Б.В. Шабат - Введение в комплексный анализ (1129975), страница 55
Текст из файла (страница 55)
При 'г='0 все й корней многочлена равны нулю, поэтому и все с,('0) =О. Функция ч()-— 1(а) Р (в) при любом фиксированном ла~'Р является голоморфьой функцией гл в круге Рл и не обращается в нуль, ибо Р обращается в нуль того же порядка лишь в точках гы>('г),в которых и )'=О. ПРи фиксиРованном Блеи'У'„и 'ге='У' имеем ( ) | (' 1(ни й„) д~„ 2м| ,1 Р (сн йл) йл - ал дул а так как РФО на д$' (ибо там ~ФО), то правая часть, а значит и |р, голоморфно зависит от 'г').
По теореме Хартогса р голоморфна в ноликруге )'='*У'Х 1~„м Подготовительная теорема Вейерштрасса показывает, что голоморфная функция обращается в нуль как многочлен относительно переменного ал с коэффициентами из кольца Н('а) функций от 'Б, голоморфных в точке 'а. точнее, все коэффициенты, 0 См.
лемму в конце пункта. % з) голоморфныв ехнкцин 291 г — а = ~2Р~~ичв„( =1, ..., ), (8) и-1 после которой ) переходит в функцию д(в) д('О, в„) ФО. Для доказательства выпишем группу членов са, „,а (г~ — а1) '... (гп — а„) ~а~=я такую, что тейлоровского разложения ) в точке а наименьшего порядка (й~ =к, при котором не все коэффициенты группы равны О.
Сделаем в ней замену переменных (8), причем матрицу А подберем так, чтобы Ре(АФО и чтобы коэффициент при в„" а, ...Ь„гтщ После такой замены )(г) перейдет в функцию д(в), для которой йг('О, в„)=с(,е в„"+... Ф О, что н требуется. Заметим еще, что при п=2 разложению Вейерштрасса функции ХФО можно придать внд ((а,ю)=(а — о)~((ш — Ь]'+с1(г)(ш — Ь)' '+ ... +сь(з))Ч(а,ю), (9) для которого условие ((о,ш) ФО не требуетсн (здесь сч — голоморфные в точке о~Сфункцнн, сч(а) =О, Ь и 1 — целые числа, ф — голоморфная в точке (о, Ь) щО функция, не обращающаяся в нуль). В самом деле, если Х(а, ю) мь ~0, то мы имеем разложение (9) с Ь=О; если же Х(а, ю)— = О, то из тейлоров- ского разложения мы получим, что Х(х, ю) (а — о) ьд(а, ю), тле уже я(о, ю) ~ О, н, применяя теорему к функции л, придем к разложению (9), В заключение этого пункта докажем лемму о голоморфной зависимости интегралов от параметра, которой мы несколько раз пользовались при доказательстве подготовительной теоремы ') Напомним, что идеалом кольца Я называется множество Х его элементов, которое: 1) является подгруппой аддитивной группы кольца (для этого разность любых двух элементов из Х должна снова принадлежать Х) и 2) для любого элемента/щ Х и любого г ~мЯ произведение )гвХ.
Множество всех функций из Н('о), равных нулю в 'о, удовлетворяет обоим этим условиям, т. е. является идеалом в конце Н('а). 19ь кроме старшего, принадлежат идеалу'), который образуют в Н('а) функции, обращающиеся в нуль в этой точке. Таким образом, эта теорема позволяет привлечь для исследования множества нулей голоморфных функций алгебраические методы. 3 а меч а ние. Если ) Ф О и выполняются все условия теоремы Вейерштрасса, кроме условия )('а, г„)ФО, то существует линейная замена переменных г — а=Ав, Ре(А~О, или, в подробной' записи, 292 ГОЛОМОРФНЫЕ ФУНКЦИИ НГСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ [ГЛ.
Г Вейерштрасса. Мы рассмотрим ее в несколько более общей ситуации. Л ем ма. Пусть [-„; Ь„=~„([) — спрямляемоя кривая в плоскости ~„(р=1, ..., т), 1=й.,Х...ХЕ и Р— область в С'"; пусть Ь= (Ьн ..., Ь,„) и г= (г,, «„). Если [рункция у(9, г) непрерывна на ЕХР, голоморфна по г в Р при любом Ь е= Е и имеет на ЕХР непрерывные частнике нроизводные —, то интеде д«У грал 6(г) = ) с(~, ... ) д(~, е)с(ЬФ= ) дЯ, г)аь (10) голомор4ен в Р и дС Г дп(тй, «) (11) м Для любого г ен Р выберем т>0 так, чтобы поликруг ст(г, г) ~Р; пусть [й„, '<т и й= (О, ..., ([„..., О) ЙС" — вектор, у которого все координаты, кроме у-й, равны О. Имеем „вЂ” (6(г+й) — 6(е))= — „~ (а(ь, г+Ь) — а(ь, г))д;= 1 я(с, «+ел) ав [.
о и, следовательно, — (6 (г+ )[) — 6 (г)) — ) * с(9 = ! ~~ ~ ~ дЯ(с, +ел) де(с, ) ~и«0 е о де(~, «+ел) В силу того, что ', при фиксированном г равномерно непрерывна на компактном множестве ЬХ(0, 1), то для любого е>0 можно выбрать б>0 столь малым, что для всех (9, 0) енЕХ(0, 1) при )й(<б будет ! де(~, «+06) дя(г, «) ) д«У д«У Поэтому, оценивая последовательно интегралы в правой части (12), мы найдем, что левая часть этого равенства при[6[<6 голомооеныв ьгнкции 293 не превосходит по модулю е!7н..:!ь ~.
Таким образом, в кажда дой точке генО все частные производные — существуют и выдач ражаются формулами (11) 7. Степенные ряды. Здесь мы рассмотрим основные вопросы, связанные с разложением голоморфных функций в ряды. В п. 5 мы доказали, что любую функцию, голоморфную в поликруге ~/(а, «), можно в этом поликруге разложить в кратный степенной ряд с центром в а. Возникает вопрос о множестве точек сходимости такого ряда. По аналогии с функциями одного переменного хочется ожидать, что таким множеством будет поли- круг, дополненный некоторой совокупностью точек его границы.
Однако самые простые примеры показывают что дело обстоит иначе. П р и и е р ы. Множество сходнмости степенного ряда — ~~~)~~ гого (1) о=о (и — скалярный индекс) в С' представляет собой полную об- ласть Рейнхарта (!г1го! <1). Для ряда г1 гам — г| го ~а~-о (2) са (г — а) ~о~=о (3) называется открытое ядро 5 множества 5 точек генС", в которых этот ряд сходится при каком-либо порядке следования его членов.
Из леммы 3' п. 3 аналог теор е мы Абел я выводится в следующем виде: Т е о р е м а 1. Если точка г' принадлежит области сходимости 5 ряда (3), то замкнутый поликруг Г'=(генОо:1г,— а,(~( множеством сходимости в О' является бикруг (',г~ ~ <1, !го! <1), дополненный аналитической плоскостью (г,=О) Из последнего примера видно, что теорема Абеля в обычной формулировке (п, 19 ч.!) на функции нескольких переменных не переносится. Однако можно получить ее аналог, если вместо множества сходимости рассматривать его о т к р ы т о е я д р о, т.
е. сонокупность внутренних точек этого множества. Оп редел ение. Областью сходимости степенного ряда ( ~ го — а ~ ) также принадлежит 5 и ряд (3) сходится в сг абсолютно и равномерно '), м Так как гоеи5 и 5 открыто, существует точка ~я5 такая, что )ь„— а, ) ) ) ге — а, ), и =1,..., и, и ряд (3) сходится в этой точке. Так как Уя==(гевОи: )г„— а,! < ~~,— а,)), то по цитированной лемме ряд (3) сходится в Г абсолютно и равномерно ь Теорему 1 можно сформулировать еще и так: область сходи- мости 5 ряда (3) является полной областью Рейнхарта с центром в а.
Таким образом, полные области Рейнхарта в случае функций нескольких переменных играют ту же роль, что круги в случае одного переменного, Эту аналогию подчеркивает н следующая Теорема 2, Любая функция 1, еоломорфная в полной области Рейнхарта Р~Сп с центром в а, представляется в этой области тейлоровским разложениелг 1(г) = ~ са(г — а) . ~а~-о (4) м Пусть го — произвольная точка Р, тогда поликруг сг = ) ~ гт — а, ~((г', — а,)) йй Р и по лемме 2' п.
3 функция 1 представляется в У тейлоровским разложением с центром в а. Коэффициенты последнего вычисляются через производные ) в точке а и, значит, совпадают с сы т. е. это разложение совпадает с (4) Естественно возникает вопрос: всякая ли полная область Рейнхарта является областью сходимости какого-либо степенного ряда? Ответ на него отрицателен, ибо, как мы сейчас докажем, области сходимости обладают некоторым дополнительным свойством.
О п р е дел е н и е. Обозначим через г- Л(г) =(1п)гг), ..., 1п)г„~) отображение множества (гянС": г, ... г„гьО) в пространство Рп; логарифмическим образолг множества Мс:С" мы будем называть множество М*=Л(Ме), где Мо=(гевМ: г, ... г ФО). Множество М называется логирифмически вгяпукльглц если его логарифмический образ М* является выпуклым множеством в )ся. ') Из теоремы 1 следует, что множество 5 связано: любые две его точки г' и з" можно соединить с центром (а значит, и друг с другом) кривой, принадлежащей 5. Так как 5 еще и открыто, то оио в самом деле является областью. 294 голоморфнын окнкции нгскольких переменных )гл.
г 295 ГоломоРФные Функпии Пример. Множество М~С', диаграмма Рейнхарта а(М) которого изображена на рис. 83, а, не является логарифмически выпуклым; его логарифмический образ Л(М) ') приведен иа рис. 83, б. Логарифмически выпуклую оболочку М (т. е. пересечение всех логарифмически выпуклых множеств, содержащих М) мы получим, если рассмотрим прообраз выпуклой оболочки множества Л(М). Диаграмма Рейнхарта такой оболочки Мь отличается от и(М) сегментом, ограниченным отрезком гиперболы ]г]] ]гт', =тР (изображена пунктиром на рис. 83).
] гт] )г,]]гг]=т]1 ти т(] о Те о р е м а 3. Область сходимости 5 степенного ряда (3) логарифл]пиески втяпркла, и Без ограничения общности считаем а = О. Нам нужно О доказать, что если 9' и 9" — произвольные точки 5*= Л(5), то и $= 5'+(1 — Г) ко ел 5' для любого т, О < Г < 1. В 5" сущеСтауЮт ТОЧКИ 9',Яп таКИЕ, Чта $'„> 9', И ьп > 9'„' (у= 1, ..., П); о точки г'= ( е '] и ам =)е "1 принадлежат 5. Рассмотрим теперь точку $ = Ц'+ (1 — г) $" и ее прообраз г = (е '], где в~о=(2,) (2,) . Имеем св (2) = [се (2') е] [св (2п)в] о а так как а', я"еп5, то ряд (3) в этих точках сходится и выра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
