Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 62
Текст из файла (страница 62)
Л Ж )Л Л( — 1) (Ф Л йГ», Л .. Л с(Г»)=с(в! Л со!+( — !)'в, Л йв„ что и требуется. Теорема 1. Для любой формы в класса !.ч квадрат оператора с( равен нулю; с(!в= й(йв) =О, (5) ч Для форм в=! а!!!Л...Лаг степени т, равной размерности многообразия, уже первый дифференциал ранен нулю (это м следует из того, что с(1= т д Ю„а внешнее произведение » ! одинаковых дифференциалов равно нулю).
Для форм степени т — 1 дифференциал с!в является формой степени т, и, следовательно, с(зв=0. Для форм степени р <т — 2 мы подсчитаем вклад, который вносит в !('в дифференцирование по !! и !ь Очевидно, достаточно рассмотреть совокупность тех членов в выражении в, которые не содержат а!! и Ж,, т. е. форму =Х")» „,, !;«,,Л ... Лс,, где два штриха у суммы означают, что суммирование ведется по всем индексам т!, ..., »Р, для которых 2<»!«...»р <т. Мы имеем кп- д!» ав! = Д~ — ссг! Л аг Л ° Л аг» + !=.2а дс, +~~~~~ д!' ~йе Л с(Г»! Л '...
Л ~Н1» + ... (выписаны лишь те слагаемые, которые содержат либо Ж!, либо кпа! д Ч, агм для краткости положено Г =! '! и !!Ев! = г », ... ч!, »/ '!д!! д!, дч! — <1Г! Л с!ГУЛ Ж» Л ...Л йт, + ...; в силу равенства д!ч дс!! ! Р смешанных производных выражение в скобках равно нулю, а так как члены, Обозначенные многоточием, не содержат про- изведения с(!!ЛЖ„ТО коэффициент в а!ев! при этом произведе- нии равен О. Перестановкой индексов мы можем любые два дифферен- циала поставить на место а!гЛ!(гь поэтому можно утверждать, что а!Ав=О и.
интегрирование !гл. и Пример. В случае т=З н р= 1, т, е. формы ы=йз!Гз+)здтз+)зЛГз имеем + ( ~бонз Л дтз Л дтз д I д!з д(з т! дгз д!з дтз н теорема ! саоднтса к известному нз векторного аналнза тождеству д!ч го!1=0, (6) где 1= ((н (з, (з) — вектор. Наше определение дифференциала формы сформулировано в терминах локальных координат.
Однако на самом деле дифференциал ннвариаитен относительно координат. Точнее, справедлива Т е о р е м а 2. Дифференз(иал гладкой формы на гладком многообразии меняется по закону изменения дифференииалвнвзх форм. ~ Нам нужно показать, что при гладкой (не обязательно гомеоморфной) замене координат 1- т дифференциал доз переходит в то самое выражение, которое получается при вычислении дифференциала формы оз в координатах т. По свойству (1) можно ограничиться формами вида оз = (дЬ,, Л ...
Л сУ, = Я~р, (7) где Чзр —- 'Ж, Л ... Л д(, . Будем рассматривать оз как произвез р деиие формы нулевой степени (функции) 1 на форму зр . По свойству (!1) в новых координатах доз (т) = д) (т) Лзрр (т) +) (т) с(срр (т); следовательно, все будет доказано, если мы дока>кем, что дзрр(т) =О. (8) Справедливость этого равенства легко доказывается индукцией по р.
При р=1 форма зрз(1) =Ж„, и при заменет- т по теореме об инвариантности дифференциала она переходит в дифференциал функции 1„(т„..., т ); по теореме 1 имеем, следовательно, дсрз=дз(е(т) =О. Пусть (8) верно длн всех форм степени не выше р — 1. Тогда зрр можно расслтатривать как произведение зрр зЛЖ„И по свойству (11) и индуктивному предположению получаем, что дзрр (т) =дзрр — зЛд(ч + ( 1) ! Грр-зЛд (ч =О "р "я В качестве примера применения дифференцирования форм приведем доказательство теоремы существования неявных функций. ТЕОРЕМА КОШ!! — ПУАНКАРЕ ззэ Т е о р е м а 3. Пусть функции 1„,(г), и=1...,, г' (г'=и — г, 1 4 г (и — 1), голоморфнь! в точке ае=С" и определитель л! д)я ) Ве11 — ), э=г+1, ..., а, отличен от нуля в точке (а„.л!, ....
..., а„). Тогда система уравнений (Р(гл,, 2 )=О, и=1,, г', (9) разрешима в некоторой окрестности точки а относигельно переменных г„, у)г, т, е. 2 =й (г!... гл), т=г+1, ..., и, (10) причем функции а, голоморфны в точке (аь ..., а,,). м Мы приведем эту теорему к соответствующей теореме из действительного анализа. Для этого положим 1 =ив+!оп, г,=х,+су, и будем рассматривать (9) как систеллу 2г' уравнений относительно 2п неизвестных х„, у,.
д(и,, ьг ..., и... Рн) Для вычисления якобиана ' ' ' ' " отвлечемся д (хт+!, уты ° °" хл ул) от системы (9), фиксируем переменные гь ..., г„и будем рассматривать )„..., (н как функции остальных переменных г„!, ..., г„, Учитывая, что эти функции голоморфиы, по правилам внешнего умножения дифференциалов получаем д(1Р ..., 1„,) откуда, переходя к комплексно сопряженным величинам, находим д(1 ° "" 1') По тем же правилам дг„Лдг,= (дх„+! ду„) Л (Их„— Иу,) = — 2! дх„Лду„ и аналогично с7„Лил= — 2(йи„Лс(ол. Поэтому после перемножения последних соотношений мы получим с(и, Л до! Л ...
йин Л дон = д(1! 1,) !3 йх +! Л дуг+! Л ° ° . Л ллх„Л дул (мы произвели одинаковые перестановки в обеих частях этих соотношений). Остается заметить, что произведения дифференциалов в левой и правой частях последнего равенства представляют собой соответствующие 2г'-мерные элементарные объемы ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. и (взятые с ка«им-либо одинаковым для обеих частей знаком) и, следовательно, их отношение равно йскомому якобнану: д(ип ии ..., и,„ик) ~ д(1Р ..., (к) д (х„+,, у,+„..., х„, у„) 1 д (г,+и ..., г„) ~ ' По условию якобиан в правой части (11) отличен от нуля в точке (а,+~, ..., аи), поэтому в силу теоремы о неявных функ- циях из действительного анализа система (9) разрешима в окре- стности точки а относительно переменных х„~н у„н, ..., х„, у (условия непрерывности, требуемые в этой теореме, у нас за- ведомо выполняются).
По той же теореме функции г„=х„+19„ (т=г+1, ..., п) дифференцируемы в смысле действительного анализа (по переменным гь гь ..., г„, г„). Но, дифференцируя систему (9), находим Х„", д(и — "йг,=О, И=1, ..., Г' ч ! (мы воспользовались теоремой об инвариантности дифферен- циала), откуда в силу условия не равенства нулю определителя (11) видно, что в окрестности точки (аь ..., а,) дифферен- циалы йг„ч.ь ..., аг„линейно выражаются через дифферен- пиалы йг,, ..., аг„.
Поэтому функции (1О) голоморфны в точке (аь ..., а„) 3 а м е ч а н и е. Соотношение (11) обобщает на пространст- венный случай соотношение между якобианом и производной голоморфной функции одного переменного: "" ") =~Г(г) 1' д (х, у) (11) (см. п. 7 ч. 1). В заключение этого пункта приведем несколько замечаний и определений общего характера. Оператор дифференцирования х( преобразует группу (гР всех дифференциальных форм степени р на многообразии М (рассматриваются формы и многообразия из класса С') в группу (гР~' форм степени р+1: й; ОР— >ЯР~'. (12) Это отображение является гомоморфизмом, ибо ы(+ыг— — йы,+йыг, оДнако не на всю гРУппУ ЯР+', ибо не каждач форма степени р+1 является дифференциалом какой-либо формы етепени р, О п р е д е л е н и е 2.
Дифференциальная форма о называется эамкнугой, если ее дифференциал йы=О. Форма е называется точной, если она является дифференциалом какой- либо формы: в=с(й. зз! теоРемА коши — пуАнкАРЯ Замкнутые формы степени р на многообразии М образуют группу (по сложению) 2», которая является подгруппой 11». Мы имеем г =(» а»: й =о), (13) т. е. У» служит ядром гомоморфизма й (2»='кегй). Точные формы образуют группу В»=(оы11»: ьз=йЯ, (14) которая является образом гомоморфизма й (В»=!шй).
По теореме 1 всякая точная форма замкнута (ибо если са=йаь то йса=й'в1=0), следовательно, В» является подгруппой группы с». По той же причине последовательность гомоморфизмов 11 ' ' а — ' а+' (15) является полутонной ((тй»,с:!сегй»); точность этой последовательности (!ш й», ††'кег й») означает, очевидно, что каждая замкнутая форма степени р на М является точной.
Факторгруппа Н»=Х»(В» (16) состоит из классов эквивалентных форм: к одному классу относятся формы, разность которых принадлежит В», т. е. является точной формой. Точность последовательности (15) сводится к тривиальности группы Н» (Н»=0). Очевидна аналогия оператора й дифференцирования форм с оператором д взятия границы цепей, рассмотренным в предыдущем пункте; различие между этими операторами состоит лишь в том, что первый из них повышает размерность (степень) форм, а второй понижает размерность цепей. Это подчеркивает следующая часто применяемая терминология. Формы, дифференциалы которых равны нулю, называются коциклами, а формы, которые являются дифференциалами других форм,— когомологичными нулю; факторгруппа Н» называется р-мерной ~руаной когомологий.
14. Формула Стокса. Аналогия, о которой мы сейчас говорили, является не только внешней. Глубокую связь между операторами й и д выражает весьма важная Теорема. Пусть на ориентируемом т-мерном многообразии М задана р-мерная цепь о, а на ней дифференциальная форма гэ степени р — 1; если М, о, йо и га принадлежат классу С', то а аа Это и есть формула Стокса. ЗЗ9 ИНТЕГРИРОВАНИЯ [гл и м Из принятых нами определений цепи и интеграла следует, что доказательство теоремы достаточно провести для случая р-мерного симплекса 5=(РдР, ...
РР). Введем в 5 координаты (г!, ..., ГР), в которых каждая точка Рен5 представляется в виде суммы векторов: Р Р = Р,+ ~ Г,(Р,— Р) = ~ Г„Р, (2) ! Р С Р мы положили гд= 1 — Р! г, . В этих координатах форма за Р ! писывается как сумма р членов; мы возьмем один такой член, например ы=)(е!, ..., гр) М! Л... Л Жр. (3) Пусть 5„будет грань симплекса 5, противоположная вершине Р,; уравнением этой грани служит !„=О (Т=О, ..., Р). Эти грани ориентируем в соответствии с ориентацией 5, в частности, грань 5, Р! получит ориентацию (Р! ... Р„), а грань 5! — ориентацию — (РРРР ... Рр) (см. рис, 92, где Р=З). Вычислим интеграл от формы (3) по ориентированной границе д5 симплекса: Р 1-=11-=1- 1- дэ Р=д 3 Зо Р, (мы учли, что на остальных гранях 5„т.' 2, форма ы=О, ибо там Г„=О, Рис 92.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
