Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Таким образом, 0" голоморфно выпукла и, следовательно, является областью голоморфности ь й 8. Псевдовыпуклость Здесь мы познакомимся с другой трактовкой понятия голоморфиой выпуклости, которая имеет два существенных достоинства: во-первых, это понятие можно сформулировать локально (и в таком виде оно легче проверяется), и, во-вторых, оно естественно выражается, формулируется в геометрических терминах.
23. Принцип непрерывности. Начнем еще с одной теоремы о принудительном аналитическом продолжении. Для ее формулировки условимся о некоторых терминах. О п р е д е л е н и е. Будем называть комплексно г-мерной аналитической поверхностью в области Л с: С'© ее образ Ь' прн взаимно однозначном голоморфном отображении <р: Л- — С" (н > г), определяемом функциями з,=Ч,В„..., 1,), э=1, ..., и, (1) если ранг матрицы Якоби < — ) всюду в й равен г. < д<рм т (, дь„! Комплексно одномерные аналитические поверхности называют также аналитическими кривыми (если, в частности, все <р, линейны: «< = а+ <ьь, то мы получаем аналитическую прямую, см. гл.
1). Аналитическая поверхность является, очевидно, связным комплексно аналитическим многообразием. Для функций, голоморфных на аналитических поверхностях, конечно, справедливы теорема единственности и принцип максимума, доказанные в и. 9. Будем называть (комплексно) рт-мерную аналитическую поверхность 5с:С" компактной, если она является компактным подмножеством другой т-мерной аналитической поверхности 5'. Для компактных аналитических поверхностей 3 принцип максимума модуля можно, очевидно, сформулировать так: для любой функции 1, голоморфной на 5 и непрерывной на замыкании 5, ~(( 115 11 ~ 1(дз <) напомним, что 1<8<5 — — зпр 11(г)1.
гмз (гл. Пг АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОПОЛЖЕИИЕ 878 Далее, назовем последовательность множеств М, сходяи(ейся к множеству М (обозначение: М,-РМ), если для любого е) 0 найдется номер ть такой, что при всех ч)те М (е) М1 1(е) (2 ) где через Мел и М",) обозначены е-раздутия соответствующих множеств (т. е. объединения всех полнкругов У(г, е) с центрами в точках множеств).
Т е о р е м а (Б е н к е — 3 о м м е р). Пусть 5, — последовательность компактных т-мерных аналитических поверхностей, принадлежащих вместе с грани((ами д5, области 0 ~ С". Если 5, сходится к некоторому множеству 5, а д5,— к множеству Г и Г е= 0 (рис. 103), то любая функция )' е= Н (0) голоморфно продолжается в некоторую окрестность множества 5. м Так как Г ~ О, то существует область 0 ~ 0 такая, что Г ~ 6; обозначим р(0, д0) = г. В силу сходимости д5,— Г найдется такое те, что при т)т, д5,(:О. (3) Рис )08. Для любой (~Н(0) и любой точки ген5, по принципу максимума модуля имеем 1~(г) 1» ~~~ 7 ~(аз ° а ото)ода в силу (3) при т) ть получаем 1 )'(г) 1-='!()'(!о.
Но это означает, что г, а следовательно н вся поверхность 5„прн т) чь, принадлежит выпуклой оболочке бн(р>. По теореме об одновременном продолжении (и. 21) отсюда следует, что любая функция 7 ен Н(0) голоморфно продолжается в г-раздутие 5(Р всех поверхностей 5, с номерами т) ть. Наконец, в силу сходимости 5,-Р5 найдется такое т) )ть, (-") что 5с:5,' при всех т)ти и, следовательно, любая 7енН(0) Г голоморфно продолжается в — -раздутие множества 5 ь 2 3 а м е ч а н и е.
Как видно из доказательства, в теореме Бенке — Зоммера класс Н(0) можно заменить классом функ- поевдовыпуклость 379 е з! ций, голоморфных лишь в пересечении П с некоторой окрестностью предельного множества З()Г. Теорему Бенке — Зоммера называют принципом непрерывности' ). Описательно говоря, она состоит в том, что свойство функции быть голоморфной в окрестности аналитических поверхностей 5, сохраняется и для предельного множества Я этих поверхностей. В качестве примера применения принципа непрерывности приведем доказательство одной леммы, которая понадобится нам в следующем параграфе при изучении продолжения функций, голоморфных в трубчатых областях.
Л е и м а. Пусть х', х', хт — три .г точки пространства !ч" (х), не ле- д жагцие на одной прямой, 1, = [хо, х'] г» и 1,=[хе, х'] — замкнутые отрезки,, й а а Л = хох'х' — замкнутый треугольник. Если функция 1 голоморфна в окрестности множества (1! Ц1з) Х Й" (у), то она голоморфно продолжается в окрестность множества Л Х И" (у). Иными словами, всякая функция 1, голоморфная в окрестности объединения двух граней трехгранной призмы (рис.
104), непременно продолжается голоморфно в окрестность всей призмы. < Без ограничения общности можно считать, что х"= = (О, О,..., 0), х'=(1, 1, О,..., 0), х'=(-1, 1, О,..., 0), ибо этого можно достичь линейным преобразованием пространства С" (г) с действительными коэффициеитамит). достаточно доказать, что ! голоморфно продолжается в любую точку а множества»14 =Л Х Р" (у).
Можно считать, что а лежит в пересечении»!1 с действительным подпространством (у = О), т. е. в треугольнике Л (этого можно достичь сдвигом на вектор с чисто мнимыми координатами). Итак, нужно доказать, что 1 продолжается голоморфно в любую точку а =(аь ат, О, ..., 0), где ао а,— действительные числа, удовлетворяющие условию [а, [<аз(1 (при нашем ') Частный случай теоремы Бенке — Зоммера, когда Бч являются замкнутыми подмножествами аналитических прямых 'з='ач и 5 — таким же подмножеством прямой 'з 'а= !!и 'а„, был доказан еще Хартогсом и навы- к.+ вается теоремой Хартогса о непрерывности.
'! Такое преобразование переводит К" (х) в себя и не нарушает ни условий, ни утверждения леммы. АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ !гл. и! зво расположении осей это условие того, что аенЛ',(1!()1,); при а е— : 1, () !2 голоморфносгь ) уже предположена). Для доказательства проведем через точки х', а н х' параболу х,= ах2+6 (4) ( ! — а2 для этого надо взять а= —, и 6-1 — а; при а,=1 пара! — а ! бола выродится в прямую х2 = 1) н для любого А, О < 1. (6, рассмотрим аналитическую кривую 5 = (аыМ: е = аз'+ Хь г = ...
с в = 0'. (5) 2 ! ' 3 ''' а Переменное а! мы рассматриваем как параметр на 5А. Чтобы доказать компактность 5ю достаточно показать, что при ген 5А значения г! меняются в ограниченной области пло-х,=и( скости ги Но проекция 5, на плоскость е! определяется условием(Кег!,Йегз, О, ..., 0)енА, которое записывается в виде ~ х, ~ < а (х2 — У2) + А, ( 1 (6) и выделяет ограниченную область, заключенную между гиперболамн ( --) !2 ! х У ат 421 ! 4а а Рис. !05. (заштрикввана на рис.
106). Заметим е(це, что аналитические кривые 5А ппи 0<1~() пересекают й" (х) по принадлежащему Ь отрезку парабвлы х -их2+Л, (7) параллельной парабеле (4) (изображена дунктнром на рна. 104). дбозначим е (Д~(0, Я: ! голоморфио продолжается в окрестновть 5А); это, очевидно, открытое множество.
Оно непусто, ибо при достаточно малых й>0 область (6) изменения еи как видно из рис. 166, лежит в сколь угодно малой окрестности точки а! = 0 и, следовательно, 5А — в сколь угодно малой окрестности точки « = О, где 1 по условию голоморфна. Но множество е' в то же время н замкнуто. В самом деле, если Х„ж(0, 6! — предельнач точка е, то существует последовательность 5л -Р5л, Х,ен3'; а О псевдовыпуклость ЗВ1 при этом д5ь — эд5, и ~ голоморфна в окрестности всех 5ь и д5м (заметим, что д5„при любом кап(0, р1 принадлежит множеству (1,()1,) Х Й" (у), где ~ голоморфна по условию). Мы можем, следовательно, применить принцип непрерывности (см. замечание после его доказательства) и заключить, что ь еи в".
Таким образом, Й = (О, Я, и, значит, ) голоморфно продолжается в окрестность 5, но 5 содержит точку а > 24. Выпуклость в смысле Леви. Принцип непрерывности гарантирует возможность голоморфного продолжения функции из области Е1 в окрестность множества 5, которое можно приблизить поверхностями 5чс: Е). Так как 5 можно считать расположенным в окрестности какой-либо граничной точки 1), то этот принцип имеет локальный характер.
Естественно ввести на область условие локальной непродолжаемости некоторых голоморфных функций как условие не с у щ ее т в о в а ни я последовательности поверхностей, к которым бь|л бы применим принцип непрерывности. Сформулируем это в следующем виде: О и р е де ление. Область Е1 ~ С" называется выпуклой в смысле Леви (короче, Е-выпуклой) в граничной точке ь, если, какова бы ни была поверхность 5, содержащая ь и такая, что д5 ~ Е1, то для любой последовательности компактных аналитических поверхностей 5,: 5,-+ 5, д5,— д5, (1) найдется номер ть, начиная с которого все 5, содержат точки, не принадлежащие Е1. Область О называется Е-выпуклой, если ону Е-выпукла в каждой своей граничной точке. Из принципа непрерывности непосредственно вытекает Т е о р е м а 1. Калсдая область голоморфности является Е-выпуклой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
