведем из тривиальности группы когомологий с коэффициентами в пучке ростков голоморфных функций, а тривиальность этой группы установим в два этапа: сначала докажем тривиальность такой же группы дифференциальных форм, а затем — изоморфность обеих групп. Все необходимое для первого этапа доказательства содержится в следующей теореме Хермандера: ') Вторая проблема Кузена формулируется здесь в более общем виде, чем в 5 1О; вместо голоморфных рассматриваются мероморфные функции. ПРИМЕНЕНР!Я ЛЕ1 Т е о р е м а П.
Пусть Π— произвольная область голоморфности. Тогда для любой дифференциальной формы О ~ С (О) бистепени (О, д), д > О, для которой дО = О, существует форма отан С (О) бистепени (О, д-1) гпкпя, что дот = Я. Иными словами, в облпсти голоморфности всякая замкнутая (относительно д) форма точна. Под областью голоморфностн здесь, как и всюду в этотт параграфе, понимается произвольная область голоморфности над пространством С нлн, если у~одно, произвольное многообразие Штейна (см. п.
29). В п. 32 эта теорема была Йоказана для случая, когда О с: С" и является произведением односвязных плоских областей. В общем случае доказательство будет изложено в п. 39. Так как группа когомологнй с коэффициентами в пучке оУ 'о'"' для покрытия по определению 2 и. 35 является фактор- группой группы форм, замкнутых в пересечениях множеств покрытия, по подгруппе точных форм, то справедливо Следствие 1. Пусть т2'=(У,) — покрытие области О на комплексном многообразии, все .ннолсества Уа которого тпкэхе являются областями голоморфности. Тогда р-я группа кого,пологий для этого покрытия с коэффициентами в пучке У »=о» <о, ы ростков дифференциальных форм бистепени (О, д) тривиальна для всех р =1, 2, ... и всех д>0: Н'(й', У ') = 0 (р = 1, 2, ...).
И) (Мы воспользовались еще тем, что пересечение областей голоморфностн является такой же областью.) Если мы учтем, что любую область можно покрыть сколь угодно мелкими областямн голоморфностн, то по замечанию в конце п. 35 получим Следствие 2. Для любой области О группы когомологий с коэффициентами в пучке ростков дифференциальных фоо.м тривиальны для всех целых р>0: Н» (О, оУ ч) = О (р = 1, 2, ...). (2) В основе второго этапа доказательства лежит Теорема 1 (Дольбо).
Для любой области О на комплексном многообрпзии') и любого целого р>0 группа когомологий порядка р с коэффициентами в пучке ростков голоморфных функций изоморфна фпкторгруппг группы 2» всех ') Напомним, что многообразие в нашем определении является счетным объединением компактов. МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКПНН И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА 1гл. 1У 4б2 форм бистепени (О, р) из класса С (Р), замкнутых в Р относительно оператора д, по подгруппе ВР точных форм: Н" (Р, 6) 2Р/ВР.
(3) и Обозначим через Я«подпучок «т «, состоящий из ростков замкнутых (относительно д) форм. Последовательность пучков О- Б«1- «т « — д. Б 1 О, (4) где 0 — тривиальный пучок, а 1' — вложение, точна. В самом деле, пп1= Бег д, так как д переводит замкнутые формы в О, «ы а пид= м«, ибо по следствию 2 ростки замкнутых и точных форм совпадают. По теореме о точных последовательностях точна и последовательность соответствующих групп когомологий 0-«Н (Б )-«Н («У «)-»Н (Б~')-»Н (Б ) — «Н («У «)-«... (5) Но нулевые когомологии пучка совпадают с его глобальными сечениями, поэтому Н (У ') =Г(Р, «т ') н Н (Я«") =2«", а по следствию 2 имеем Н'(«т «) = О. Таким образом, мы заключаем из (5), что точна последовательность Г(Р, еУ ') — '-..2"'-~Н'(~')-.
О. Отсюда следует изоморфизм Н'(Б«) = 2«"/ппд=2"'~В«" (см. пример 3 на стр. 458; мы воспользовались еще тем, что оператор д переводит (О, а)-формы в точные (О, а+1)-формы и, значит, образ Г(Р, «т"«) совпадает с В«"). Теперь рассмотрим отрезок (5) между Н" (т «) и Н («т «') и снова воспользуемся тем, что при р)0 эти группы тривиальны: 0 -«НР ( Б «") — «НР' (5 «) -«О. Из точности этой последовательности вытекает изоморфизм Н"' (ж ) = Н (Я ' ) (7) (см. пример 1 на той же стр.). Применяя (7) несколько раз, найдем Н'(Ъ))=Н' '(К') = ..
= Н'(ж' '). ь ы) ПРИМЕНЕНИЯ Остается учесть, что замкнутые относительно д формы бнстепени (О, 0) совпадают с голоморфными функциями, так что 2»=6, и воспользоваться изоморфизмом (6) в 3 а м е ч а ни е !. Если в покрытии тс все элементы С'о являются областями голоморфности, то из теоремы П вытекает точность последовательности (5), но уже взятой для когомологий покрытия тс (подробнее см. Хермандср'), стр. 237). Повторяя дословно доказательство, мы получаем, что Н» (2~, 6) = 2»!В», (3') Из теоремы Дольбо и теоремы П вытекает важное С л е д с т в и е.
Для любой области голаморфности В Л»(0, 6)=0 (р=1, 2, ...). (9) Теперь нетрудно доказать и основную теорему этого пункта; Т е о р е м а 2 (А. К а р т а н). В произвольной области го ломорфности 1) любая первая проблема Кузена разрешима Я). «) Последовательность пучков аддитивных групп 0 — » 6 — -» »ЗУ вЂ” ~-» М/6 — » О, (10) где ф — естественный гомоморфизм, который ставит в соответ стане каждому ростку 1 ~ о»в класс эквивалентности, его ') Л.
Хбрмандер, Введение в теорию функций нескольких ком. плексных переменных, «Мир», М., 1968. ') Для однолистных областей голоморфности в О» теорема была дока»»на К. Ока. откуда следует, что для таких покрытий Н»(Ю, 6) = Н'(О, 6) (сама .0 может и не быть областью голоморфиости). Замечание 2. Все рассуждения в доказательстве теоремы Дольбо проходят совершенно аналогично и в том случае, когда вместо д рассматривается оператор й дифференцирования по всем переменным з„и г,.
Так как в этом случае пучок х,» форм ! нулевой степени, для которых г(1=0, совпа-" дает с пучком постоянных С (или («, если рассматриваются формы с действительными коэффициентами), то справедлива следующая Т е о р е м а (д е Р а м). Для любого многообразия М класса С и любого целого р>0 группа когомологии Н»(М, С) изоморфна факторгруппе группы л» замкнутых на М относительно оператора й форм степени р по подгруппе В» точных форм: Н (М,С)=2 1В. (8) МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛЕМЫ КУЗЕНА ~гл. ~у содержащий, точна (см. пример 2 на стр. 458).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
