Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 60
Текст из файла (страница 60)
рис. 88). г/ / / е Пусть теперь М вЂ” связное гладкое многообразие. Назовем М ориентируемым, если все соотношения соседства, его определяющие, имеют положительные якобианы. На каждом ориентируемом многообразии можно ввести две ориентации — положительную и отрицательную. Для этого достаточно ввести ту или иную ориентацию в какой-либо окрестности 0~М1 соотношения соседства позволяют перенести эту ориентацию во все окрестности на М, а условие ориентируемости М обеспечивает, что при этом мы не придем к противоречию: какой бы цепочкой окрестностей, связывающих (/' с некоторой окрестностью [/с: М, ни пользоваться, всегда получим одну и ту же ориентапию [/. То же условие обеспечивает независимость ориентации от выбора (гл.
и интегрирование 3!6 начальной окрестности (/. На доказательстве этих утверждений мы пе останавливаемся'). П р и и е р. Представим окружность на плоскоспг (х. 9) как одномерное многообразие, покрываемое четырьмя окрестностями (Г, (в (/г и (/з действует локальная координата х, в (/з п Уз — координата в; рпс. 89). Ориентпруем (/г положительно (т. е. зсловпезз возрастания параметра х) н прнмем, что все соотношения сот:..=.и чекзг положительные якобиаиы. тогда на пересечении (/, П (/, параметр у должен о/ шыпасзать вместе с х (соотгюшенпе соседства 1 (ч и (/г имеет вид в = — — 1~х — за), и на (/з 2 (/з вводится ориентаппи снизу внсрх. Эта ориептапия вводит на (/з орпентапию справч на(/ лево (в самом деле, условие положительности якобиана на пересечении (/з () (/з влечет за собой, что ч должен убывать вместе с л).
/(злее, (/з окажется ориентированной сверху вниз и (/~ — слева направо. Мы снова пришчи Х к исходной орисптапии (/ь Перейдем к определению интеграла. Рнс. 89. Начнем с интеграла по одной окрест- ности многообразия. О и р е дел е ни е 1. Пусть (/ — ориентированная окрестность тп-мерного многообразия М е= С', ( — параметр, действующий в (/ и меняющийся в симплексе 5"; интегралом гго окрестности (/ от формы гон=Со((/) степени гп назовем ( ш= ~ Ы)й/, газ ... /у с(/ =и ~1(/)й/, ...й/ж, (1) й чт ,гл е где е означает ориентацию симплекса и окрестности относительно координат (г, ..., (, 5'и — неориентированный симплекс.
Теорема 1. Определение интеграла инвариантно относительно допустимой заменьг параметра. < Пусть (- т — допустимая (т. е. гомеоморфная и класса С') замена параметра, преобразующая 5м на 5'", и д ((з, . „ /лг) д (тг, ..., тм) — ее якобиан (непрерывная функция т). По правилам замены переменных в (неориентированных) кратных интегралах ) /(()с((г ...
а! = ~ /'*1(т)~/(йтг ... /(т . (2) ') См. П, С. Алекс а н д р о в, (чомбинаторная топология, Гостехгзздат, М. — Л., 19чт. э 4] з]у Ь!НОГООБРАЗИЯ И ФОРМЫ В силу гомеоморфностп отображения 1- т якобиан У в Я" не меняет знака. Если У > О, то отображение сохраняет ориентацию, т.
е. переводит 5е"' в 5,, а так как форма ш в новых координатах имеют вид у ° з(т)У](т]Л ... Лс(таь то по определению ! в новых координатах ~ со= ~ ]Ус(т, Л ... Л г)т,„= — е ~ У]У]х(т! ... гут . (3) и ч3 .ж зе Если же У (О, то отображение меняет ориентацию, т. е. переводит 5ж в Я'"„и по тем же соображениям в новых координатах ) ш = ~ УУ с(т! Л ...
Л гут = — и ~ )У ат! ... с(т,„= и ) )]У,'с(т, ... г(т . ('.) В силу (2) правые части (3) и (4) совпадают с правой частью (!) 3 а м е ч а н и е. Мы вводим дифференциальные формы так, чтобы при замене переменных они менялись, как подинтегральные выражения соответствующих интегралов. Однако имеется некоторое отличие: формы при замене переменных умножаются на якобиан преобразования, а подинтегральные выражения— на модуль якобиана. Сейчас мы убедились, что именно так и надо было вводить формы, если желать, чтобы были инвариант- ными относительно замены переменных интегралы по ориент и р о в а н и ы м окрестностям. Можно было бы рассматривать так называемые нечетявге дифференциальные формы, которые (в отличие от введенных выше четных форм) при замене переменных умножаются иа модуль якобиана. Точнее, нечетной формой степени р на многообразии М называется выражение, которое в локальных координатах Г имеет вид в=- ~] и, .
г]Г Л ... Л г]цр, а при за- ~1 / ! ''' р мене переменных ] — ьт переходит в такое же выражение с коэффициентами а(]Р ...,г ) „, 0(],, ],.) (ср. с формулами (10) и. !О). Нечетные формы приспособлены для интегрирования по н е о р и е н т и р о в а н н ы м многообразиям. Переход от интеграла по окрестности к интегралу по компактному подмножеству многообразия просто осуществляется при помощи так называелюго разбиения единицы.
Пусть ]4 —. ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. И 3!8 многообразие класса С' и ((У,), (е=1',— его локально конечное') покрытие окрестностями; разбиением единицы, соответствующим этому покрытию, называется система функций ее ед С'(М) та- кик, что !) г. еа(х) =1, О <ес(х) <1, для всех хенМ; 1м! 2) носитель еь т. е. замыкание множества (хенМ: ес(х) ФО), является компактным подмножеством Уь Доказательство существования разбиения единицы мы при- ведем для многообразий М, расположенных в евклидовом про- странстве [са.
Л е м м а. Для любого открытого множества Ус:)та и любого зеножесгва К Е У суацествует функция ср: (т' — [О, 1[ ~ !т' класса С' такая, что [' 1 для всех х ен К, [ 0 для всех х ы (с" ' О. м Сначала рассмотрим частный случай, когда К=[(х)<г) и У = (', х ! <)т) — концентрические шары (0< с <Я) . Построим функцию 1 й (!) = В 1-се и-1 (Е=[Г, Я[, О, ! Ен 1с 'ь [г, !с[ и возьмем ~ я(т) ат й(!) = ', ~: а (т) с(т т она принадпежит классу С" (Р), равна 1 на отрезке ( — оо, г) и 0 на отрезке Я, оо).
Поэтому функция ф(х) =!1((х!) обладает нужными свойствами. В общем случае мы устраиваем конечное (по лемме Хейне— Бореля) покрытие К шарами К, такими, что для каждого Ка найдется концентрический с ним шар (зес:(з' большего радиуса. Для каждой пары (К„()1) строим, как выше, функцию йь и тогда р(х) =1 — и [1 — ер1(х)) обладает нужными свойствами > ') Покрытие ((у,) называется локально конечным, если любая точка имеет окрестность, покрываемую лишь конечным числом Уы 319 МНОГООБРАЗИЯ И ФОРМЫ $41 Теорема 2. Пусть Мс. Р" — многообразие класса С' .Для любого его локально конечного покрытия (Е/«)««открыть«ми л«ноясествами из Р существует соответствующее этому покрытию разбиение единицы (е«).
я Каждая точка х ~ М имеет окрестность, пересекающуюся с конечным числом У«. В каждой У«мы выберем компактно принадлежащее ей множество К«так, чтобы объединение К«покрывало М, и для каждой пары (К„У«) строим (по лемме) функцию «р«, равную 1 в К«и 0 вне с««. Далее рассматриваем сумму ~~'„,«р«(х) и замечаем, что она определена в окрестности Н« каждой точки хе=М (ибо там лишь конечное число «р«отлично от нуля) и положительна в каждой такой точке (ибо эта точка покрывается хотя бы одним Кь а там «р«(х) =1, остальные же «р;(х) )~0) .
Функции е«(х) = (6) «ь«(х) «я« очевидно, дают разбиение единицы, соответствующее покрытию (С««) ~ О п р ед ел е н и е 2. Пусть К вЂ” компактное подмножество пг-мерного ориентируемого многообразия М; интегралом по К от формы «Б~СБ(К) степени пг называется ~ «ь ~~ ) е«ь« = )~~ ~ е««ь, к « -«к . « -«кпи« (7) ) ь«= ~ ) е«ь« к «кпи, где (е«) — разбиение единицы, соответствующее некоторому покрытию ()(7«=М. (Интеграл по пересечению К() У«, где дей«ы« ствуют локальные координаты 1 =(««, ..., 1„,), определен выше; в силу локальной конечности покрытия сумма в правой части содержит лишь конечное число отличных от нуля слагаел«ых.) Чтобы убедиться в корректности этого определения, нужно доказать его независимость от выбора покрытия и разбиения единицы.
Т е о р е м а 3. Пусть (У«), (У;) — два (локально конечна«х) покрытия ориентируемого многообразия М и (е,.)), (еД вЂ” соответствующие ил« разбиения единицы. Для любого К е::М и формы «ьепС'(К) интегралы от ь« по К, вычисленные по этим разбиениям, совпадают. м Интеграл, вычисленный по разбиению (е«), 32! ТЕОРЕА!А КОШН вЂ” ПУАНКАРЕ где гб=г(0) и а!=Е(1) — концы пути. В общем случае отображение е=е(1) локально гомеоморфно (в силу условия а'(1) эа0, принятого нами для гладких путей); разбивая (О, 1) на конечное число отрезков, мы придем к тому же соотношению (8). 2.
Пусть Т1„— односвязные плоские области с гладкими границами д)У,: г,=а„(т,),т,ен(0, 1), и 0=0тХ...Х0п — поликруговая область в С". Остов этой области Г=д0тХ...ХдРа мои!но рассматривать как гладкое и-мерное многообразие. Оно является гладким образом куба Я!!=(1ен)тп: 0 (1„(1) при отображении ае в(() ! Яп- С"; ориентацию на 1,тп и, следовательно, па Г мы введем условием возрастания всех координат 1,. Параметр 1= (1„..., 1,), меняющийся в !,1п, можно использовать прн вычислении интегралов по Г, как в определении 1, хотя Г и не является гомеоморфным образом 1,тп (это доказывается разбиением единицы). Пусть тб~Сб(Г) — форма бистепени (п, О), т, е.
имеющая вид та=) датЛ... Лдап, где 1 — непрерывная на Г функция. После введения параметра 1 форма принимает вид поэтому, согласно сказанному выше, ...Ф )да! Л ... Л б(а„= ~( — „,' ... — „," Ю! ... Ж„- г , и ! ! „!'т(1! ...~) "сйа= ) б(г! ... б б ав бвп Таким образом, интеграл от б! по Г совпадает с повторным интегралом. Точно так же повторный интеграл Коши, введенный в предыдущей главе, можно рассматривать как интеграл по п-мерному многообразию: с, !" 1(г) лсп ! г 1(г) лг ьп ап и где мы для краткости обозначили б(~ = д~, Л ... Л б(т.п и ! ! — (й — ~~) " (й — ~ ) ' й 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
