Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 61
Текст из файла (страница 61)
Теорема Коши — Пуанкаре В этом параграфе мы рассмотрим многомерный аналог основной теоремы теории аналитических функций — теоремы Коши. Пентральную роль здесь играет формула Стокса, 21 в. В. шабат 322 ИНТЕГРИРОВАНИЕ [ГЛ. И связывающая две операции: топологическую операцию взятия границы и аналитическую операцию дифференцирования форм.
Начнем изучение с операции взятия границы. 12. Цепи и их границы, Рассмотрим (замкнутый) ориентированный т.мерный симплекс 5,„= (Р~,Р; ... Р,,), где Є— вершины симплекса, взятые в каком-либо порядке; предполагается, что они находятся в общем положении '), Индексы- образуют перестановку из чисел О, 1...,, т; четность этой перестановки определяет положительную или отрицательную ориентацию.
Будем считать, что ориентация 5 индуцирует ориентацию граней этого симплекса по следующему правилу. Грань 5~„1= [о> = (Р~ ... Р, '[, получаемую из 5 отбрасыванием вершины, которая стоит на первом месте, будем считать ориентированной так жс, как 5 . Ориентацию других граней ') будем вводить так; отбрасываемую верши- ну Р[ переводим на первое место и при- Р л л писываем соответствующей грани ту ориено тацию, которую имеет симплекс (Р[ Р[о... Рис. 90. ...Р Р ...Р пи +1 ''' [м[' На рис. 90 изображен для примера двумерный симплекс (Р,Р,Ро), ориентированный положительно.
Индуцированная ориентация его одномерных граней следующая: (Р,Ра), — (Ро Ро) =(Ро Ро) и (Ро РД. О и р е д ел е н и е !. Границей симплекса 5,„назь[ва ется совокупность д5 его (т — !)-мерных граней, взятых с индуцированной ориентацией. Условимся записывать эту совокупность как сумму: о [о[ о [ж[ (1) Пример.
Для симплекса 5а (Рор[РВ) границей является д5а=(Р, Р~)+(Р Ро)+(Р Р ) (см. рис. 90). Граница одномерного симплекса Я[=(РоР,) <Ж = Ро — Ро. Границу нульмерного симплекса (точки) будем считать равной нулю. О п р е д е л е н и е 2. Будем называть т-мерной цепью отображение совокупности т-мерных симплексов о (А ° 1, ..., й[) [»[ '! Это означает, что никакие 3 иа Р» не лежат на одной прямой, ника- кие 4 не лежат в одной двумерной плоскости и т.
д. зез Э 51 ТЕОРЕМА КОШИ вЂ” ПУАНКАРЕ в какую-либо коммутативную группу (например, группу 7. целых чисел). Приписывая каждому 5" ,его образ п„при этом отображении как формальный коэффициент, мы можем представить цепи как формальные линейные комбинации: у = ~л пз5~ ~. (2) У=! Границей цепи у назовем (и — 1)-мерную цепь ду„= ~ и, д5,'и У=! Цепи одной размерности мы условимся складывать между собой (покоэффициентно); в частности, будем приводить подобные члены (когда это возможно).
Совокупность всех пг-мерных цепей (с коэффициентами нз данной группы) образует, следовательно, коммутативную группу, которую мы будем обозначать через Г,. Оператор взятия границы можно рассматривать как оператор, преобразующий Г„, в Г д: Г„,— Г„ь (4) причем этот оператор сохраняет групповукз операцию (д: уп>+ у,'„" — ду<'>+ ду">), т. е. является гомоморфнзмом.
Теорема. Квадрат Оператора д равен нулю, т. е, для любой цепи у ~Г д'ум =д(дед) =О. (б) М Теорему достаточно доказать для пг-ззерных симплексов 5 . При т=О по определению принято д5,=0, значит, и подавно дг55=0. Лля т= 1 имеем 51=(РРР1), д51 =Р~ — Рз и д'5,=0 (опять используется, что граница точки равна пулю). Пусть т )~ 2; рассмотрим симплекс 5 =(Р5Р|Рг..) и будем следить лишь за теми его гранями, которые вносят в д'5„, симплексы, не содержащие одновременно вершин Р„и Р,, Имеем д5т=(РзРг ° ) — (РРР ..)+ причем невыписанные симплексы содержат обе вершины Р, и Р„и, далее, дат=(РгРз ° ° ) (РзРз ° ° .) — (РгРз . ° )+(РоРз .
° )+' = — (Р,Рз . )+(РАРз .)+'... Мы видим, что в выражении дг5 симплексы, не содержащие вершин Рз и Рь сокращаются. Ио перестановкой вершин (которая может переменить лишь знак) мы любые две вершины 5,„ 21з (ГЛ. 11 ИНТЕГРИРОВАНИЕ 324 можем поставить на место Рч и Рь следовательно, в выражении д'В,„сокращаются все симплексы, и дг5 =0 > Определение 3.
Будем называть циклом любую цепь у,„, граница которой равна 0 (дум=О). Цепь у„, которая является границей какой-либо цепи у 4( (у =ду,„ы) и которая по доказанной теореме непременно является циклом, называется ((иклои, гомологичнечм нулю. Циклы данной размерности ог, очевидно, образуют группу Л„„которая является подгруппой Г„.
Точно так же циклы, гомо- логичные нулю, образуют подгруппу В„, группы Л . Эти подгруппы можно охарактеризовать еще так: г.=(у =Г; ду„,=О) (8) являетсв ядром гомоморфизма д, т. е. совокупностью элементов, которые д переводит в 0 (обозначение: л,,=нег д), а В =(у„,е=Г„;: у„,=ду,„э,) — образом этого гомоморфизма, т. е. совокупностью элементов Г, в которые д переводит элементы Г„,„1 (обозначение: В =ипд). Рассмотрим последовательность двух гомоморфизмов (8) (для ясности мы снабжаем оператор д индексом, указывающим размерность цепей, на которые он действует); доказанная выше теорема гласит, что (ш д„,, ~ ~!тег д„,. Последовательности гомоморфизмов, удовлетворяющие этому условию, называются полуточными; если же вместо включения имеет место равенство: пп д„,э, = кег д„„ то последовательность называется точной.
Точность последовательности (8) означает, следовательно, что в Г,„ каждый цикл гомологичен нулю. Назовем два цикла у">, у(в ен л гомологичными (у(и у(в), если их разность гомологична нулю (у(п — у(" ~ В, т. е. у(в — у(в = ду „,). Классы гомологичиых друг другу циклов образу(от факторгруппу Н~~ = Е~~IВ~, (11) которая называется группой гомологий. Точность последовательности (8) означает, очевидно, тривиальность этой группы (Н,„=О: все циклы гомологичны нулю). 325 ТЕОРЕМА КОШИ вЂ” ПУАНКАРЕ Введенные понятия без труда переносятся на произвольное гладкое ориентируемое многообразие М.
Именно, криволинейным симплексом на М мы будем называть пару в =(5, Ф), где 5,„— ориентированный симплекс и Ф: 5,„- М вЂ” непрерывно дифференцируемое гомеоморфное отображение (сохраняющее или меняющее ориентацию). Далее, пг-мерной цепью на М назовем любую линейную комбинацию а = лг п,в,„, где п„— элечг еп мент какой-либо группы, а аг" =(5~"г, Ф,).
Границей цепи а назовем цепь ~пуда"', где дог'г=(д5~„'г, Ф„) Без всяких изменений переносятся на многообразия определения цикла, гомо- логичных циклов и группы гомологий. Всюду в дальнейшем (если не оговорено противное) мьг будем рассматривать цепи с целочисленными коэффициентами п„е=Х на гладких ориентируемых поверхностях М пространства )ч'" или С".
Криволинейный симплекс (5, Ф) мы часто будем обозначать просто символом 5. Мы будем рассматривать конечные наборы криволинейных симплексов (5)=К, удовлетворяющие следующим условиям: 1) каждый симплекс 5р входит в К вместе со всеми своими гранями 5р г ыг.
2) любые два симплекса из К либо не пересекаются, либо их пересечение является гранью (какой-либо размерности) каждого из них. Такие наборы мы будем называть комплексами; размерностью комплекса будем называть наибольшую из размерностей составляющих его симплексов. Объединение точек всех таких сгпиплексов будем называть носителем комгглекса или полиэдром. Пусть дан комплекс К на пг-мерной поверхности М; тогда р-мерную цепь (О (р (пг) комплекса К, т, е, линейную комбинацию ориентированных р-мерных симплексов 5р ~К с целоеп численными коэффициентами: у = ~ха~ пч5р, у=г мы будем наглядно представлять как набор этих симплексов, причем 5 входит в набор п„раз с ориентацией ггг, если пт)0, (чг и с противоположной, если п„<0.
На рис. 9! изображено несколько одномерных циклов на торе Т в )ч', который представляет собой носитель двумерного комплекса. Цикл у, гомологичен нулю — он ограничивает ИНТЕГРИРОВАНИЯ 326 1ГЛ. !! Га =Х ~,, и'1, Л ... Л и'1,, ! и 1 Р то в них Г(!В=Х'4, „Л Й1т, Л Л Г(1,, (2) где сЧ= — !!!!+ ... + — Ƅ— дифференциал функции 1= т!...т ' Отметим два простых свойства дифференцирования форм; (3) (4) (1) Г((!В!+Газ) Йи!+ЙВ21 (П) Г((ГВ!Л!Ви) =!!Ги!ЛГиз+ ( — 1) Рш!ЛГ)!Вм где р — степень формы Ги!. Первое свойство очевидно. Учитывая его, второе свойство достаточно доказать для случая, когда перемножаемые формы являются одноч!1еиами! Гв! =1!(1Р, Л ...
Л Г(1„~, «!,=3Й1т! Л ° ° ° Л ~Ь,. двумерную цепь, носитель которой заштрихован. Циклы у! н уи негомологнчны нулю и негомологичны друг другу; цикл уй гомо- и логичен циклу — у, (это видно из того, что уз+ уи ограничивает двумерную цепь). Можно убедиться в том, что всякий одномерный цикл у на торе гомологичен некоторой .линейной комбинации циклов у, и у, с целыми коэффициентами (равными нулю, если у-0). Поэтому группа одномерных гомологий тора с целыми у, коэффициентами Н!(Т, 'х,) изоморфиа прямой сумме двух групп 7.. Любой двумерный цикл на торе преставляет собой целое кратное самого тора. Поэтому О,(Т, У) =У,.
13. Дифференцирование форм. Пусть М вЂ” многообразие размерности Рис. 9!. т класса Си и Ги — гладкая форма сте- пени р(т, заданная на М. Определение 1. Лнфференниал пи! формы и! определяется в локальных координатах 1=(1!, ..., 1 ) следующим образом: если в этих координатах ч 5! ТЕОРЕМА КОШИ вЂ” ПУАГ!КАРЕ зет В этом случае мы имеем в! Л ве=~да!гя! Л ... Л с(ГР Л Л с(Г», Л ... Л с(!» н а!(в! Л вз) = (И сЧ + !' с(к) Л й!и! Л ... Л а!Р, Л с(!»! Л .. Л с(Г», = (~1ЛЖР,Л... Л Жя ) Л(Е!1~»,Л... Лс(~ )+(Ц~~Л...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
