Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 84
Текст из файла (страница 84)
е. удовлетворять условиям (2) и (3) предыдущего пункта. Так как ЕЭ вЂ” область голоморфностп, то эта проблема Кузена разрешима, и, зна шт, существуют функции й„еиН(6,) такие, что Ь вЂ” йа=й„в любом На,. Подставляя сюда значение й„а из (2), найдем, что 1„+яй„=~ +>рп в каждом 6, . Отсюда видно, что в областиП определяется голоморфная функция 1, равная 1„+>рй, в каждой окрестности 6,.
Но так как ~р)„=0, то, пользуясь еше соотношением (1), мы найдем, что » о пм >а>о пм Я >и гм Таким образом, ) действительно является искомым продолжением функции д в. Теорема 1 позволяет получить разложение Хефера, которое мы без доказательства применяли в п. 18 при выводе интегральной формулы Вейля. В основе лежит следующая Лемма. Пусть Рс:.С" — область голоморфности и (и -й)- л1ерная аналитическая плоскость П=(генС": г1 = ...
— — ге =О) имеет с ней непустое пересечение. Тогда любая функция )енН(6), равная нулю нп ПДВ, допускает в 6 представление )(г) = ~ г,а (г), (3) где все да~Н(6). и доказательство будем вести нндукцией по й. При Я =1 утверждение очевидно, ибо в качестве д, можно принять функцию 1/гб пусть оно верно для и — 1. Обозначим 6 =6 П(ге=0); все связные компоненты этого пересечения являются, очевидно, областями голоморфности в пространстве С" ' переменных гн ..., г,, гь„, ..., г„.
Сужение ) ~(, „, енН(6) и по условию обращается в нуль на 6 Д(г, = ... =ге, =О). Отсюда, согласно индуктивному предположению, вытекает, что в 6 имеет место представление А-1 ьт 1 >(аь 0] ла гака(г! гь-3 гьн> ° ° > га) ф где все у',енН(6).
По теореме 1 все дь, продолжаются с 6 = = 6 П(гь = О) во всю область 11 до голоморфных функций да(г). мегомоРФнь]в Функции 5 >0] Рассмотрим теперь разность я 1 очевидно, >р]1, =О, и, по свойству определяющих функций, найдется д„~Н(0) такая, что р(г)=газ(г) для всех г~0. Отсюда видно, что представление (3) справедливо и для й ]ь Из этой леммы совсем просто выводится Т е о р е м а 2 (Х е ф е р). Пусть Ос:С" — область голоморфности и ])т(г) е=Н(0) — произвольная функция. Существуют такие функции Р,(Ь, г)е-:Н(0 Х О), ]>=1, ..., п, сто для всех ь, г~0 справедливо представление ])т(Ь) — ]]т(г) = ~ (Ь, — г,)Р,(Ь, г).
(4) < Разность у]т(Ь) — ]у>(г) ~ Н(0 Х Р), и так как 0 Х Р вЂ” область голоморфности в Сэ", а эта разность абра]цается в нуль на п-мериой аналитической плоскости П = (г,ь; г, = ьч, т = 1. .. п), то, положив г, = ь, — г„2„„= г, (т = 1, ..., п), мы можем применить к рассматриваемой разности лемму. Получим нужное разложение (4) > В качестве следующего примера задачи, приводящейся к аддитивной проблеме Кузена, мы рассмотрим один простой случай разрешимости так называемой мультипликативной или второй проблемы Кузена. Если первая проблема представляет собой пространственный аналог теоремы Миттаг-Леффлера, то эта проблема является таким же аналогом теоремы Вейерштрасса о существовании голоморфных функций с заданными нулями. Вот ее постановка: П робле ма Кузена П (мул ьтипликативн а я).
Дано открытое покрытие й" =(У,), аенл, области 0 на аналитическом многообразии М и в каждой У, — голоморфная функция 1„; при этом пн одна 1„ФО и выполняется следующее условие согласованности: В любом»ересечении У,з= У,Д У частное )еl~а является голоморфной функцией. Требуется построить голоморфную в 0 функцию ]' так, чтобы в каждой У, частное )/~, было голоморфной функцией, не обращающейся в нуль.
3 а м е ч а н и е. Из условия согласованности следует, что частное (Д ~О в У„З, ибо там вместе с ),П" голоморфно н частное ]ф, 442 МЕРОЛ1ОРФНЫГ ФУНКЦИИ И ПРОБЛНМЫ КУЭСИЛ 1гл. и Имея данные второй проблемы Кузена Цо) для рассматриваемого покрытия тх", мы можем в каждом пересечении рассмотреть функции /г„а = — ', (5) 1п ' голоморфные и отличные от нуля в силу условия согласованности. Эти функции в каждом Уоа удовлетворяют условию (6) йатйаа а в каждом (у„бт = 17„П (7„() 17 —.
условию йойй Ь, = 1. (7) )у(ы видим, что эти условия представляк>т собой мультипликативный аналог условий (2) и (3) п, 31, имеющих аддитивный характер. Как и в п. 31, просто проверить, что разрешимость проблемы сводится к построению функций йс, голоморфных п отличных от нуля в окрестностях (7„(а~А) таких, что йб — =Ь аз (8) где й„— некоторые целые числа. Волн все этп числа равны нулю, мкы приходим к первой проблеме Кузена и, решив ее, получим решение второй проблемы. Однако, вообще говоря, это не так, и на область О, кроме условия разрешимости первой проблемы Кузена, надо наложить еще некоторые топо- логические ограничения, которые должны обеспечить возмож- ') Под односзязнсстью области здесь и далее понимается линейная од.
несвязность; любой замкнутый путь, принадлежащий этой области, гомотопен з ней нулю. в каждом пересечении (у, . Возникает естественное желание свести вторую проблему Кузена к первой прп помощи логарифмирования. Так как функции Ь, голоморфны н отличны от нуля, то, предполагая, что пересечения (7, односвязиы'), мы можем в каждом из нпх выбрать некоторую голоморфную ветвь 1п Ь„з = и„, и притом, в силу условия (6), так, что д„,+д,„=й.
Из (7) мы тогда получим, что в пересечениях (уозт кап + к ат + к та = 2пйайт 443 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ ность выбора таких ветвей !пйаа =да„, чтобы все й„оказались равными нулю. Об этих ограничениях мы будем говорить в следующем параграфе. Здесь же приведем лишь простую теорему, в которой топологическне трудности снимаются условием существования глобальной (т. е. определенной во всей области Е)) функции д, решающей проблему, но не обязательно голоморфной, а лишь непрерывной.
Те о р е м а 3. Пусть для области В разрешима первая проблема Кузена и данные ~„второй проблемы для покрытия(У«) таковы, что существует непрерывная в У функция у, для которой все частные дД« непрерывны и отличны от нуля в Уа. Тогда проблема (),) разрешима. м Предположим сначала, что все У, односвязны. Тогда в каждой У, можно выбрать непрерывную ветвь 1п(1,/д). Мы выбираем эти ветви произвольно, а затем в каждом пересечении У„ полагаем 1пй, = 1п — — 1п —, 1а и и ' где й, =)',~~ и в правой части взяты выбранные ветви. Функции д„а=!пй, голоморфны в У, н удовлетворяют, очевидно, условиям в«9+ раа (! ваа + наг+ рта (т.
е. образуют голоморфный коцикл). По условию первая проблема Кузена (даа) разрешима и существуют голоморфные в У, функции д, такие, что в каждом пересечении У . Полагая й,= ее для каждого аа' аенА, мы получаем голоморфные в Уа и отличные от нуля функции и нз соотношения (9) находим, что йа =й /йа в любом Уа„. Это равносильно решению второй проблемй Кузена. Общий случай, когда не все У„односвязны, приводится к разобранному при помаши измельчения покрытия. Разобьем каждую окрестность Уа на односвязные области У,' и положим )'„' =)а в каждом У'„. По условию все частные д1('„непрерывны н отличны от,нуля.
Если теперь положить й' = й,„ «РВ„«а в каждом пересечении У' а, то функции (й' а ) будут удовлеН~ч «Н у 444 МЕРОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ И ПРОБЛГМЫ КУЗЕНА [Гл. [и творять условиям (6) и (7). Мы находимся в условиях уже разобранного случая.
По доказанному существует голоморфная в 0 функция )' такая, что все частные Ц„' голоморфны и отличны от нуля в П„', Но так как )„' =1, в П„и эти У, покрывают П„то ! решает вторую проблему и для покрытия (О.) ° " Доказанная теорема позволяет усилить теорему 1 о продолжении. В этой теореме предполагается, что множество М определяется функцией ~р, голоморфной в области О. Оказывается, можно требовать меныпего: лишь непрерывности [р в 0 и ее локальной голоморфностн в точках М, и это требование равносильно предыдущему. В самом деле, справедливо Следствие.
Пусть 0~[ "— область голол[орфности и М~Π— аналитическое множество комплексной размерности и — 1. Если существует непрерывная в 0 функция ф, определяющая М, то существует и определяющая его функция [', голоморфная в О. < Рассмотрим открытое покрытие (О„) области О, столь мелкое, что в каждой О„пересечение 1[„[') М имеет голоморфную определяющую функцию ), (это следует из определения аналитического множества); в тех П„, которые не пересекаются с Л1, положим )'„=1.
Такой выбор )„если учесть еще свойство определяющих функций, обеспечивает голоморфность всех отношений ),[[з в пересечениях П, . Поэтому набор (Ц можно принять за данные второй проблемы Кузена. Наконец, так как [Р и 1, обе определяют М в П„, то все частные непрерывны и отличны от нуля в П,. По теореме 3 рассматриваемая проблема разрешима, и ее решение ! обладает нужными свойствами ~ 3 а м е ч а н и е. В этом следствии условие существования функции [Р не является необходимым: оно вызвано тем, что мы пользуемся в доказательстве теоремой 3. Очевидно, его можно опустить, если известно, что в области 0 разрешима вторая проблема Кузена. В такой области, следовательно, всякое комплексно (и — 1)-мерное аналитическое множество М имеет глобальную определяющую голоморфную функцию.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
