Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Этот поликруг можно считать сколь угодно близким к к', а так как <т с самого начала можно было немного увели- чить <), то 1" ограничена и, значит, по лемме 1 и утверждению 4' из п. 3 голоморфна в <т м Теперь все готово для доказательства основной теоремы. Теор ем а Ха р тогс а. Если функция 1' еоломорфна в любой точке области 11с:С по каждол<у из переменных г„, то она го- ломорфна в 1У.
м Достаточно доказать голоморфность 1 в произвольной точке гсеЮ, причем без ограничения общности можно считать, что г'=0 Итак, пусть < голоморфна по каждому переменному в поликруге У(0, )с); требуется доказать, что она голоморфна в некотором поликруге с центром в О, Это утверждение будем доказывать индукцией по числу ком- плексных переменных. Для одного переменного оно тривиально; предположим, что оно верно для функций (и — 1)-го перемен- ного, и обозначим '(У = У ('О, †).
Из предположения следует, з)' что функция <'('г, г„) непрерывна по'г в 'Ег для любого г„~Г'„= =(<г < <)<) и по г„в Г<„для любого 'ген'Г<. По лемме Осгуда 1 ограничена, а значит, и голоморфна в некотором поликруге У='УХ (<„, где 'К'=(1('а, г)с (I (рис, 82) Рассмотрим теперь поликруг (т=')тХ У„, где'(т = У ('а, — р) . 2 ' 3 Очевидно, <т~У(О, )с), следовательно, ) голоморфна по 'г в 'у '1 В условия леммы входит голоморфиость в замкнутых лоликругах, 285 ГОЛОМОРФНЫВ ФУНКЦИИ » з! для любого г„~Г'„а по только что доказанному она голоморфна по г в Ит.
По лемме Хартогса отсюда следует, что она голоморфна по г и в поликруге )т, который уже содержит точку г=О. Таким образом, утверждение доказано и для функций п переменных м Приведем еще одну формулировку теоремы Хартогса. эгя Будем говорить, что функция ! голо- ьтйл), "Я; с' морфна в точке аенС" в смысле Р и м ан а, если (К) ) голоморфна по каждому переменному г„в некотором поликруге 0(а, г).
Будем говорить, что ! голоморфна в этой точке в смысле В ей ерш трасса, Рис 82. если (%) ! разлагается в некотором поликруге (у(а, т) в степенной ряд )(г)= ~ с»(г — а)». !»!=о Импликацня (%) =у (К) очевидна, импликация (К) — 'ь (%) составляет содержание основной теоремы Хартогса, Эту теорему можно, следовательно, сформулировать так: Понятия голоморфности в смысле римана и в смысле Вейерштрасса эквивалентны.
й 3. Голоморфные функции 6. Простейшие свойства. В предыдущем параграфе был отмечен ряд свойств голоморфных функций нескольких переменных, которые являются распространением соответствующих свойств функций одного переменного (интегральиая формула Коши для поликругов, разложимость в степенной ряд, бесконечная дифференцнруемость, неравенства Коши). Здесь мы продолжим изучение таких свойств. Начнем с теоремы единственности. В формулировке и, 2! ч.
1 она на пространственный случай не распространяется; функция г,ггь голоморфная в С' и не равная тождественно нулю, обращается в нуль на множестве с предельными точками (аналитических плоскостях (г,=О» и (г»=О)). Верна такая Т е о р е м а ! (е д и н с т в е н н о с т и). Если функция )е Н(0) в некоторой точке г' области ОсС» обращается в нуль вместе со всеми частными производными, то !'=О в О.
236 ГоломОРФные Функции нескольких пеРеменных (гл. т ч Все коэффициенты тейлоровского разложения 1 в точке го равны О, следовательно, 1=0 в некоторой окрестности этой точо ки. Обозначим в = (г еи Р: 1(г) = 0) и в — открытое ядро в' (совокупность внутренних точек этого множества). Множество открыто и непусто (оно содержит г'); как н в ч. ), доказывается, что оно замкнуто в Р; поэтому в'=Р ь В доказанной теореме, по существу, требуется, чтобы 1 обращалась в нуль в 2п-мерной окрестности точки г'. Даже из обращения в нуль в (2п — 2)-мерной окрестности точки, вообще говоря, не следует тождественного обращения функции в нуль (пример: !'(г) =г„обращается в нуль на (2п — 2)-мерном множестве (генСо: г"=0)). Имеются, однако, случаи, когда обращение функции в нуль в и-мерион окрестности точки влечет за собой тождественное ее равенство нулю: Если функция 1ЕЕО(Р) обраи!ается в нуль в действительной окрестности точки го~Р, т.
е. на множестве (г=х+1уыО": )х — хо ) <т, у=у'), то 1=0 в Р. 1 В некотором поликруге с центром го функция 1 разлагается в ряд )(г) ~~ с (г го)» !»!-о Полагая здесь у=у», найдем, что с»(х — х')» = — 0 !»1-о для всех хе-:(!х — хо~ <т). Дифференцируя это тождество по х =х 1...
х, а затем полагая х=х', найдем, что все с„=О, »»» По теореме ! тогда 1 = 0 в Р ь Теорема 2 (принцип максимума модуля). Если функция 1енО(Р) и !1"'! достигает максимума в некоторой точке а~Р, то 1=сонэ( в Р. ч Рассмотрим любую аналитическую прямую г=1(ь) =а+м~, проходящую через точку а. Сужение 1 на эту прямую — функция ф„(1.) =1 ° 1Я вЂ” голоморфно в некотором круге (! ~! <р), а !ф„! достигает максимума при !.=О.
По принципу максимума модуля для функций одного переменного ф„(ь) =с(оо) — постоянная, зависящая от е. Но ф„(0) =1(а) не зависит от оо, поэтому с(ы) =сопз1 и 1"=сонэ! в окрестности точки а. По теореме 1 (=сонэ! в Р ь Если !' голоморфна в области Рс:Оо н непрерывна в Р, то максимум (1! достигается на границе дР. Однако в О" при п>! Существуют такие области, в которых !! ! для любой 287 голомогеные егнкции )с:.Н(0), непрерывной в В, фактически достигается не на всей д!), а лишь на некотором ее подмножестве.
Наименьшее такое замкнутое подмножество называется границей Ш лова области О. Точнее, границей Шилова области В называется такое замкнутое множество 5~:.дР, что: 1) для любой )~о(0», непрерывной в Ю, шах1 ! (г) ! = шах 1! (г) 1 г ЯЯ гав и 2) любое замкнутое множество Я, обладающее свойством 1), содержит 5. Примеры. 1.
Шар В=(генС": 1г!<!). Покажем, что здесь граница Шилова совпадает с топологической границей. Для этого возьмем произвольную точку ~~дВ и построим функцию 1, голоморфную в В, непрерывную в В и такую, что Щь) ~)1)(г) ( для всех гыВ",Ь. Обозначим через скалярное произведение векторов г и Ь в комплексном пространстве С". По неравенству Буняковского — Шварца Ке(г, !) <! (г, ь) ~ <1г(, ибо ~~) =1, причем равенство Ке(г, Ь) =1г(=1 достигается в В лишь при г=Ь". Поэтому функция !'(г)=ем Р обладает нужным свойством. 2.
Пол и круг У==(г~С": !г„~<1). Здесь граница Шилова составляет лишь и-мерную часть (2п — !)-мерной топологической границы, именно, она совпадает с остовом поликруга. Для доказательства рассмотрим любую функцию 1, голоморфную в (! н непрерывную в Г Прежде всего заметим, что функция 7('г, ~„) для любого фиксированного ~„, )~„) =1, является голоморфной функцией 'г в поликруге '(7енС"-'. В самом деле, ее можно представить как предел последовательности функций ~р„('г)= !('г, г!к!), где а!м — какая-либо последовательность точек круга (1г„) <!), сходящаяся к точке ~„. Так как ('г, г~"!) ен У то все ~р голоморфны в 'К а в силу равномерной непрерывности ! в У последовательность ~р сходится равномерно в 'Г'. По теореме Вейерштрасса (см.
ниже, теорема 4) отсюда и следует сделанное утверждение. Точно так же доказывается, что все функции )(яь ..., вм, Ь„,+ь ..., Ь„), где гп=1, ..., и — 1 при фиксированных ь +ь ..., ~„, по модулю равных 1, голоморфны по (гь ..., а ) в соответствующих поликругах, 288 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ГЛ.! д~ !!Р д™! дгь дг" (2) на любом К 8=:О.
ч По теореме п. 22 ч. 1 функция голоморфна по каждому переменному в любой точке ген0 и по теореме Хартогса принадлежит Н(0). Вторую часть теоремы достаточно доказать для окрестности произвольной точки геен)9 и производной по одному переменному г„. Возьмем поликруг У=У(гь, г) ~П и воспользуемся формулой Коши д!Р д! ! ( !Р(!1-!(!1 дгт дгч (2га)" .) (ь-г)(ЬУ-гт) г (3) Пусть М=шах)((г) ( достигается в некоторой точке ~ендП, «й которая принадлежит одному из множеств Г'=(';с„! =1, (й„((1, рч Р!1 перенумеровывая в случае надобности переменные, можно считать, что оио совпадает с Г".
Либо (~„~(=1, либо по принципу максимума модуля (он применим по доказанному выше) ! постоянна по переменному г„ь и тогда значение М достигается в некоторой точке, две последние координаты которой по модулю равны 1. Продолжая это рассуждение, мы получим, что значение М достигается на остове поликруга Г=((г,~ = 1, у= 1, ..., и).
Таким образом, граница Шилова поликруга Ь' принадлежит Г. Но для любой точки ьенГ найдется функция 1, голоморфная в Н и непрерывная в Ьг, для которой (("(Ь) , ')()(г) ( для всех генГ~'~Ь: в качестве такой функции можно взять произведение Ц(! +ь",г,). Таким образом, граница Шилова совпадает с Г. м ! Т е о р е м а 3 (Л и у в и л л ь).
Если Функция ( голоморфна в Сь и ограничена, то она постоянна. ч Воспользуемся индукцией по и. При и= 1 теорема доказана в первой части, пусть она верна для функций (и — !)-го переменного. Возьмем произвольные точки а, Ь~С"; так как функция (('г, а„) по индуктивному предположению постоянна, то !(а) =)('Ь, а„). Но функция !( Ь, г„) также постоянна, следовательно, !( Ь, а„) =!(Ь).
Таким образом, ((а) =)(Ь), т. е. теорема верна для функций и переменных > В дальнейшем теорема будет усилена (см. п. 13, а также задачу 9). Теор ем а 4 (В ей ерш т р асс). Пусть последовательность функций )' ~Н(!!) сходится к функции !" равномерно на каждом компактном подмножестве 0; тогда !енН(П) и для любого й= (/гь ., йь) а е) ГоломоРФные Функции где à — остов О. Так как Г„ - (' равномерно на Г, то для любого е>0 найдется ре такое, что (!)м — Яг<е для всех )а в ум если Ке==(/, то из (3) будем иметь для всех ге=К и н > ц, ) н ! д)н д! ! е (2п)" т~ ...
тл дгт дг„! (2к)л тт ! ь — г ! Яет — гт ! к,с г д)л д) отсюда следует, что — — л равномерно на К ь дгт дгт Приведем теперь наиболее содержательное из обобщений на пространственный случай свойство голоморфных функций — так называемую подготовител ьну ю теор ему (ЧогЬеге((нидза(г) Вейерштрасса.
Эта теорема обобщает известное свойство голоморфных функций одного переменного обращаться в нуль как целые степени г — а: если !'(а) =0 (но )ФО),'то в некоторой окрестности точки а Г(г) = (г — а)аер(г), где ~р голоморфна и не обращается в нуль. Т е о р е м а 5. Лусть функция )" голоморфна в некоторой окрестности (/ точки а~Се и ((а) =О, но ) ('а, г„)„-йО; тогда в некоторой окрестности р этой точки Г(г) =((г„— а,)а+с,('г) (г — ал)"-'+... +са('г))<Р(г), (5) д 1 Г дгл )(га г ) Г( е г ) «(гл дул (6) ибо левая часть (6) — целочисленная н непрерывная функция точки 'ге в ')т') и, следовательно, постоянная, а при 'г'='0 она равна порядку нуля функции Г('О, г„) в точке г„=О, т.
е. я. ') См. лемму в конце пункта. 19 в. и, Шабат где я )~! — порядок нуля Г('а, г„) в точке г„=а, функции с, голоморфны в ')т, с,('а) =О, а ~р гоггоморфна в )т и не обращается там в нуль. Без ограничения общности считаем, что а.=О. По теореме единственности для функций одного переменного можно выбрать г„>0 так, чтобы ('('О, г ) ФО при 0((гл((тл, а в силу непрерывности Г найдется поликруг 'у'=(/('О, т) такой, что (ФО при 'гя')т, !г„! =т„.
Для любого фиксированного 'гй'У число нулей функции (('ге, г„) в круге (т„=((гл! (те) равно 2эо ГОЛОМОРФНЪ|Б ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРГМБННЫХ |ГЛ, Г Фиксируем 'ген''У', обозначим через г|„" =г~'~('г),У=!, ..., й, нУли фУнкции 1('е, Бл) в кРУге У'„и постРоим многочлен относи- ТЕЛЬНО Бл Р(г) = П (е„— и|) =,"+ с,('е)<-'+... + с,('е) (у) имеющий эти нули своими корнями. Его коэффициенты голоморфны в 'у'. В самом деле, для любой голоморфной в у, функции о|(гл) по обобщенному принципу аргумента (см. задачу 1 к гл, 1Ч ч, 1) д .1(~, а,) | дУ л откуда видно, что суммы в левой части — голоморфные функции переменного 'з в 'у' (мы учитываем, что )ФО при 'г~'Р и Б„~ду'„), Полагая здесь «|(г„) =г"„, и=1, ..., й, найдем, что суммы ц-х степеней корней многочлена (7) голоморфны в '1~, а через эти суммы (как известно из алгебры) рационально выражаются его коэффициенты, следовательно, сл('г)~Н('У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
