Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 52
Текст из файла (страница 52)
тогда су же н ие ! на эту прямую (т. е, сложная функция 1 ° Е(1.) ) голоморфно, как функция одного комплексного переменного на том открытом множестве плоскости Ь, котОРое попадает в 12 при отображении Е. Еще более частный случай мы получим, если рассмотрим аналитические прямые, «параллельные У-й огпхз т. е. прямые 2273 ПОНЯТИЕ ГОЛОМОРФНОСТИ г,= ь, г„= г'„' (р Ф т). Для этого случая сделанное только что утверждение означает, что если ) голоморфна в области .0с:С", то функция 1(геи ..., г',, ~, г'„н ..., г') будет голоморфной, как фуякция одного комплексного переменного, на соответствующем открытом множестве плоскости ~.
Иными словами, функция, голоморфная в области 1)с:С", является голоморфной (в смысле С) функцией по каждой координате г„в отдельности'). Оказывается, что справедливо и обратное утверждение: если функция )" в некоторой области Й~Сч голоморфна по каждому переменному г, в отдельности, то она автоматически будет диффсренцнруемой в с> в смысле )сач по совокупности переменных и, следовательно, голоморфной в смысле определения 2, Этот важный факт составляет содержание так называемой основной теоремы Хартогса и является далеко не тривиальным. Нетривиальность этой теоремы видна хотя бы из того, что ее действительный аналог неверен.
В самом деле, из существования частных производных функции действительных переменных не следует даже непрерывности этой функции. Вот хорошо известный пример; функция 1(х, у)=... ((О, О) =О, разрывна в ху ха+ ут начале координат, хотя ее частные производные (всех порядков) всюду существуют. В некотором смысле теорема Хартогса представляет собой аналог утверждения о том, что функция нескольких переменных, которая является многочленом по каждому переменному, будет многочленом и по совокупности переменных (см задачу 16 в конце главы).
Теорему Хартогса мы докажем в п. 5. Здесь же мы приведем перечень элементарных свойств голоморфных функций нескольких переменных, аналогичных свойствам функций одного переменного. Впрочем, нам удобнее вместо голоморфности рассматривать более общее условие: (А) Функция )' непрерывна в области Й~Сч по совок))пносги переменньгх и в каждой точке го~В голоморфна по каждой координате. (Мы сейчас же убедимся, что из этого условия вытекает и дифференцируемость по совокупности переменных, т. е, голоморфность функции. После доказательства теоремы Хартогса станет ясным, что требование непрерывности излишне, ибо оно вытекает из голоморфности по каждому переменному.) 1', Если Функция )' удовлетворяет условшо (А) в зал>кнутом поликруге Г'=(г ~ С": ~г„— а„) (гч) а), то в каждой точке ге=(7 ') Этот вывод слелует также непосредственно нз опрелелепна 1 н 2 а) Это означает, что ( пролол>кзется до функпнн, уловлетворнющеа условнго (А) в некотором открытом полукруге, содержащем К )8 Б В.
Шабат 27б ПОНЯТИЕ ГОЛОМОРФНОСТИ 7(г) = ~ с,(г — а)' ~ха=о (10) с коэффициентами ) (К) лй (1! ) 12я))и ~ (С вЂ” а) "+' где я= (яь ...,й ) — целочисленный вектор (й„)~0) и (г — а)"= = (г, — а,) ... (г — а„) 3' (Теорема Абеля). Если степенной ряд (1О) сходится в какой-либо точке ~~Оь, то на любом множестве К а==(г: 1г,— а„1(~~„— а,Д этот ряд сходится абсолютно и равномерно. ~ Из сходнмости ряда в точке Ь следует ограниченность его членов в этой точке: )сь(ь — а)ь) ( М для всех й= (йь ..., я„), й, )~ О. Обозначим шах 1 ' ' =у, (0(у,<1, т=1, ..., и); к 1Ь-ь 1 тогда в любой точке генК будет1с (г — а) ((д 1с (ь — а) 1< Му~, где д = д,~...
о„ь. Остается заметить, что кратная прог ь ь грессия Х Мд~ сходится ь Так как члены степенного ряда непрерывны по совокупности переменных, а дифференцирование по любому переменному г„ не нарушает его сходимости, то из 2' и 3' следует 4'. Если функция )' удовлетворяет условию (А) в замкнутом поликруге Г, то в каждой точке ген() она имеет частные производные всех порядков, непрерьаньье по совокупности переменных. В частности, отсюда следует, что любая функция, удовлетворяющая условию (А), дифференцируема по совокупности переменных, т.
е. голоморфна, а также что все частные произ. водные голоморфной функции голоморфны. Обычным образом доказывается теорема единственности раз'ложения функции в степенной ряд с данным центром: где й+;1= (й1+1, ..., й„+1); при любом ген У оне сходится абсолютно и равномерно по ь на Г. Умножая его на непрерыв« )К) ную (и, следовательно, ограниченную) на Г функцию (,, „и интегрируя по Г почленно, мы и получаем нужное утверждение: 2'. Если функция )' удовлетворяет условию (А) в замкнутом поликруге 77, то в каждой точке ген(У она представляется кратным степенным рядом 5', Если голоморфная в точке а функция 1" разложена в степенной ряд вида (10), то коэффициенты этого ряда определяются по формулам Тейлора: э" '"1 ~ ! а!'!1~ дг!...Эгл1 я! дг л г а г=а где й! =й,! ...
/г„1. Пользуясь формулами (1!) для тех же коэффнпиентов и оценивая входя!цие в них интегралы, получим б' (Не р а ве нет в а Кон! и). Если функция 1' голоморфна в замкнутом поликруге Г=(~г,— а„~ (т,) и ~~~ СЛ( на его остове Г, то коэффициенты тейлоровского раз,гоже4~я 1' в точке а удовлетворяют неравенствам (сэ) - — „, М Г" (13) где г~= г~!... т~ . ! ''' л' В заключение остановимся на понятии голоморфвости в бесконечных точках, для чего, как и в теории функций одного переменного, воспользуемся простыми преобразованиями, переводя!ними бесконечные точки в конечные.
Эти преобразования, однако, для пространств Сл и Р" выбирают по-разному, В случае пространства теории функций Сл такими преобразованиями служат дробно-линейные преобразования отдельных переменных: функция 7 называется голоморфной в бесконечной точке з~ = (ОФ, ..., ОО, е' „, ..., г'„), если функция ! ( ~, , ~ , ь +!, , 1.) = !р(ь!, , Ь.) голоморфна в точке (О, ..., О, е~„+!, ..., Е„) еп С . В случае комплексного проективного пространства Р" польа зуются так называемыми проективными преобразованиями, которые в однородных координатах имеют вид л+! р! = ~ а„а, (7 = 1, ..., и + 1, йе1 (а„) Ф 0) ! или в матричной записи р=АЫ (здесь !эаа (а!!, ..., !эл+!) и р= (и!, ..., 1! Н) — векторы, а А= = (а,!) — матрица).
Такныи преобразованиями бесконечные точки Р" (для которых ы„э!=О) можно, очевидно, перевести в конечные (рл+!-г-О). 276 ГолОмОРФные Функции нескОльких пеРеменных !Гл. т 277 ПОНЯТИЕ ГОЛОМОРФНОСТИ Такие функции / мы будем называть антиголоморфны,ии в точке е. Пусть 1 голоморфна в точке 2~6", тогда в силу этого заме! чания для ее действительной части и= — (1+1) в окрестности 2 ди ! д/ точки г имеем —.= — —. Воспользуемся еще тем, что голод Т 2 д22 ' морфная функция имеет частные производные всех порядков, непрерывные по совокупности переменных (это будет доказано в п, 5).
На этом основании можно утверждать, что существует д)и ! д21 — и что можно менять порядок дифференцндхр ~хт ' дхр хт д/ д /д/! ровапия, т. е. = — (=)=О. Таким образом, для людхр дх дхи ~ дхр / бых р, т =1, ..., и мы имеем д' 0 д2р дхт (2) Разделив действительные и мнимые части оператора в левой части (2): д д ! дг д' ~ ' д' дг дхр дхр 4 (дхр дхр дур дУТ / 4 ~дхрдур дхрдУт/' Функциями точек Р" будут такие функции 1(о), которые не меняются при замене ы на ).г», где Ы~(; ' (О), т. е, однородные функции (напомним, что точками Р служат классы эквивалентных наборов ы, а не сами эти наборы), Голоморфность функции 1 в конечной точке ы=(ы„)~ Р" понимают как голоморфность в точке гевС", для которой гя служат однородными кч 'Ф» координатами, т. е.
в точке ~ — , ..., †.). Под голоморф- ~ Фх~-1 Фи+1 постыл !' в бесконечной точке из Р" понимается голоморфность функции 1(Аы) в соответствующей конечной точке (в которую проективное преобразование о> — Аы переводит данную бесконечную) . 4. Плюригармонические функции. Здесь мы рассмотрим вкратце действительные и мнимые части голоморфиых функций. Начнем с простого замечания; если функция /=и+!о голоморфна в точке еенС", то в окрестности этой точки == 0 д/ дх„ (э=1, ..., л), и поэтому функция /=и — !о дифференцируема в смысле Рз" в этой окрестности, и там для любого т=1, ..., и мы получим, что условие (2) распадается на и' уравнений с частными производными второго порядка: д2и д2и д2и д'и — + =О, =О дхи дх2 дуи дух ' дхи,дуд дх2 дуи (12, т=!, ..., и; уравнения второй группы при р = у тривиальны).
Оп р ед ел е ни е. Функция и(х, у) класса С2 в области Рс:12™, удовлетворяющая в каждой точке (х, у) енР уравнениям (3), называется плюригармонической в этой области. При п=2 плюригармонические функции называют дигармоническими; условия дигармоничностн выражаются следующими четырьмя уравнениями: д2и д'и 2 + 2 О дх2! ду2 ди + аи дх! дх2 ду! ду2 д'и д2и — + — О, д4 ду~ д'и д2и =О дх! ду, дх2 ду! Плюригармонические функции связаны с голоморфными функциями нескольких переменных так же, как гармонические (в Р2) с голоморфиыми функциями одного переменного.
Именно, справедливы следуюшие две теоремы: Теорема 1. Действительная и мнимая части функции голоморфной в области Р~С", являются плюригармонимескими в этой области. < Для действительной части и=22ег теорема уже доказана. Так как вместе с 1 и функция — 21енО(Р), а 1т)=!хе( — 21), то теорема справедлива и для мнимой части м Обратная теорема справедлива, вообще говоря, лишь локально.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
