Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 66
Текст из файла (страница 66)
Если все функции йгг являются полиномамн, то (2) называется полиномиальным полиэдром. В частном случае, когда У = и и все юг(е) = г„ полиэдрическая область является поликруговой, а полнздр — поликругом. Определение 2. Полиэдрическое множество (1) называется множеством Вейля, если У>п и 1) все его грани о, = (з Я Рп юг (з) ен дРг, Кг (е) ~ Рм !' Ф г) являются (2п — 1)-мерными множествами; 2) пересечение любых й различных граней (2ч-й(п) — ребро множества Вейля — имеет размерность ие выше 2п — й.
Совокупность и-мерных ребер (4) множества Вейля называется его остовом. Связные множества Вейля называются областями Вейлл. Для получения интегрального представления функций, голоморфных в областях Вейля, нам понадобится специальное разложение функций ((7г, определяющих эти области. Возможность такого разложения гарантирует 4 а1 интвггьльныв пввдставления Т е о р е м а Х е ф е р а. Для любой функции Чт! с: Н(Р), где Р— область в С", существуют и функций Рз(ь, «) (! = 1, ..., и) голоморфных в Р Х Р и таких, что для всех точек 9, «еи Р имеет место тождество йт!(9) — 1)т,(«) = ~~~~ (ь, — «,)Р,!(9, «).
В общем случае теорема Хефера неэлементарна '), мы приведем ее доказательство в гл. 1Ч. Здесь мы лишь заметим, что для полнномов тождество (5) получается простой перегруппировкой тейлоровского разложения функции йт! в точке «, причем коэффициенты Хефера Р, 'также оказываются полиномами. Теорем а ! (В ей ль). Пусть П вЂ” область Вейля (1), определяемая областями Р, с гладкими гран!щами.
Тогда любую функцию ген Н(П)()С(П) в любой точке «~П можно представить формулой Р!~ Р!, ~Ц, (6) Р!л Р!з ! ''' а где суммирование распространяется на все упорядоченные набора! индексов (1~(!', < ... <з„<Л!), определяющие ребра остова области, Р, — коэффициенты Хефера и дь = Нь! Л ... Л д~„; ребра ориентированы условием, что все дР, проходятся в положительном направлении.
В случае, когда П представляет собой поликруговую область (У= и, ()т! — = «1, ! = 1, ..., Ф), остов Г состоит из одного ребра о, „(и совпадает с остовом в смысле п. 2) и сумма в (6) состоит из одного слагаемого. Коэффициенты Хефера Р в этом случае равны 1 прн !=э и О при ! Ф ч, т. е. определитель в формуле Вейля равен 1, и эта формула принимает внд 1 Г 1©вз (2л1)" г Д (~ч — зч) ч ! Таким образом, формула Вейля обобщает интегральную формулу Коши для поликруговых областей на случай областей Вейля. Как и формула Коши, она имеет ядро, аналитическое ') Теорема Хефера была доказана в 1942 г. ~гл.
и ИИТЕГРИРОВАННЕ зв2 по переменным ~ и е. Для упрощении формальных выкладок мы приведем доказательство теоремы Вейля в случае и = 2. < Будем исходить из формулы Мартинелли — Бохнера, которая в случае областей Вейля нз ( 2 имеет вид 1(е)=, . )' „~)(~) ' ' ' ' ' ~' ЛН~, (8) (апй' !ь — «р ! 1 О. 1 где а,— грань области П, Идея получения формулы Вейля следующая: мы постараемся применить к (8) формулу Стокса так, чтобы исчезли неаналитические дифференциалы !«ь, и вместо граней !21 интегрирование велось по ребрам остова !г„:, при этом окажется, что исчезнет и неаналитичность ядра (переменные ь,— «2 и ~~ — г~).
Весьма существенную роль в этом преобразовании будет играть разложение Хефера (5). Заметим прежде всего, что форма 12(г, г), стоящая под знаком интеграла (8), точная; она является дифференциалом любой ИЗ Р!' ФОРМ 1 "~ "= ~~- р(!Р1к)-а««и г, Подтвердим это прямой выкладкой, полагая для простоты письма «= 0 и )Р1= )Р'1(!",) — )Р'!(О)! 1 !Р.
~ Г ~4 ( (~1 ~1 ~2 ~2) ( 1~2 2~1) (~1~1+ ~2~2)( 1 "2 2 ~1)) ~ ' '„, (~,мз-~,л,)(~р;+~ар,') л в= ~,', к,д~,-~,л,)л«~, что н требовалось доказать. Заметим еще, что при г ен П и ~ ~ о; лишь разность )Р'1(й) — !Р"1(е) отлична от нуля (ибо Ч«1(Ь) ен дО„а )Р'1(е) е= А!), а все остальные разности в некоторых точках обращаются в нуль. Поэтому при ген11, ~ено1 лишь форма К неособая, а все остальные формы 1)2, 1'~ 1, особые, и при интегрировании по грани и! формулу Стокса можно применять лишь так: ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ % б) (мы воспользовались тем, что голоморфную функцию / можно вносить под знак дифференциала формы ь)/).
Если складывать эти интегралы, как требует формула (8), то каждое ребро а// будет встречаться дважды, с противоположной ориентацией (со стороны граней а; и о/). Поэтому мы будем иметь .т/ .~Я)/ь(~ г)= ~~а ~)©(а/В, )-()/(~, )) /-! б /, /-/ а// где суммирование ведется по всем упорядоченным парам индексов (1 (/<) (А/). Остается заметить, что при вычитании неаналитические части ядер (9) сокращаются: та)/ 11/= а (Р/Рг Р~РЕ)дть= —, ~ ~дЬ );,)а+)1Па / / /; ) 1Р( Ра~ / ) ат)2 /Гт )Гт Ф'/Ю/ ~ Р/ Р/ ~ (мы снова воспользовались принятыми выше упрощениями в обозначениях и разложением Хефера). Мы приходим, таким образом, к формуле ~~ т )К) б( 1О (ап/) иа/,) 1)Р/ (ь) — )Р/ (г)) ()Р/ (ь) — )Г// (г)) /,/-/ а Р/ Рт которая совпадает с формулой Вейля при и = 2 > 3 а м е ч а н н е. Если множество Бейля (1) несвязно, то оно распадается на некоторое не более чем счетное число связных компонент (областей Вейля).
Теорема 1, очевидно, остается в силе н в том случае, если П вЂ” несвязное множество Вейля. При этом для г,' принадлежащих какой-либо компоненте, в формуле Вейля (6) отличен от нуля лишь интеграл по остову этой компоненты, а интегралы по остовам других компонент обращаются в нуль, Это следует из того, что интеграл Мартинелли — Бохнера, из которого выводится интеграл Вейля, равен нулю вне области. Аналитичность ядра формулы Вейля используется, например, в вопросах приближения голоморфных функций функциями из некоторого класса.
Приведем основные факты, относящиеся к этому. Теорема 2. Любую функцию /', голоморфную в аналитическом полиэдре (2) и непрерь/аную в еео замь/кании, в этом полиэдре можно разложить в ряд ) (г) = Х .'Е' А,' [)р', ( ))А, (11) )ь)=б н/ ЭЗ Б. В. Шабат ИНТЕГРИРОВАНИЕ (ГЛ. М 354 где й=(йи ..., к„) и »=(»„..., !'„) — векторные индексь», [ят»(г))~= [Ж! (Е)]»! ...
[))Т»„(г)]~А, внутреннее суммирование производится по упорядоченным наборам 1~~», <... (»„~~У и коэффициенты выражаются по формулам йь. (12) (вкй",) „(ь»,+», »ки ' !"'»ь Ряд (11) сходится равномерно на любом компактном поди!ножестве полиздра П. < Разложение (11) получается из формулы Вейля точно так же, как разложение Тейлора из интегральной формулы Коши. Для любой точки а~П и л!обой точки ь на остове П можно написать разложение в сходящуюся геометрическую прогрессию: 1 Ц [(» ! (ь) — (г! (г)) ч ! » — о [(г'! Ф! ' ° [)(т! (ц" !» ь ! »(Г)1"+ При фиксированном г ен П это разложение сходится на о »!" !» равномерно по Ь, и, подставляя его в формулу Вейля (6), мы получаем разложение (11) с коэффициентами (12). Равномерная сходимость ряда (11) на компактных подмножествах полиэдра П доказывается обычным образом ь С л е д с т в и е 1.
Любую функцию 1, голоморфную в аналитическом полиздре П, на любом множестве К ~ П можно сколь угодно точно приблизить функциями, голоморфными в области О, которая участвует в определении полиздра. Коротко это следствие можно сформулировать так: семейство функций Н(с)) плотно в семействе Н(П), < Частичные суммы ряда (11), очевидно, принадлежат Н(0) — они и приближают функции [ен Н(П). Чтобы избежать условия непрерывности 1 в П, нужно заменить П полиэдром П'=(а~11: ](Р'»(г)](т,'], где все Г»<г, и достаточно близки к последним (! — скалярный индекс) ь В частности, когда П вЂ” полиномиальный полиэдр (т.
е. все функции Ф'! — полиномы), частичные суммы ряда (11) являются полиномами. Мы получаем 356 ЗАДАЧИ Следствие 2. Любую функцию /, голоморфную в полиномиальном полиэдре П, на любом множестве К 4== П можно сколь угодно точно приблизить полиномами, Области из С", на компактных подмножествах которых каждая голоморфная функция сколь угодно точно приближается полиномами, называются областями Рунге (ср. теорему Рунге в и. 22 ч. [).
Следствие 2 можно сформулировать так: любой полиномиальный полиэдр является областью Рунге, ЗАДАЧИ 1. Пусть а'... „пса — (действительно) линейно независимые векторы в С ал и à — группа преобразований вида а -ь з + ч",М о~, где М„ — целые числа.
Точки а, а'щ С" назовем эквивалентными, если существует перенос А щ Г такой, что Х (з) = з'. Доказать, что в множестве С"/Г классов эквивалентности по этому отношению можно ввести структуру и-мерного комплексного многообразия (С"/Г называется л-мерным комплексным тором, ср. п. 32 ч. 1). 2. Доказать, что любая функция 1, голоморфная во всех точках комплексного тора С"/Г (см. задачу 1], постоянна.
3. Пусть якобиан системы и функций 1, голоморфных в точке а ~ы С", тождественно равен нулю в окрестности а. Доказать, что в некоторой окрестности точки а зти функции связаны голоморфной зависимостью Ф (/ь ..., 1„) =-О. 4. Подмножество М многообразия М класса С' называется подмногообразием, если оно является многообразием в индуцируемой топологии и отображенве вложения М -ь М всюду имеет ранг, равный размервости М. Доказатгь что всякая функция из С'(М) является сужением на М функции класса С[ (М). 5.
Пусть М вЂ” 2т-мерная поверхность класса С' в С", т, е. образ некоторой области В~=Сы при гладком отображении л-+1(з) 1 Пь" /л). Доказать эквивалентность следующих условий: а) для любой точки Р~М в касательной плоскости урМ нет аналитических прямых; /31 д/1 б) гап[г1 —, — 1= — 2т в В (отсюда следует, что л) 2лз). 9. Назовем голоморфной кривой систему в голоморфиых в области В~С функций /тл тогда 1=(/ь ..., /л) отображает 0 в С". Доказать, что для голоморфных кривых имеет место принцип максимума модуля как в евклидовой метрике [1[= '[/~",[/ч[з, так и в метрике гпах([1, [, ..., [1„[). 7. Привести пример голоморфной кривой 1: С-ь С', для которой множество предельных значений по всевозможным последовательностям ь~~~ ~н С, сходящимся к бесконечности, совпадает с Сз.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
