Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 56
Текст из файла (страница 56)
жения в квадратных скобках ограничены; следовательно, и члены св(г)в ограничены. По лемме 3' п. 3 отсюда вытекает, что о а= [еоо] ен 5, ибо у нас 9 < $ и поэтому е» < еоо. Но это означает, что 9=Л(а)еи 5" м ') Для простоты мы пишеы Л(М) вместо Л(Мо). 296 голомогеныг фкнкции наскольких паяамснных 1гл. ! В дальнейшем мы докажем, что это дополнительное свойство уже характеризует области сходимости: любая логарифмически выпуклая полная область Рейнхарта является областью сходи- мости некоторого степенного ряда (см. п.
27). А сейчас отметим одно важное обстоятельство. Рассмотрим полную, но не логарифмически выпуклую область Рейнхарта (скажем, из приведенного выше примера). По теореме 2 любую функцию (~1>(с>) можно представить в с> степенным рядом. Но по теореме 3 область сходимости этого ряда логарифмически выпукла, следовательно, он сходится по крайней мере в логарифмически выпуклой оболочке 1>ь области О. Сумма нашего ряда осуществляет аналитическое продал>кение 1 из с> в с>с. Мы 1гг1 наблюдаем эффект, принципиально отличающий пространственный случай от плоского: в то время как в С' любая область является областью голоморфности некоторой фун1г,1 М,1=1 кции (см. п. 43 ч. 1), в С'" (п>1) существуют области, из которых каждая голоморфная функция непременно аналитически продолжается в более широкую область.
Этот эффект обязательного аналитичеРас. 84. ского продолжения мы подробно рассмотрим в гл. П1. Приведем теперь более конструктивный методописанияобласти сходимости 5 данного степенного ряда (3). Эта область исчерпывается поликругами, которые называются поликругами сходимости. Например, для ряда (1), областью сходимости котоого служит 5=(геиС'. 1а>а,( <Ц, такими поликругами будут (г,(< г„~гз)< — >, 0<г>< (рис. 84). Приведем точное 1 1 О п р е дел е н и е.
Поликруг (1(а, г) называется поликруеом сходимости ряда (3), если Ус:5, но в любом поликруге (х ~ С"'- /! 1 1гх — а,~ < г„1, где г,>г, (ч= 1, ..., и) и по крайней мере одно неравенство строгое, имеются точки, в которых ряд (3) расходится. Радиусы г„этого поликруга называются сопряженными радиусами сходимости. Теорема 4 Сопряженные радиусы сходимости ряда (3) удовлетворяют соотношению 1х! !пп )'1 сх~гх = 1 (6) 1ь ~-+ 1(пространственный аналог формулы Ко ш и — Ад а м а р а).
голомОРФные Функции 297 ч Положим г=а+9г (т. е. г,=а +9г„); при !Д <1 точка а принадлежит поликругу сходимостн К ряд -(3) схочится в (7 абсолютно, и после перегруппировки членов (сь!(г-а)" = ~ !с ~г ь! = ~~ ! ~~ (с~!г )г~ !о!-о !о!=о н-о но ~-н мы получим ряд по степеням ~, сходящийся при !~)<1. Прп ')ь(>! этот ряд расходится, ибо в противном случае по лемме 3' п, 3 ряд сходился бы в некотором поликруте, содержагцем (7. Поэтому по формуле Коши' — Адамара для рядов с одним пере- менным нг !пп у' ~о !с„)г =1. н.+.,Й!-н (7) В группе членов ряда (3) с данным !й! =!г выберем максимальный член ! с ~г = пзах ! с„!г~.
Пользуясь очевиднойоценкой !ю=н < .)' ! ~ '<(р+!)"! ! й 1-н и тем, что (8+1)"'н- 1 при Р-, мы можем переписать (7) П виде соотношения !пп 1 ! с„,!г'" = 1, н.+ равносильного (6) Соотношение (6), которое можно записать в виде уравнения Ф(гь ..., г„) =-О, (8) Ч"(вь ..., в ) =О (9) границы Х(Ь) — логарифмического образа 5, некоторой выпуклой области в пространстве Кн. 8. Ряды Хартогса н Лорана. Кроме степенных рядов в теории функций нескольких комплексных переменных рассматривают и ряды других тинов.
Важнейшими из них являются так называемые ряды Хартогса. Рассмотрим степенной ряд ~, со (в — а)о !о!-о связывающего сопряженные радиусы сходимости ряда (3), опре- деляет границу области я(5), которая изображает ооласть схо- димости 5 на диаграмме Рейнхарта, Подставив в (8) г„= е", получим уравнение 298 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ. 1 и в произвольной точке г его области сходимости 5 перегруппируем члены этого ряда, расположив их по степеням одной из разностей г„— а„, скажем и-й (это законно в силу абсолютной сходимости), Мы получим ряд ~2~~ ~д ( г)(г — а ) (2) (р — скалярный индекс), коэффициенты которого д голоморфны в '5 — проекции области бг в пространство О"-'. Заметим, что такая перегруппировка 1 членов ряда может привести к расширению области сходимости.
Например, степенной ряд 1 г» гьг (1 — г,) (1 — г,) 1 ь 1=э сходится в бикруге (',г~1<1, 1гг! <1). После перегруппировки членов получаем ряд Р Х Х " 'я=Х вЂ” "., и-Ь М-О и-ь !'ис. 85. сходящийся в области (г,Ф!, )гг)<1), О п р е д е л е н и е. Ряд вида (2), коэффициенты д„которого— голоморфные функции 'г= (гь ..., г„1), называется рядом Хартогса с плоскостью центров (г„=а,). Областью сходимоста этого ряда называется открытое ядро Й множества точек ('г, г„) таких, что ряд (2) с коэффициентами д ('г) сходится в точке г„ и коэффициенты голоморфны в точке 'г. Радиус сходимости Я('г) этого ряда (рассматриваемого как степенной при фиксированном 'г) называется радиусом Хартогса.
Так как вместе с каждой точкой гь области сходнмости Н ряда Хартогса принадлежат и все точки г= ('гь, г„), где а (г„— а„)~<~ г~ — а„~, то Н всегда является полной областью Хартогса с плоскостью симметрии (г„=ая) (см. рис, 85, где а„=О), Области этого типа играют для рядов Хартогса такую же роль, как области Рейнхарта для степенных рядов.
В частности, справедлива Теорема 1. Любая функиия» 1, голоморфная в полной Области Хартогса 0 с плоскостью симметрии (г = а ), 299 голомоРФные Функции представляется в 0 разложением )(г) = Х у.(г)(..-а.)" а-а (3) с коэффициентами, голоморфными в проекции '0 этой об !асти в с'и — 1 < Вместе с каждой точкой г области П принадлежит и поли- круг (7='(7ХУ„, где '(/с:С" ' — достаточно малый поликруг с цеитром в проекции 'г точки г, а (7„с:С вЂ” круг с центром а„ содержащий точку г„. В У функция ) голоморфиа по г„при любом 'гев'У и, следовательно, разлагается в ряд (3) с коэф- фициентами в котором суммирование распростриняетсл на все целочисяенные векторы к= (/г!, ..., й„), а коэффициенты ! где à — произведение окружностей у: ь„=а,+р,еи (т=1, ..., и; т,<р„<Л,; О (1 (2п). < Разложение (4) получается обычным образом: мы выбираем р; так, чтобы (р,, р,')с=:(г,, г!,), и функцию 1 в произведеиии колец (р; » »~ г„— а, ~ » (р',) представляем интегральной формулой Коши: л Гл й,('г) = — „, 1 д!л! (пп а„) и Эти коэффициенты, однако, определены и голоморфиы ие только в 'У, ио и во всей проекции 'Р области О, поэтому и разложеиие (3) действует во всей области 0 ь Далее, ие каждая полная область Хартогса оказывается областью сходимости некоторого ряда Хартогса: в п.
27 мы покажем, что области сходимости характеризуются дополнительным свойством, которым должен обладать радиус гх('г). В заключение опишем вкратце простраиствепиые аналоги рядов Лорана. Теорем а 2. Всякую функцгао 1, голоморфную в произведении круговых колец П=(ге=С"! г,< !г, — а,~ <)х!,), можно представить в П в виде кратного ряда Лорана 1 (г) = ~~'., сл (г — а)л, (4) !л!=- зоо ГоломОРФные Функции нескОлькнх пепеменнь!х !гл.
т Здесь е= (е!, ..., а„) — набор, состоящий из + и —,Ге= у,'Х Х ... Ху„'и, где у,"= ((~„— а,) =р",) — окружность, ориентированная положительно, если е„=+, и отрицательно, если е„= —; суммирование распространяется па все наборы в из 1 и знаков. Далее мы разлагаем — в соответствующие геомей — 2 трические прогрессии, интегрируем почленно и заменяем интегралы по у,' интегралами по у, (с изменением злака, если е= — ) ь Особенно интересны лорановские разлозкения в окрестности бесконечных точек пространства С".
Онн характеризз!ото!! тем, что радиусы (С, с индексами, соотаетствующнмя бесконечным координатам точки, равны бесконечности, Такими разложениями, в частаости, представляются функции, голоиорфные а бесконечных точках Си. Напшпем для примера разложение функции й гоюморфной в точке (а!,со) !НС', где а! Фее, По определению п, 3 функция 1 — =!р(ч!, из) голоморфпа в точке (а!,О) и, значит, представляется из / рядом Теилора Ч(' ьг)= Х сна,(й — а!)е'Ф ты з,-о сходящимся в некотором бикруте (!й! — а;)<т!,(йз(<тг). Подставляя сюда 1 Ь!=-г!, Ьз = —, получим нужное разложение Лорана функции гг (г, — а,)а ((гр г,)= ~ с„ аи М=о 1 ) оно сходится в окрестности ~) г, — а!) < тп ) гз) > — т точки (ап со). тз Области сходимости рядов Лорана (4) являются, очевидно, областями Рейнхарта. Кроме того, если область сходимостн содергкит какую-либо точку г' с координатой г,' = ат, то в разложении (4) це может быть отрицательных степеней разности г,— а„т, е, относительно этой разности (4) является тейлоровским разложением.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
