Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 77
Текст из файла (страница 77)
9. Мы выделим специальный класс многообразий условием существования глобально определенного непрерывного отображения в С", всюду локально гомеоморфного. Такие многообразия вместе с заданными на них отображениями в С" н будут предметом нашего изучения в этом пункте.
О п р е д е л е н и е. Многообразием наложения над пространством С" (короче: многообразием над С") мы будем называть пару (М, я), где М вЂ” многообразие, а га М-+С" — локально гомеоморфное отображение, которое называется проектированием. Если М связно, то (М, и) называется областью наложения над Сч Это определение распространяет на пространственный случай определение римановой поверхности над С (см. п. 32 ч.
1). Как и в плоском случае, проектирование позволяет перенести на многообразия понятия, введенные в С". Так, мы назовем поликругом на (М, и) с центром в точке Р,БАМ и радиусом г множество У (Ры г) точек Р я: М, содержащее Р,, которое я г о м е о м о р ф н о преобразует в точки поликруга У (гь, г), где Яь= п(РБ) — пРоекциЯ точки Рь: У(Р, г) =(РевМ: п(Р)~У(гь, г), Рьеи У и а)- гомеоморфно). (1) Объединение всех поликругов на (М, п) с данным центром Р„ также является поликругом, который называется максимальным; радиус этого поликруга (конечный или бесконечный) называется расстоянием Р, до границы М и обозначается через р(Р„, дМ). Под расстоянием до границы некоторого множества 1У с: М понимается 1п1 р(Р, дМ).
Рыя Если М вЂ” комплексно аналитическое многообразие (см. п. 9), то на (М, и) можно ввести понятие голоморфной функции. Именно, функция 1: М вЂ” С называется голоморфной на (М, и), если для любого поликруга У = У(Р, г) на (М, п), функция ) ° (я)д) ~ голоморфна в поликруге У(г, г) =я(У). Очевидно, что это определение голоморфности совпадает с принятым в п.
9. В частности, на (М, я) будут голоморфными все локальные к о о р д и н а т ы: г, о п(Р), которые коротко обозначаются через я,(Р) (э= 1, ..., и). Кольцо всех функцнй, голоморфных в области (М, я) над С", мы будем обозначать через Н(М). Важный пример комплексно аналитического многообразия над С" доставляет процесс аналитического продолжения аналитнчвскоа пводолжиннв 1гл. нг 610 уа(з) =,Е~ сзм (з — а) !а 1-о (2) голоморфна в некотором поликруге (У, с центром в а, который для определенности будем считать поликругом сходи- мости ряда (2)з).
Введем в Я топологию следующим образом: под окрестностью (У(А) точки А енЯ понимается совокупность точек В=(Ь, ЦенИ таких, что: 1) р(а, Ь)<г и 2) элемент ((Уь, уз) является непосредственным аналитическим продолже- ') Ива пути уз и у~ в У) ~= Сз называются гомотопиыми (как пути с неподвижными концами), если существует непрерывное отображение у (Ц т): у Х у-ь)1 такое, что у(ц О) — уа(г). у(6 1) =— уз(1) и у(0 т) = — тз(0), у(1, т) — уз(1); через уч обозначается путь у(б т): У-ьО, где т он У фиксировано (ср.
п. !6 ч, 1). ') Второй компонентой точки А=(о, Уа) можно считать также росток аналитической функции в точке а ~ 1:Я, т. е. класс эквивалентности голоморфных в точке о функций по отношению: У л, если У ~ и в некоторой окрестности о. голоморфных функций.
В случае нескольких переменных он проводится в точности так же, как в плоском случае, и мы ограничимся его кратким описанием. Будем исходить из какого-либо элемента (уу, у), т. е. совокупности поликруга (у = (у(зо, г) с: С" и голоморфной в этом поликруге функции у(з) = ~~'., сз(г — го)а. 1а~-о Точно так, как в случае одного переменного, опоедсляется непосредственное аналитическое продолжение, аналитичсское продолжение и аналитическое продолжение вдоль пути т: У-+С" (здесь У=[0, 1) с: Р, отображение у задается и непрерывными комплексными функциями аз=аз(У), У е= У). Доказывается, что аналитическое продолжение вдоль пути (если оно возможно) не зависит от выбора промежуточных точек, а также не меняется при замене пути у гомотопным ему путем у, с теми же концами, если вдоль всех путей у„О(т(1, осуществляющих гомотопию '), продолжение начального элемента ((У, у) возможно.
Приведем теперь основное Определение. Аналитической функцией и комплексных переменных называется совокупность элементов ((Уо, у ), а он А (А — некоторое множество индексов), каждый из которых получается из любого другого аналитическим продолжением вдоль какого-либо пути. Построим теперь комплексно аналитическое многообразие над С", связанное с аналитическими функциями. Рассмотрим множество И, точками которого служат пары А=(а, у,), где точка а ен С" и функция $9) оьолочки голомовфности нием элемента (У„(,).
Мы предоставляем читателю доказать, что эта топология превращает Я в хаусдорфово пространство. Определим теперь проекцию Я в ('" отображением «: (а, 1,) -» а. (3) Нетрудно видеть, что « — локальный гомеоморфизм и что это отображение определяет на Я структуру комплексно аналитического многообразия комплексной размерности и (ср. п. 32 ч. 1); мы будем назь1вать Я риманозым многообразием. Таким образом, пара (Я, «) является комплексно аналитическим многообразием над С" (окрестности У(А) оказываются на нем полнкругами).
Примером голоморфной на (Я, «) функции является функция А-»~,(а), (4) сопоставляющая точке А =(а, ),) свободный член ряда (2). Риманово многообразие Я, очевидно, несвязно. Однако подмножества Яз его точек (а, ),) таких, что элементы (У„1„) принадлежат одной аналитической функции (т. е. являются аналитическим про- 4 должением друг друга вдоль какого-либо пути), связны. Такие множества являются Яз областями в Я; мы будем называть их римановыми поверхностями. Очевидно, ка- 1рь ждой области Яэ с: Я соответствует анали- 1 Фу ~ .
~р ,ю ~ г . ! е' лнтической функции соответствует область г Яос:Я. Рас 1!1. Пусть Яь ~ Я вЂ” какая-либо риманова поверхность; через «' и ~, обозначим соответственно сужения на Яз отображений (3) и (4). Локально гомеоморфное отображение «з не обязано быть в целом гомеоморфизмом, поэтому оно может переводить в одну течку я~С" несколько точек А ~Я, (рис. 111). Функция 1,, однозначная на (Ям «ь), будет тогда многозначной, если ее рассматривать в зависимости от з.
Таким образом, и в случае многих переменных мы можем рассматривать (многозначные) аналитические функции как (однозначные) голоморфные функции, если вместо областей в С" перейдем к областям над('", т. е. римановым поверхностям. Кроме областей (Ям «~) рассматриваются и другие модели римановых поверхностей, эквивалентные этим областям (понятие эквивалентности мы сейчас определим).
Мы будем далее заниматься расширением областей наложения и, чтобы можне было сравнивать между собой различные модели, введем АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОПОЛЖЕНИЕ )гл. !ы понятия вложения многообразий и сужения функций, связав их с возможностью отображения одного многообразия на другое. О п р е дел е н и е 1. Пусть даны два многообразия (Ми н') и (М„п') над С"; если существует такое непрерывное отображение ф: М, — М,, что на М, и~ =П оф, (5) то говорят, что первое многообразие (слабо) ф-елооеено во второе, и пишут: (Ми и') с:(Мз, пз), Если при этом ф является взаимно однозначным отображением М, в Мз, то говорят, что (Ми н') сильно ф-еложено в (М„пз). Если еще ф — гомеоморфизм М, на Мз, то (Мь и) и (М„нз) называются эквивалентными.
Это определение обобщает обычное понятие включения: если М, ~ М, в обычном смысле, то и'=Из)м является сужением функции пз на Ми и в качестве ф можно принять естественное отображение вложения ф: М,-»Мз, где ф переводит каждую точку Р ~ М, в ту же точку Р, рассматриваемую как точка М,'), Очевидно, что эквивалентные многообразия (Ми и') и (М„па) сильно вложены друг в друга (одно — посредством ф, другое — ф '). В случае слабого вложения (Ми и') с: (Мз, и') первое многообразие может оказаться «более разветвленным», чем второе.
Так, риманова поверхность функции ж = 'р'г над С' оказывается слабо вложенной в риманову поверхность и = ')т г (в качестве ф надо принять отображение, склеивающие пары точек первой поверхности, в которых у'г принимает одинаковые значения). Всякое многообразие (М, и) над к,'а является и-вложенным в С", Обобщая понятие функции, голоморфной на многообразии, введем понятие голоморфного отображения многообразий. Пусть даны два комплексно аналитических многообоьазия (Ми и') и (М,, и') соответственно над пространствами к.' и С'"; отобРажение ф: М,-»Мз называетса голоморфным, если оно непрерывно и все функции г, о пз о ф(Р), е = 1...,, лт, (6) голоморфны на (М„я'). Если еще ф — гомеоморфизм М, на Мз (тогда непременно ти = л) и обратное отображение ф '. Мз-ь М, также голоморфпо, то ф называется голоморфным иэоморфиз- ') Так как отображение вложения ф(Р) = Р взаимно однозначно, то обычное включение является сильным ф-вложением.
ОБОлОчки ГоломОРФИОстн 4!3 мом (короче, голоморфизмом) или биголоморфным отображением. Отметим, что если одно комплексно аналитическое многообразие ~р-вложено в другое такое же, то отображение вложения йх М,— М, непременно является голоморфным.
В самом деле„ по определению вложения функции (6) г ан а~р(Р) =г ап (Р), а последние голоморфны, ибо (Мо н') — комплексно аналитическое многообразие. Эквивалентность многообразий в этом случае сводится к голоморфной эквивалентности. О яр еде ление 2. Пусть (Мн н') с: (М9, н') и )9: М,— С— функция на втором многообразии; функцию ),: М, -+ С будем называть «р-сужением функции ~9 на первое многообразие (обозначение: ~, =(9)т ), если на М, (1 — — (9 а У' (7) функцию ~9 тогда будем называть ф-раситирением )Р Если М, ~ М,, а <р — естественное отображение вложения, то мы имеем обычное сужение ~, =-)9 ~мг Покажем, что построенное выше риманово многообразие (Я, и) является «универсальной моделью» многообразий над С", т.
е. что любое комплексно аналитическое многообразие над Сй можно ч»вложить в риманово многообразие. Точнее, имеет место Т е о р е м а Е Пусть ьт — связное комплексно аналитическое многообразие, Дл, и) — область наложения над С" и ~: ьт — »С— голоморфная на (ьт, и) функция; суи(ествуют связная компонента Яь с: Я и отображение 99: тл -+ Я9 такие, что Ф н) =(Яь, р'), Р=Р9~', (8) где Пь = р ~в и ~9 = ~ (к — сужения на Я отображений (3) и (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
